1、相似三角形的应用举例一一、教教学学目标目标1.能够利用相似三角形的对应边成比例来解决河流宽度的问题；2.掌握构建相似三角形的常见方法，灵活设计解决方案解决问题.3.进一步体会数学的应用价值，提升学生的应用意识；4.探究经历构造相似三角形的方法与技巧，体会把实际问题转化为数学问题来解决的过 程，增加学习兴趣，培养学生发现问题、解决问题的能力.二二、教教学学重难点重难点重点重点：能够利用相似三角形的对应边成比例来解决河流宽度的问题 难点难点：掌握构建相似三角形的常见方法，灵活设计解决方案解决问题三三、教教学学用具用具教学课件.四四、教教学学过程过程设设计计教学 环 节教师活动学生活动设计意图环环
2、节节 一一 创 设 情 境【情【情境境引入引入】如图,现在某工程师需要估算这条河的宽度,因为河流 太宽，不方便直接测量，你能帮忙设计一个方案吗？分析分析：先构造先构造相相似三角形似三角形，再利用再利用对对应边成比例应边成比例，列方程求列方程求解解 交流交流：构造相构造相似似三角形时，三角形时，要要避免跨河测避免跨河测长长度，请你尝试度，请你尝试构构 造一下造一下吧吧？思考并分 析问题通过情景引入，引发学生的思 考，为学习新课 做铺垫，培养 学生善于思考 的习惯，激发学 生的学习兴趣【教教学学建建议议】通过】通过实实际问题，引际问题，引起起学生的认知学生的认知冲冲突突，为新课为新课的的学习进行铺
3、学习进行铺垫垫.环环 节节 二二 探 究【探【探究究】分组讨经历知识的探(1)在河对岸选定一个目标点 P,论，合作究过程，使学生(2)在近岸取点 Q 和 S,使点 P、Q、S 三点共线，且直线探究完成通过全程参与，PS 与河垂直,则 PQ 的长就是河的宽度学习任务掌握知识，培养数学核心素养新知和能力问题问题：你能构造出怎样的相似三角形，来计算河宽 PQ的长呢？依依据据相相似似三三角角形形的的判定判定定定理理，你你能能得到得到哪哪些些构构造造方方法法呢呢？方法一方法一：8 字型字型(1)不合理不合理，因因为为测测量量 EF、OE、OP、OQ 时时，需需要要跨河，跨河，困困难难较较大大方法二方法二
4、：8 字型字型(2)不合理不合理，因为测因为测量量 PM 的长度的长度时时，需要过河，需要过河，困难较困难较大大方法三方法三：8 字型字型(3)(合合理理)构造相构造相似似三角形的步三角形的步骤骤：(1)在直线 b 上选取一点 O，连接 PO 并延长至 B.(2)过点 B 作垂线 BAb，垂足为 A.计算方计算方法法：(1)先测量出 QO、OA、AB 的长,(2)利用对应边成比例，列方程求解即可方法四方法四：平行线法平行线法(合理合理)构造相构造相似似三角形的步三角形的步骤骤：(1)在过点 S 作直线 a，使 aPS，(2)在直线 a 上选择适当的点 T,连接 PT 交直线 b 于点R.计算方
5、计算方法法：(1)先测量出 QS、ST、QR 的长,(2)利用对应边成比例，列方程求解【求解过【求解过程程】如图，已知 QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ.解解：PQR=PST=90，P=P，PQRPST PQ QR，PSST即PQ QR，PQ QSSTPQ 60，PQ 4590PQ90=（PQ45）60解得，PQ=90（m）因此，河宽大约为 90 m【教学【教学建建议】议】通过探究环节的设计，引导学生逐步完 成本节课重难点的学习任务学生对思考过程进这个环节的目行总结归的是，让学生对纳过程学习的成果进行梳理【反【反思思】通过这个环节，构造方构造方法法：保保证证包包含
6、含“河河宽宽”的的三三角角形形至至少少有有一一条边条边不不需需要要跨跨河河 测量测量.学生思考 并总结让学生进一步理解上面学过 的知识和方法利利用用相相似似三三角角形形，解决解决了了不不能能直直接接测量测量的的物物体体的的宽宽度度或高度或高度问问题题.思考：思考：如如何测量池塘何测量池塘的的宽宽度度 PQ 呢呢？“全全等等三三角角形法形法”与与“中中位位线线法法”是是“相相似似三三角角形法形法”的的特殊情特殊情形形.你还有你还有其其他方法吗他方法吗？【教教学学建建议议】这这个环个环节，节，教教师师引引导导学生将学生将所所学学到到的的知知识进行识进行反反思，加深思，加深理理解解【总【总结结】利用
