1、 河北省深州市长江中学 2019-2020 学年 高二下学期第一次月考试题 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1设P是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab 上的一动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和 为（ ） A2b B2a Cb Da 2若曲线 22 1 11 xy kk 表示椭圆，则k的取值范围是( ) A1k B1k C11k D10k 或01k 3若椭圆 2 9 x 2 2 y m 1(m0)的一个焦点坐标为(1，0)，则 m 的值为（ ） A5 B3 C2 3
2、 D2 2 4已知双曲线的标准方程是 2 2 1 9 y x ，其渐近线方程是（ ） A 3yx B4yx C4xy D3xy 5双曲线C： 22 1 94 yx 的离心率是（ ） A 5 3 B 13 3 C13 9 D 13 2 6若双曲线 22 22 1 xy ab 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 2 D 5 3 7抛物线 2 yx 的焦点坐标为（ ） A 1 (,0) 2 B 1 ( ,0) 2 C 1 (,0) 4 D 1 ( ,0) 4 8下列求导结果正确的是（ ） A 2 112xx Bcos30sin30 C 1 ln 2 2
3、x x D 3 3 2 xx 9已知函数 ( )yf x 在1x 处的切线与直线30xy垂直，则(1) f （ ） A2 B0 C1 D1 10已知函数 2 ( )3f xx，则(3) f （ ） A6 B12 C18 D27 11若向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ，则2a b（ ） A( 4,1,0) B( 4,1, 4) C(4, 1,0) D(4, 1, 4) 12已知平面 和平面 的法向量分别为3,1,2 ,6, 2,10mn ，则（ ） A B C 与 相交但不垂直 D以上都不对 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题（每题 5 分，
4、共 20 分） 13焦点在 x 轴上的椭圆 22 1 4 xy m 的焦距是 2，则 m 的值是_ 14双曲线 2 2 1 2 x y的渐近线方程是_；焦点坐标_. 15若向量( , 1,3)ax，向量(2, ,6)by，且/ab，则x_， y _. 16已知函数 32 1 24 2 f xxxx,则函数的单调减区间为_. 三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分） 17求下列函数的导数： （1） cosyxx ； （2） 2 ln x y x . 18设函数 2 ( )1 lnf xxx （1）求 ( )f x的单调区间； （2）求函数 ( )( )g xf xx 在
5、区间 1 ,2 2 上的最小值 19已知椭圆 C 的两焦点分别为 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为 6 求椭圆 C 的标准方程; 已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点, 求线段 AB 的长度 20 如图， 四棱锥中， 底面 ABCD 为平行四边形， ， 底面 ABCD 证明：； 求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小 21长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1,1ABBCAA （1）求直线 1 AD与 1 B D所成角； （2）求直线 1 AD与平面 11 B BDD所成角的正弦. 22已知抛物线 2 2(0)ypx p的准
6、线方程为1x. （）求p的值； （）直线:1l yx交抛物线于A、B两点，求弦长AB. 参考答案 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1设P是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab 上的一动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和 为（ ） A2b B2a Cb Da 【答案】B 【解析】 【分析】 由椭圆的定义 12 2PFPFa即可得解. 【详解】 解：设椭圆的两个焦点为 12 ,F F，点P为椭圆上的点， 由椭圆的定义有： 12 2PFPFa， 故选：B. 【点睛】 本题考
7、查了椭圆的定义，属基础题. 2若曲线 22 1 11 xy kk 表示椭圆，则k的取值范围是( ) A1k B1k C11k D10k 或 01k 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆标准方程可得 10 10 11 k k kk ，解不等式组可得结果. 【详解】 曲线 22 1 11 xy kk 表示椭圆， 10 10 11 k k kk ， 解得11k ，且0k ， k的取值范围是10k 或01k，故选 D 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法， 意在考查对基础知识掌握的熟练程度， 属 于简单题. 3若椭圆 2 9 x 2 2 y m 1(m0)的一个焦点坐标为(1，0)
8、，则 m 的值为（ ） A5 B3 C2 3 D2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 解方程 2 91m即得解. 【详解】 由题得 2 91m，所以2 2m . 因为0m，所以2 2m . 故选：D 【点睛】 本题主要考查椭圆的简单几何性质， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 4已知双曲线的标准方程是 2 2 1 9 y x ，其渐近线方程是（ ） A 3yx B4yx C4xy D3xy 【答案】A 【解析】 【分析】 由标准方程求出, a b，即可求解 【详解】 双曲线的标准方程是 2 2 1 9 y x ，可得1a ，3b， 由于渐近线方程为3yx ，即为3yx 故
9、选：A 【点睛】 本题考查双曲线渐近线方程的求法，需要注意焦点是在x轴还是y轴上，属于基础题 5双曲线C： 22 1 94 yx 的离心率是（ ） A 5 3 B 13 3 C13 9 D 13 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线离心率定义直接计算得到答案. 【详解】 双曲线C： 22 1 94 yx ，故3a ，2b， 22 13cab ，故 13 3 c e a . 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的离心率，属于简单题. 6若双曲线 22 22 1 xy ab 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 2 D 5 3 【答案】D 【
