1、 第 - 1 - 页 共 12 页 - 1 - 数学(理科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 2 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2.答第 I 卷时， 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时， 必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写， 要求字体工整、 笔迹清晰。 作图题可用铅笔在答题卡规定位
2、置绘出，确认后再用 0. 5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必 须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题 无效 。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 Ay|y33 x ，x0 ，Bx|y3x，则 AB A.(3，2 B.2，3 C. (3，3 D. 3，) 2 2.已知 i 是虚数单位，且 5 2 1 i zi i ，且 z 的共轭复数为z，则 zz A.2 B.5 C.2 D
3、. 1 2 3.已知函数 f(x) 3 log22 132 xx f xx ， ， ，则 f(2) A.1 B.2 C. 1 2 D.3 4.在数学中，泰勒级数用无限项连加式级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角 函数等等，其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒(Sir Brook Taylor)的名字来命名的。1715 年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于 所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：ex 第 - 2 - 页 共 12 页 - 2 - 0123 0 !0!1!2!3! nn n xxxxxx nn
4、 ，其中 xR，nN*，n!1234n，例如： 0!1，1!1，2!2，3!6。试用上述公式估计 1 2 e的近似值为(精确到 0.001) A.1.601 B.1.642 C.1.648 D.1.647 5.对于不重合的直线 m，l 和平面 ，下列可以推出 成立的是 A.m/l，m，l B.ml，l，m C.m/l，mx，l D.m/l，l，m 6.已知单位向量 a 满足等式 2|a|b|，|a2b|13，则 a 与 b 的夹角为 A.30 B.60 C.90 D.120 7.已知 f(x)是偶函数，且 x0 时 f(x) 2 11 2 x x ，若 af(lg5)，bf( 1 2 )，cf
5、(ln 1 7 )，则 a，b， c 的大小关系正确的是 A.cab B.bca C.abc D.ac0)的最小正周期为 ，把 f(x)的图象向右平移 (0) 个单位可得函数 g(x)的图象，若 g( 3 ) 3 3 5 ，则 cos2 A. 3 10 B. 4 5 C. 1 10 D. 2 5 9.我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五 五数之剩二，七七数之剩二。问物几何?”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是： 求正整数 N，使 N 除以 3 余 2，除以 5 余 2。根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正 整数数列an、bn，an满足被
6、3 除余 2，a12，bn满足被 5 除余 2，b12，把数列an 与bn相同的项从小到大组成一个新数列，记为cn，则下列说法正确的是 A.c2a1b1 B.c6a2b3 C.c10a46 D.a12b2c4 10.函数 f(x)x5ex的图象大致是 第 - 3 - 页 共 12 页 - 3 - 11.以 A 为顶点的三棱锥 ABCD，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 8， 则以 A 为顶点，以面 BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.7 12.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，其右
7、支上存在一点 M，使得 12 MF MF0，直线 MF2平行于双曲线的其中一条渐近线，则双曲线 C 的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 第 II 卷 注意事项：第 II 卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答， 答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上。 13.2019 年，习近平同志在福建、浙江等地调研期间，提出了“绿水青山就是金山银山”的科 学论断，将绿色
8、发展理念贯穿于治国理政思想之中。为了响应中央号召，某日深圳环保局随 机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物 x(单位：ppm)与当天私家车路上行驶的时间 y(单位： 小时)之间的关系，从某主干路随机抽取 10 辆私家车，根据测量数据的散点图可以看出 x 与 y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y0.3x0.4，若该 10 辆车中有一辆私家车的尾 气排放污染物为 6(单位：ppm)，据此估计该私家车行驶的时间为 小时。 14.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长 AB 6 2 ， 侧棱 AA11， 则 BD1与 AA1所成 的角为 。 15.把 8 1 () 2 n x x (nN
9、*， 且 1n4)的展开式中存在常数项， 则展开式的二项式系数最大的一 项系数为 。 16.已知函数 f(x)ex(2x1)，g(x)k(x1)，(k1)，若 f(x)g(x)在 xR 上仅有 3 个整数解， 则 k 的取值范围是 。 三。解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 应写在答题卡上的指定区域内。 第 - 4 - 页 共 12 页 - 4 - 17.(本小题满分 12 分) 已知an是各项均为正数，前 n 项和为 Sn，Snanb，若 a2a4 1 4 。 (I)求an的通项公式； (II)若 bn(1)nlog2an，求bn的前 2n
10、1 项和 T2n1。 18.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中，底面为平行四边形 ABCD，侧面MAD 是正三角形，CDMD，面 NMAB面 NMDCMN，AD2CD4，AC25，MN1。 (I)求证：MNMA； (II)求二面角 MBDN 的余弦值。 19.(本小题满分 12 分) 已知 0 为坐标原点，若斜率为2 的直线 l 过点 G(0，1)，与抛物线 C：y22px 交于 A，B 两 点，OA OB 7 4 。 (I)求 p 的值； (II)若过点 M(2，0)的直线 l0与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，求证： 22 11 PMQM 为定值。 20.(本小题满分 12
11、分) 2019 年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋 资源保护海洋生物多样性” ，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性 的认识，为保护蓝色家园做出贡献。联合国于第 63 届联合国大会上将每年的 6 月 8 日确定为 “世界海洋日” ，为了响应世界海洋日的活动，2019 年 12 月北京某高校行政主管部门从该大 学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩(得分都在区间50， 100内)绘制成如图所示的频率分布直方图。 第 - 5 - 页 共 12 页 - 5 - (I)试求被测验大学生得分的中位数(保留到整数)；
12、(II)若学生的得分成绩不低于 80 分的认为是“成绩优秀” ，现在从认为“成绩优秀”的学生中 根据原有分组按照分层抽样的方法抽取 10 人进行奖励，最后再从这 10 人中随机选取 3 人作 为优秀代表发言。 求所抽取的 3 人不属于同一组的概率； 记这 3 人中， 为测试成绩在90，100内的人数，求 的分布列和数学期望。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)lnxkx2。 (I)讨论函数 f(x)的单调性； (II)若函数 g(x) x e ax x2，当 k1 且 0f(x)。 请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右 侧方框
13、涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考 题的首题进行评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 1cos 1sin xt yt (其中 t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin。 (I)若点 P(x，y)在直线 l 上，且 2 3 xy xy ，求直线 l 的斜率； (II)若 4 ，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值。 23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知 f(x)|x1|ax2a|(其中 aR)。 (I)若 a1，求不等式 f(x)1 的解集； 第 - 6 - 页 共 12 页 - 6 - (II)若不等式 f(x)x4 对x2，8)恒成立，求 a 的取值范围。 第 - 7 - 页 共 12 页 - 7 - 第 - 8 - 页 共 12 页 - 8 - 第 - 9 - 页 共 12 页 - 9 - 第 - 10 - 页 共 12 页 - 10 - 第 - 11 - 页 共 12 页 - 11 - 第 - 12 - 页 共 12 页 - 12 -
