1、2023 拔尖强基联合定时检测 数学 第 1 页（共 4 页）2023 拔尖强基联合定时检测 数 学 试 题（满分：150 分；考试时间：120 分钟）2022 年 11 月 注意事项：注意事项：1答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）。一、一、单选题单选题：本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知全集20Ux x，集合10Ax x，则UA（）A1，B1，C2 1，D2 1，2已知aR,i1iaz（i为虚数单位）是纯虚数，则 a=（）A-1 B0 C1 D2 3如图，在直棱柱111ABCABC中，1ABBCCC，ABBC，E 为 BC 的中点，F 为11BC的中点，则异面直线 AF 与1C E所成角的余弦值为（）A52 B2 55 C23 D53 4数列1n 叫做调和数列，此数列的前 n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当 n 很大时，111123nlnn ，其中称为欧拉-马
3、歇罗尼常数，0 577 215 664 901.，至今为止都不确定是有理数 还是无理数设 x表示不超过 x 的最大整数用上式计算1111233456的值为（）（参考数据：ln20 69.，ln31 10.，ln102 30.）A7 B8 C9 D10 2023 拔尖强基联合定时检测 数学 第 2 页（共 4 页）5 已知5sin26，则sin62的值等于（）A1725 B1725 C725 D725 6已知 M 是ABC内的一点，且4 3AB AC，3BAC，23MBCABCSS，则11MABMACSS的最小值是（）A8 B4 C2 D1 7 已知函数 34f xxx，若过点1Aa，能作三条直
4、线与 f x的图像相切，则实数 a 的取值范围是（）A(4 5)，B5，C4，D54，8 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线 M 的方程为23123xy，则曲线 M 围成的图形面积为（）A6 B8 C10 D12 二、二、多选题多选题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项是在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列函数中，既是奇函数，又满足对任意的12(0)xx，当12xx时，都有 12f
5、xf x的是（）A 35f xx B tanf xx C 31f xxx D 412xxf x 10 如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点，则（）A直线 EF，A1G 是异面直线 B点 A1与点 G 到平面 AEF 的距离相等 C三棱锥 B1-AEF 的体积等于 24 D平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 18 11 已知函数ln()xf xx，2313xg xx，则下列结论正确的有（）A()f x有 1 个零点 B(3)(2)()fff e C 6h xg f x有 3 个零点 D设实数0a，若3()axx f xae对任意的
6、xe，恒成立，则 a 的最大值为 e 2023 拔尖强基联合定时检测 数学 第 3 页（共 4 页）12 我们把一组焦点相同的双曲线称为“同焦双曲线”已知双曲线22221xyEab：00ab，与双曲线22188xy为“同焦双曲线”，双曲线E的左右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线与双曲线E的右支交于P、Q两点，1PF与y轴相交于点 A，2PAF的内切圆与边2AF相切于点 B若2AB，则下列说法正确的有（）A双曲线 E 的渐近线方程为3yx B若直线2ykx与双曲线 E 有且仅有 1 个交点，则2k C线段PQ的最小值为 12 D记12PFF的内切圆面积为1S，12QFF的内切圆面积为2S，则
7、124083SS，三、三、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 已知数列 na为等比数列，且12332aaa，成等差数列，则公比q _ 14 在平行四边形ABCD中，E是 CD 的中点，2AFFD，且8AB，6AD，20AE BF，则cosBAD=_ 15 函数 22cosxf xxe的所有零点之和为_ 16 已知00mn，且满足2mnmn，若2220mnmnkmn恒成立，则实数 k 的取值范围为_ 四、四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字
8、说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知函数()f xa b，其中cossin2axx，(2cos3)bx，xR(1)求函数()yf x的单调递减区间；(2)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，()2f A，7a，且3sin2sinBC，求ABC的面积 18(12 分)已知数列 na的各项均为正数，前 n 项和为nS，且(1)2nnna aS（*nN）(1)求数列 na的通项公式；(2)设221nnnbS，12.nnTbbb，求nT 2023 拔尖强基联合定时检测 数学 第 4 页（共 4 页）19(12 分)已知圆22()(21)4()CxayaaR：，定点(1 2
9、)M ，(1)过点 M 作圆C的切线，切点是 A，若线段 MA 长为21，求圆C的标准方程；(2)过点 M 且斜率为1的直线l，若圆C上有且仅有4个点到l的距离为1，求a的取值范围 20(12 分)如图，在四边形 PDCB 中，PDBC，BAPD于点 A，2PAABBC，1AD 沿 BA 将PAB翻折到SAB的位置，使得二面角SABP的大小为3(1)证明：平面SBA平面SAD；(2)在线段 SC 上（不含端点）是否存在点 Q，使得二面角QBDC的余弦值为4 3131，若存在，确定点 Q 的位置，若不存在，请说明理由 21(12 分)在平面直角坐标系 xoy 中，动点 E 与两点30A ，30B，连线斜率分别为1k,2k,且满足1249k k ，记动点 E 的轨迹为曲线(1)求曲线的标准方程；(2)已知点 M 为曲线在第一象限内的点，且0,2C，若MA交 y 轴于点 P，MC交 x 轴于点 Q，试问：四边形APQC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 22(12 分)已知函数2()(2)2lnxf xxex(1)求()f x的极值；(2)若222(2)()xmxef xx有两个相异的实根12xx，(12xx)，证明：22121243xxm QSDCBAP