7、相利用相似似三角形可以三角形可以解解决下面决下面的的 2 个问个问题题测高：测高：不不易到达顶部易到达顶部，不能直接使不能直接使用用测量工具测量工具；测距：测距：不不易直接测量易直接测量的的两点间的距两点间的距离离独立总结 并表达帮助学生梳理 重点知识的脉 络和结构，进一 步理解知识【教学【教学建建议】教师引议】教师引导导学生再一次学生再一次梳梳理重难点知理重难点知识识环环 节节 三三 应 用 新 知【典型【典型例例题题】例例如图，左、右并排的两棵树的高分别是 AB=8 m 和 CD=12 m，两树相距 BD=5 m，一个人估计自己眼 睛距地面的距离是 EF=1.6 m她沿着正对这两棵树的 一
8、条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树 的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C了？分析分析：如图 1，设眼睛的位置为点 F，水平视线 FG 分别交 AB，CD 于点 H，KAFH 是观察点 A 时的仰角由于树的遮挡，区区域域是盲是盲区区同样地，CFK 是观察点 C 时的仰角，区域区域是盲是盲区区如图 2，当某人从左向右移动过程中，让 学 生 积 极 思 考 并 作答通过例题的学 习，让学生掌握 本知识点的常 见题型，提高解 题能力(1)当走到 O 点时，点 F、A、C 三点刚好共线(临界位置)，(2)在点 O 的右边时，无法看到点 C(3)在点 O 的左边时，可以看到点 C
9、解：解：如图，假设观察者从左向右走到点 O 时，她的眼 睛的位置点 F 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线 上ABl，CDl，ABCDAFHCFK FH AH，FKCKAB=8 m、CD=12 m，BD=5 m，OF=1.6 mFH 8 1.6FH 512 1.6解得 FH=8（m）由此可知，当她与左边的树的距离小于 8m 时，她 看不到右边树的顶端 C数学建数学建模模思想思想：把生活把生活中中的实际问题的实际问题通通过建模的思过建模的思想想，转化为数学，转化为数学问问 题来解题来解决决一般步一般步骤骤：(1)根据题根据题设设中的已知量中的已知量与与未知量画出未知量画出数数学示意图学示意图
10、，(2)抽象出抽象出几几何位置关何位置关系系(3)根据几根据几何何图形的知识图形的知识解解决实际问题决实际问题.【教教学学建建议议】教】教师师适当引适当引导导，学生自学生自主主完成，并引完成，并引导导 学生对解题学生对解题过过程中的方程中的方法法进行总进行总结结环环 节节 四四 巩 固 新【随堂练【随堂练习习】1.如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又 测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m.自 主 完 成 练 习 的 解 答过程，通过课堂练习 巩固新知，巩固 复习本节课内 容知答案答案：4解：解：设树的高度是 x 米，因为AD BC,AB ACAB
11、DCAD AD BD CDAD AD 28AD AD0，AD 42小王同学，测树时发现树影的一部分在地面上，而 另一部分在墙上，他测得地面上的影长为 2.7 m，留在墙上部分的影长为 1 m，同时，小明测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m请计算这棵树的高分析分析：利用相似三角形的知识解决.先构造出相似三角 形，再列方程求解由于太阳光线是平行线，所以，可以构成右图所示的 相似三角形.解：解：过点 D 作 DF AB 交 AB 于点 F遇到问题随时请教 教师 BF CD 1 AF FD PQQR AF 2.710.9 AF 3 AB AF BF 4因此这棵树的高为 4 米思思考考：关关于于这
12、这道道题题你还你还有有其其他他构构造造相似相似三三角角形形的的方方法法 吗吗？【教教学学建建议议】教教师师给给出出练习练习，随时随时观观察察学学生完生完成成情情况况并并相相应应指指导导，最最后后给出给出答答案案，根根据据学生学生完完成成情情况况适适当当 答疑答疑.环环节节 五五 课 堂 小 结【课堂小【课堂小结结】以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回 顾 本 节 课 所 讲 重 点内容通过 小 结 让 学 生进 一 步 熟 悉 巩固 本 节 课 所 学的知识.【教教学学建建议议】教师通教师通过过思思维维导导图图，将，将本本节节课课的内的内容容进进 行归纳行归纳，帮助学生梳帮助学生梳理理知识脉知识脉络络和重难和重难点点环环 节节 六六 布 置 作 业【课【课后后作业作业】教科书习题课后完成 练习通过课后作业，教师能及时了 解学生对本节 课知识的掌握 情况，以便对教 学进度和方法 进行适当的调 整.
