1、第第 3 3 讲讲 随机变量及其分布列随机变量及其分布列 感感悟高悟高考考 明确考向明确考向 (2010 福建)设 S 是不等式 x2x60 的解集， 整数 m， nS. (1)记“使得 mn0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 m2，求 的分布列及其数学期望 E. 解 (1)由 x2x60，得2x3， 即 Sx|2x3 由于 m，nZ，m，nS 且 mn0，所以 A 包含的 基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0) (2)由于 m 的所有不同取值为2，1,0,1,2,3， 所以 m2的所有不同取值为 0,1,4,9， 且
2、有 P(0)1 6，P(1) 2 6 1 3，P(4) 2 6 1 3， P(9)1 6. 故 的分布列为 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E01 61 1 34 1 39 1 6 19 6 . 考题分析 本题考查了基本事件的概念， 考查了离散型 随机变量的分布列及其数学期望的计算 考查考生综合 应用数学知识解决问题的能力 易错提醒 (1)易忽略特例(0,0)这一基本事件 (2)搞不清 的所有可能值与 m 的所有可能值的关系 基 本事件确定有误 (3)书写不规范，计算错误 主干知识梳理主干知识梳理 1条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A)P(A
3、B) P(A) . 2相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B) 3独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Ck np k(1p)nk，k0,1,2，n. 4离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量可能取的值为x1， x2， ， xi， ， 取每一个值 xi的概率为 P(xi)pi，则称下表： x1 x2 x3 xi P p1 p2 p3 pi 为离散型随机变量 的分布列 (2)离散型随机变量 的分布列具有两个性质： pi0，p1p2pi1(i1,2,3，) 5常见的离散型随机变量的分布 (1
4、)两点分布 分布列为(其中 04) ( ) A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5 解析 由于 X 服从正态分布 N(3,1)， 故正态分布曲线的对称轴为 X3. 所以 P(X4)P(X4)1P(2X4) 2 0.158 7. B 3甲射击命中目标的概率是1 2，乙命中目标的概率是 1 3， 丙命中目标的概率是1 4.现在三人同时射击目标， 则目 标被击中的概率为 ( ) A.3 4 B. 2 3 C. 4 5 D. 7 10 解析 设甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B， 丙命中目标为事件 C，则目标被击中的事件可以表示为 ABC，即击中目标表示事件 A
5、、B、C 中至少有一个 发生 P(A B C)P(A) P(B) P(C) 1P(A) 1P(B) 1P(C) (11 2)(1 1 3)(1 1 4) 1 4. 故目标被击中的概率为 1P(A B C)11 4 3 4. A 4从编号为 1,2，10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为( ) A. 1 84 B. 1 21 C. 2 5 D. 3 5 解析 从 10 个球中任选 4 个共有 C4 10种取法， 所取 4 个 球中最大号码是 6 的取法共有 C3 5种， 所求概率为 P C3 5 C4 10 1 21. B 5一个篮球运动员投篮一
6、次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c，(a，b，c(0,1)， 已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其它得分 情况)，则 ab 的最大值为 ( ) A. 1 48 B. 1 24 C. 1 12 D. 1 6 解析 E3a2b1， 又 13a2b2 6ab， ab 1 24. B 二、填空题 6 (2009 上海)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选 出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E _(结果用最简分数表示) 解析 的可能取值为 0,1,2， P(0)C 2 5 C2 7 10 21，P(1) C
7、1 5C 1 2 C2 7 10 21， P(2)C 2 2 C2 7 1 21， E10 210 10 211 1 212 4 7. 4 7 7设随机变量 XB(2，p)，YB(4，p)，若 P(X1) 5 9，则 P(Y1)_. 解析 XB(2，p) P(X1)P(X1)P(X2) C1 2p(1p)C 2 2p 2 2p2p2p22pp25 9， p1 3. YB(4，1 3)， P(Y0)C0 4(2 3) 416 81， P(Y1)1P(Y0)65 81. 65 81 8已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，若 EX0， DX1，则 a_，b_. X 1 0 1 2 P a b c
8、 1 12 解析 由题意知 abc11 12， ac1 60 ac1 31， ，解得 a 5 12， b1 4， c1 4. 5 12 1 4 三、解答题 9由于某高中建设了新校区，为了交通方便要用三辆 通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区 到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为 1 4， 不堵车的概率为 3 4； 汽车走公路堵车的概率为 p， 不堵车的概率为 1p， 若甲、 乙两辆汽车走公路， 丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车 相互之间没有影响 (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 7 16， 求 走公路堵车的概率； (2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的
9、个数 的分布列和数学期望 解 (1)由已知条件得 C1 2 1 4 3 4 (1p)( 3 4) 2 p 7 16，即 3p1，则 p 1 3，p 的值为 1 3. (2) 可能的取值为 0,1,2,3，P(0)3 4 3 4 2 3 3 8， P(1) 7 16， P(2)1 4 1 4 2 3C 1 2 1 4 3 4 1 3 1 6， P(3)1 4 1 4 1 3 1 48. 的分布列为 0 1 2 3 P 3 8 7 16 1 6 1 48 所以 E03 81 7 162 1 63 1 48 5 6. 10在 2010 年的某种计算机考试中，计算机考试按科 目 A、科目 B 依次进行
10、，只有拿到科目 A 成绩合格 时，才可继续参加科目 B 的考试，已知每个科目只 允许有一次补考机会，两个科目均合格方可获得证 书，现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合 格的概率为3 4，科目 B 每次考试合格的概率为 2 3，假 设各次考试合格与否均互不影响 (1)求他不需要补考可获得证书的概率； (2)在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机 会，记他参加考试的次数为 ，求随机变量 的分布 列和数学期望 解 设该人参加科目 A 考试合格和补考为事件 A1、A2， 参加科目 B 考试合格和补考合格为事件 B1、B2，事件 A1、A2、B1、B2相互独立 (1)设该人不需要补考就可获得证书为事件 C， P(C)P(A1 B1)P(A1) (B1)3 4 2 3 1 2. (2) 的可能取值为 2,3,4. 则 P(2)3 4 2 3 1 4 1 4 27 48 9 16， P(3)3 4 1 3 2 3 1 4 3 4 2 3 3 4 1 3 1 3 18 48 3 8， P(4)1 4 3 4 1 3 2 3 1 4 3 4 1 3 1 3 3 48 1 16. 所以，随机变量 的分布列为 2 3 4 P 27 48 18 48 3 48 所以 E227 483 18 484 3 48 5 2. 返回返回