10、解析】 【分析】 实轴长、虚轴长、焦距成等差数列可得, ,a b c，再结合 222 abc可求得离心率. 【详解】 因为实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，故2bac， 所以 2 2 4bac，又 222 cab，故 2 22 4 caac， 整理得到4 caca ，故 5 3 c a ， 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线的离心率，注意根据题设条件构建, ,a b c的方程，本题属于基础题. 7抛物线 2 yx 的焦点坐标为（ ） A 1 (,0) 2 B 1 ( ,0) 2 C 1 (,0) 4 D 1 ( ,0) 4 【答案】C 【解析】 试题分析： 2 yx ，2p=1， 1 24 p
11、 ，抛物线 2 yx 的焦点坐标为 1 (,0) 4 ，故 选 C 考点：本题考查了抛物线焦点坐标的求法 点评：熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键，属基础题 8下列求导结果正确的是（ ） A 2 112xx Bcos30sin30 C 1 ln 2 2 x x D 3 3 2 xx 【答案】D 【解析】 【分析】 按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可 【详解】 对于 A， 2 (1)2xx ，故 A 错误； 对于 B，(cos30 )0 ，故 B 错误； 对于 C， 11 (2 )(2 ) 2 lnxx xx ，故 C 错误； 对于 D， 31 3
12、22 33 () 22 xxxx ，故 D 正确 故选：D 【点睛】 本题考查基本初等函数求导问题， 解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算， 求出正 确的导数即可 9已知函数 ( )yf x 在1x 处的切线与直线30xy垂直，则(1) f （ ） A2 B0 C1 D1 【答案】C 【解析】 分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可. 详解：由题可知：函数 yf x在1x 处的切线的斜率为 1 f ，直线30xy的斜 率为-1，故 1f =-1 得 1 f 1，故选 C. 点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题. 10已知函数 2 ( )3f xx，则(3) f
13、 （ ） A6 B12 C18 D27 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出导函数( )fx ，再计算导数值 【详解】 2 ( )3f xx，( )6fxx ，(3)6 318 f 故选：C 【点睛】 本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础 11若向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ，则2a b（ ） A( 4,1,0) B( 4,1, 4) C(4, 1,0) D(4, 1, 4) 【答案】C 【解析】 【分析】 由 111 ( ,)mx y z， 222 (,)nx y z，则 122212 (,)mnxx xy zz，代入运算即可 得解.
14、【详解】 解:因为向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ， 则2(4,0, 2)a , 则2a b(4, 1,0) , 故选:C. 【点睛】 本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题. 12已知平面 和平面 的法向量分别为3,1,2 ,6, 2,10mn ，则（ ） A B C 与 相交但不垂直 D以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算结果，即可判断. 【详解】 因为18 2 200m n 故可得mn， 则平面 和平面 垂直. 故选：A. 【点睛】 本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系. 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说
15、明 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13焦点在 x 轴上的椭圆 22 1 4 xy m 的焦距是 2，则 m 的值是_ 【答案】5 【解析】 【分析】 由题意可知：1c，根据椭圆的性质可知： 22 mbc，即可求得 m 的值. 【详解】 由题意可知，22c ，即1c， 由椭圆的性质可知： 22 mbc， 即4 15m ， 故答案为:5. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题. 14双曲线 2 2 1 2 x y的渐近线方程是_；焦点坐标_. 【答案】 2 2 yx (3 , 0 ) 【解析】 【分析】 直接根据双曲线的简单性质即可求出 【详解】 解
16、：在双曲线 2 2 2 x y1 中，a22，b21， 则 c2a2+b23， 则 a 2 ，b1，c 3 ， 故双曲线 2 2 2 x y1 的渐近线方程是 y 2 2 x，焦点坐标（3 ，0） ， 故答案为：y 2 2 x， （3 ，0） 【点睛】 本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题 15若向量( , 1,3)ax，向量(2, ,6)by，且/ab，则x_， y _. 【答案】1 -2 【解析】 【分析】 由题意可得 13 26 x y ，再求解即可. 【详解】 解：由向量( , 1,3)ax，向量(2, ,6)by，且 /ab， 则 13 26 x y ， 解得：x1,y2 ， 故答
17、案为：1，-2. 【点睛】 本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题. 16已知函数 32 1 24 2 f xxxx,则函数的单调减区间为_. 【答案】 2 1, 3 【解析】 【分析】 求导求导 2 32fxxx ，解 0fx 即可. 【详解】 求导 2 32321fxxxxx ，令 0fx 得到 2 1x 3 函数的单调减区间为 2 1, 3 故答案为： 2 1, 3 【点睛】 本题考查利用导数求三次函数的单调区间，属于基础题. 三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分） 17求下列函数的导数： （1） cosyxx ； （2） 2 ln x y x . 【答案
