1、东城区 20222023 学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学2023.1本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合12Axx，1Bx x，则AB（A）(,2)（B）(1,)（C）(1,1（D）1,2)（2）在下列函数中，为偶函数的是（A）()cosf xxx（B）()cosf xxx（C）()lnf xx（D）()f xx（3）在1()nxx的展
2、开式中，若第 3 项的系数为 10，则n（A）4（B）5（C）6（D）7（4）在等比数列na中，11a，238a a，则7a（A）8（B）16（C）32（D）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的 11 个重要建筑及遗存.某同学欲从这 11 个重要建筑及遗存中随机选取相邻的 3 个游览，则选取的 3 个中一定有故宫的概率为（A）111（B）19（C）311（D）13（6）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边位于第一
3、象限，且与单位圆O交于点P，PMx轴，垂足为M若OMP的面积为625，则sin2（A）625（B）1225(C)1825（D）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，其渐近线方程为2yx，P是C上一点，且12PFPF.若12PFF的面积为4，则C的焦距为（A）3（B）2 3（C）2 5（D）4 5（8）在ABC中，“对于任意1t，BAtBCAC ”是“ABC为直角三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy中，若点(,)P a b在直线430axbya上，则当,
4、a b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（A）33(,)33（B）33,33（C）55(,)22（D）55,22（10）如图，在正方体1111ABCDA B C D中，Q是棱1DD上的动点，下列说法中正确的是存在点Q，使得11/CQAC；存在点Q，使得11CQAC；对于任意点Q，Q到1AC的距离为定值；对于任意点Q，1ACQ都不是锐角三角形.（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共 110 分）二二、填填空空题题 共共 5 5 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 25 5 分分（11）若复数z满足(i)i3z，则_.z（12）已知函数()3sincosf xxx，则()3f；若
5、将()f x的图象向左平行移动6个单位长度后得到()g x的图象，则()g x的一个对称中心为.（13）经过抛物线22(0)ypx p焦点F的直线与抛物线交于不同的两点,A B，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，则点B的纵坐标By与点D的纵坐标Dy的大小关系为ByDy.(用“”“”“”填写）（14）设函数21,()1,.xxaf xxaxa当0a 时，fx的值域为_；若 fx的最小值为 1，则a的取值范围是_.（15）对于数列 na，令11234(1)nnnTaaaaa L，给出下列四个结论：若nan，则20231012T；若nTn，则20221a；存在各项均为整数的数列 na，
6、使得1nnTT对任意的nN都成立；若对任意的Nn，都有nTM，则有12nnaaM.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）如图，在锐角ABC中，4B，3 6,6ABAC，点D在BC边的延长线上，且 CD10.（）求ACB；（）求ACD的周长（17）（本小题 15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PA，PAAB，E为BC的中点，F为PD上一点，EF平面PAB.（I）求证：F为PD的中点；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的
7、正弦值.条件：ADPB；条件：2 3PC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题 13 分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取 100 人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间7,9)，9,11)，11,13)，13,15)，15,17)，17,19，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间13,17)的概率；（）从全校学生中随机选取 3 人，记表示这 3 人一周参加
8、课后活动的时间在区间15,17)的人数，求的分布列和数学期望E；（）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为 a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）（19）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，长轴长与短轴长的和为6，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点.（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆C上一点，(1,0)M.若1PF，PM，2PF成等差数列，求实数的取值范围.（20）（本小题 15 分）已知函数 exfxx.（）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求 fx的极值；（）证
9、明：当1m时，曲线1:()Cyf x与曲线2:lnCyxxm至多存在一个交点.（21）（本小题 15 分）已知数列12nAaaa：，L，满足：0 1(1 22)iainn，从A中选取第1i项、第2i项、第mi项（122miiim，），称数列12,miiiaaa为A的长度为 m 的子列记()T A为A所有子列的个数.例如0 0 1A：，其()3T A.（）设数列1 1 0 0A：，写出 A 的长度为 3 的全部子列，并求()T A；（）设数列12nAaaa：，L，11nnAaaa：，L，12nAaaa：1，1，1L，判断()()()T AT AT A，的大小，并说明理由；（）对于给定的正整数(1