18、】 （1）sin1x（2） 3 12ln x x 【解析】 【分析】 （1）根据导数的加法法则，以及基础函数的导数，可得结果. （2）根据导数的除法法则，以及基础函数的导数，可得结果. 【详解】 解： （1）(cos )( )sin1yxxx . （2） 2 22 443 1 2ln (ln )ln 12ln xxx xxxx x x y xxx . 【点睛】 本题考查导数的运算，属基础题. 18设函数 2 ( )1 lnf xxx （1）求 ( )f x的单调区间； （2）求函数 ( )( )g xf xx 在区间 1 ,2 2 上的最小值 【答案】 （1）见解析； （2）1 【解析】 【分
19、析】 (1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值. 【详解】 （1）定义域为0,， 1 2fxx x ，由 0fx 得 2 2 x ， f x的单调递减区间为 2 0, 2 ，单调递增区间为 2 + 2 ，； （2） 2 (l)1nxgxxx 2111 21 xx gxx xx ，由 0gx 得1x ， g x在 1 1 2 ，上单调递减，在（1，2）上单调递增， g x的最小值为 11g. 【点睛】 (1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和 分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D求导 (
20、) fx解不等式 ( ) fx 0 得解集P求DP,得函数的单调递增（减）区间. 19 已知椭圆 C 的两焦点分别为 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为 6 求椭圆 C 的标准方程; 已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点, 求线段 AB 的长度 【答案】 （1） 22 1 91 xy ； （2） 6 3 5 【解析】 【分析】 (1)由焦点坐标可求 c 值，a 值，然后可求出 b 的值进而求出椭圆 C 的标准方程 （2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度 【详解】 解：由 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为
21、6 得：2 2,3ca所以1b 椭圆方程为 22 1 91 xy 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,由可知椭圆方程为 22 1 91 xy , 直线 AB 的方程为2yx 把代入得化简并整理得 2 1036270xx 所以 1212 1827 , 510 xxx x 又 2 2 2 18276 3 (1 1 )(4) 5105 AB 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质， 考查韦达定理及弦长公式的应用， 考查运算能力， 属于中档题 20 如图， 四棱锥中， 底面ABCD为平行四边形， ， 底面 ABCD 证明：； 求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小 【答案】
22、（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （）由余弦定理得 ，从而 BDAD，由 PD底面 ABCD，得 BDPD，从而 BD平面 PAD，由此能证明 PABD （）以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标 系 D-xyz，利用向量法能法出平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小 【详解】 证明：因为， 由余弦定理得，从而，故 BD， 又底面 ABCD，可得，所以平面故 如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长， 射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，0， ，0， 平面 PAD 的一个法向量为1，设平面 PBC 的
23、法向量为y， ， 则，取，得1， ，故平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 21长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1,1ABBCAA （1）求直线 1 AD与 1 B D所成角； （2）求直线 1 AD与平面 11 B BDD所成角的正弦. 【答案】 （1）直线 11 ADB D与所成角为 90 ； （2） 10 5 【解析】 试题分析： （1）建立空间直角坐标系，求出直线 AD1与 B1D 的方向向量，利用向量
24、的夹角 公式，即可求直线 AD1与 B1D 所成角； （2）求出平面 B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线 AD1与平面 B1BDD1 所成角的正弦 解： （1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0） ，D1（1，0，1） ，B1（0，2，1） ，D （1，0，0） ， cos = 1 1 26 =0， =90 ， 直线 AD1与 B1D 所成角为 90 ； （2）设平面 B1BDD1的法向量 =（x，y，z） ，则 ，=（1，2，0） ， ， 可取 =（2，1，0） ， 直线 AD1与平面 B1BDD1所成角的正弦为 2 25 = 考点：直线与平面所成的角；异面直线及
25、其所成的角 22已知抛物线 2 2(0)ypx p的准线方程为1x. （）求p的值； （）直线:1l yx交抛物线于A、B两点，求弦长AB. 【答案】 （）2； （）8. 【解析】 【分析】 （） 依已知得1 2 p ， 所以2p ； （） 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 1 4 yx yx 消去y， 得 2 610xx ,再利用韦达定理求弦长AB. 【详解】 （）依已知得1 2 p ，所以2p ； （）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 2 1 4 yx yx 消去y，得 2 610xx ， 则 12 6xx， 12 1x x ， 所以 22 1212 ABxxyy 2 12 2xx 2 121 2 24xxx x 2328 . 【点睛】 本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算， 意在考查学生对这些知识的理解能力掌 握水平及其应用能力.