10、1)nkkn，若数列12nAaaa：，L满足：12naaakL，求()T A的最小值.东城区 20222023 学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2023.1一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）2（12）1(0,0)（答案不唯一）（13）（14）1,)（2,)（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：,sinsinABCACABBACB()，由正弦定理在中sin3sin.2AB
11、BACBAC得又因为在锐角ABC 中，(0,)2ACB，所以3ACB6 分（）因为3ACB，所以23ACD.在ACD中，由余弦定理22222cos3ADACCDAC CD得14.AD 所以ACD的周长为30ACCDAD13 分（17）（共 15 分）解：（I）在PAD中，过点F作FG/AD交PA于点G，连接GB.因为AD/BC，所以FG/BC，所以B，E，F，G四点共面.因为EF/平面PAB，EF平面BEFG，平面PAB平面BEFGBG，所以EF/.BG所以四边形BEFG是平行四边形.所以1.2FGBEAD所以F为PD的中点.6 分（II）选条件：ADPB.因为底面ABCD为正方形，所以ADA
12、B.又ADPB，ABPBB，所以AD 平面PAB.所以ADPA.如图建立空间直角坐标系Axyz，因为底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PA，则(0,0,0)A，(0,2,0)D，(2,1,0)E，(0,1,1)F，所以(0,2,0)AD，(2,1,0)AE ，(0,1,1)AF .设平面AEF的一个法向量为(,)x y zn，则0,0,AEAF nn即200.xyyz，令1x，则2,2yz.于是(1,2,2)n.设直线AD与平面AEF所成角为，则|2sin|cos,|3|ADADADnnn.所以直线AD与平面AEF所成角为的正弦值为23.15 分选条件：2 3PC.如图，连接AC.因为底面
13、ABCD是边长为 2 的正方形，所以ADAB，2 2AC.因为2PA，2 3PC，所以222PAACPC.所以PAAC.因为PAAB，ABACA，所以PA 平面.ABCD所以PAAD.以下同选条件.15 分（18）（共 13 分）解：（）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间13,17)的频率为(0.1250.200)20.65，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间13,17)的概率为0.653 分（）从全校学生中随机选取 1 人，其一周参加课后活动的时间在区间15,17)的概率为0.4因此(3,0.4)B3(0)(10.4)0.216;P1123(1)0.4(1
14、0.4)0.432;PC2213(2)0.4(10.4)0.288;PC3(3)0.40.064.P则的分布列为：0123P0.2160.4320.2880.064E00.2161 0.43220.2883 0.0641.2 10 分（）cba13 分（19）（共 14 分）解：（）由题设，222226,3,2.abcaabc解得224,1.ab所以椭圆C的方程为2214xy.5 分（）设00(,)P xy为椭圆C上一点，则有1224PFPFa由1PF，PM，2PF成等差数列，得24PM，0，即2.PM由(1,0)M，则2200(1)PMxy.又00(,)P xy在椭圆C上，有220014xy
15、，故222220000003(1)(1)1=2244xPMxyxxx，因为0 2,2x ，所以6,33PM.即26,33，所以2,63所以实数的取值范围是2,63.14 分（20）（共 15 分）解：（）因为()exf xx所以 1 exfxx.所以 00f，01.f 所以曲线 yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx.4 分（）令 0fx，得1x .当,1x 时，0fx，f x单调递减；当1+x，时，0fx，f x单调递增；当1x 时，0fx，f x在1x 时取得极小值.所以函数 f x的极小值为1e，不存在极大值.9 分（）令()elnxg xxxxm，其定义域为(0,).11()(1
16、)e1(1)(e)10.xxg xxxxxx ，令 1exh xx，21e+0 xh xx，所以 h x在0+，上单调递增.011(1)0,()0,(,1)22hhx因为所以，当00,xx时，0h x，即 0gx，g x单调递减；当0,xx时，0h x，即 0gx，g x单调递增；当0 xx时，0h x，即001e=xx，g x取得极小值0g x.00000elnxg xxxxm，因为001e=xx，所以00e=1xx，00lnxx，所以01g xm.因此，当1m 时，00g x，所以0+x，0g x，即0+x，lnf xxxm，曲线1C与曲线2C无交点；当1m时，00g x，所以存在且仅存在
17、一个01(,1)2x，使得00g x，对0+x，且0 xx，都有 0g x，即 lnf xxxm.所以当1m 时，曲线1C与曲线2C有且仅有一个交点；故当1m时，曲线1C与曲线2C至多存在一个交点.15 分（21）（共 15 分）解：（）由()T A的定义以及1 1 0 0A：，可得：A 的长度为 3 的子列为：1 0 0 1 1 0，；，A的长度为2的子列有3个，A的长度为4的子列有1个，所以()6T A.5 分（）()()().T AT AT A理由如下：若121kkmmmm，L是12nAaaa：，L的一个子列，则121kkmmmm，L为11nnAaaa：，L的一个子列.若121kkmmm
18、m，L与121kknnnn，L是12nAaaa：，L的两个不同子列，则121kkmmmm，L与121kknnnn，L也是11nnAaaa：，L的两个不同子列.所以()()T AT A.同理()()T AT A，所以()()T AT A.同理()().T AT A所以有()()().T AT AT A10 分（）由已知可得，数列12nAaaa：，L中恰有 k 个 1，nk个 0.令0001 11n kkA 个个：LL1 4 4 2 4 4 31 4 2 4 3，下证：()()T AT A.由 于0001 11n kkA 个个：LL1 4 4 2 4 4 31 4 2 4 3，所 以A的 子 列 中 含 有i个0，j个1(0101,2)inkjk ij，的子列有且仅有 1 个，设为：0001 11ij个个LL1 4 4 2 4 4 31 4 2 4 3.而数列12nAaaa：，L的含有 i 个 0，j 个 1 的子列至少有一个，所以()()T AT A.数列0001 11n kkA 个个：LL1 4 4 2 4 4 31 4 2 4 3中，不含有 0 的子列有1k 个，含有 1 个 0 的子列有 k 个，含有 2 个 0 的子列有1k 个，L L，含有nk个 0 的子列有1k 个，所以2()()(1)22T Ank kknknk.所以()T A的最小值为22nknk.15 分
