1、1 2一、数的发展史被被“数数”出来的自然出来的自然数数 远古的人类，为了统计捕获的野远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，兽和采集的野果，用划痕、用划痕、石子、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数造了自然数1、2、3、4、5、自然自然数是现实世界最基本的数量，是全数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地部数学的发源地 古代印度人最早使用了古代印度人最早使用了“0”.3被被“分分”出来的分出来的分数数 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的是远远不行的.分数的引入分数的引入,解决
2、了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾.如果分配猎获物时，如果分配猎获物时，2个人分个人分1件东西，每个人应该得多少呢？件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了于是分数就产生了.4被被“欠欠”出来的负出来的负数数 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数要，人类引进了负数 负数概念最早产生于我国负数概念最早产生于我国，东汉东汉初期的初期的“九章算术九章算术”中就有负数的说法公元中就有负数的说法公元3世纪，刘世纪，刘徽在注解徽在注解“九章算术九章算术”时，明确定义了正负数：时，明确定义了正负数：“两算两算
3、得失相反，要令正负以名之得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则了正负数的加减法运算法则 千年之后，千年之后，负数概念才经负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.5被被“推推”出来的无理出来的无理数数 2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都世间任何数都可以用整数或分数表示可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条.有一有一天天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现这个学派中的一个成员希伯斯突然发
4、现边长为边长为1的正方的正方形的对角线是个奇怪的数形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究于是努力研究,终于证明出终于证明出它不它不能用整数或分数表示能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.6i 的引入:对于一元二次
5、方程对于一元二次方程 没有没有实数实数根根012 x12 x12 ii7虚数单位 i引入一个新数引入一个新数 ，叫做虚数单位，并规定：叫做虚数单位，并规定：ii（1 1）它的平方等于）它的平方等于 -1-1，即，即21.i （2 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立时，原有的加、乘运算律仍然成立 8二、复数二、复数形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.其中其中i是虚数单位是虚数单位.全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做,表示表示|,Cabi a bR1、复数的概念、复数的概念N Z Q R C
6、92、复数的代数形式、复数的代数形式通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位.i10复数bia)(Rba，)0(b实数)0(b虚数)00(0ba，)00(0ba，实数非)00(ba，纯虚数)00(ba，非纯虚数3、复数的分类及其关系、复数的分类及其关系114、复数相等、复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即如果说这两个复数相等即如果 ，那么，那么Rdcba,abicdiac bd复数不一定能比较大小复数不一定能比较大小.0abi 00,ab 125、共轭复数、
7、共轭复数Z=a+bi(a,bR)，其共轭复数为：，其共轭复数为：0(,)zabia bR13三、例题讲解21(1)32;(2)3;21(3)3;(4)0.2;2(5)21 (6);iiiii例例1.判断下列各数判断下列各数,哪些是实数哪些是实数?哪些是虚数哪些是虚数?若是虚数请指出实部与虚部若是虚数请指出实部与虚部.14（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数01 m1 m（3）当当 0101mm即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数1 m解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m11()zmmi 是是15练习练习:当当m为何实数时，复数为何实
8、数时，复数 （1）实数）实数;（2）虚数）虚数;（3）纯虚数）纯虚数.2221()Zmmmi 是是11();m 21();m 32().m 16例例3.设设x，yR，并且，并且 2x1+xi=y3i+yi，求，求 x，y.171.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：3.3.复数的分类：复数的分类：学习小结学习小结18在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想？想一想？类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示上的点来表示.实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形
9、)(数数)一一对应一一对应 19复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面来表示复数的平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面(简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi5、复数的几何意义、复数的几何意义复数复数z=a+bi一一对应一一对应OZ 平平面面向向量量20 xyobaZ(a,b)z=a+bi.OZzabizabi 向向量量的的模模叫叫做做复复数数的的模模，记记为为或或22zabiab21(A)在复平面内，对应
10、于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数数都是纯虚数.例例1.辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D222“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)是纯虚数是纯虚数”的（的（）(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分
11、不必要条件不充分不必要条件3“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所对应的点在虚所对应的点在虚轴轴 上上”的（的（）(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件23例例2.已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围允许的取值范围.表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题
12、代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m24变式一：已知复数变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内在复平面内所对应的点在直线所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数上，求实数m的值的值.解：解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对在复平面内所对 应的点是（应的点是（m2+m-6，m2+m-2），），(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，m=1或或m=-2.25xyobaZ(a,b)z=a+bi复数复数z=a+bi一一对应一一对应OZ
13、 平平面面向向量量复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应263=1.zzz例例 已已知知复复数数 满满足足，求求复复平平面面内内 对对应应的的点点的的轨轨迹迹.(,),zxyi x yR分分析析：设设则则22=1xy，22=1xy，点点的的轨轨迹迹是是以以原原点点为为圆圆心心，1 1为为半半径径的的圆圆.2=1()zziz 已已知知复复数数 满满足足，求求复复平平面面内内 对对应应的的点点的的轨轨迹迹.271.(),AOABC OAziB C 例例4 4已已知知在在复复平平面面上上正正方方形形为为原原点点 顶顶点点对对应应的的复复数数=求求对对应应的的
14、复复数数.283.2.1复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算29一、温故而知新一、温故而知新（4）复数的几何意义）复数的几何意义（1）复数的概念）复数的概念（2）复数的分类）复数的分类（3）复数相等）复数相等301、复数的加法法则：设、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两复数，那么它们的和：是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（1）复数的加法运算法则是一种规定）复数的加法运算法则是一种规定.当当b=0，d=0时与实数时与实数 加法法则保持一致加法法则保持一致;（2）两个复数的和仍然是一个复数）两个复数的
15、和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广对于复数的加法可以推广 到多个复数相加的情形到多个复数相加的情形.二、探究新知二、探究新知说明说明:31问：复数的加法满足交换律，结合律吗？问：复数的加法满足交换律，结合律吗？设设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,dR)12+()()zzacbd i =21+()()zzcadb i =1221+zzzz 123123()()zzzzzz 32),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 1OZ2OZ abi+cdi+1(,),OZa b=2(,),OZc d=向量向量 就是与复数就是与
16、复数 OZ()()a cb d i+对应的向量对应的向量.问：复数加法的几何意义吗？问：复数加法的几何意义吗？12(,)(,)(,)OZOZOZa bc dac bd=+=+=+33问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数的复数x+yi 叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的差的差,记作记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复
17、数的差是唯一确定的复数两个复数的差是唯一确定的复数.()()()()abicdiacbd i+-+=-+-说明说明:2、复数的减法法则：、复数的减法法则：34问：复数减法的几何意义？问：复数减法的几何意义？yxO1Z2Z向量向量 就是与复数就是与复数 对应的向量对应的向量.12ZZidbca)()(设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 1OZ2OZ abi+cdi+1(,),OZa b=2(,),OZc d=2112Z ZOZOZ =-(,)ac bd=-=-353、复数的乘法法则：、复数的乘法法则：()()abi cdi+=2acadibcibdi+)()acbd
18、bcad i=-+（(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数；说明说明:(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算，只是在运算 过程中把过程中把 换成换成1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并.2i36易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律任何任何z1,z2 ,z3 C,有有12211();zzzz 1231232()()();zzzzzz 12312133()().zzzzzzz 37例题例题 211 562342 2323 1()()()().()()();()().iiiii
19、i 例例 计计算算：-+-+-+-+-+-+38310().zi zz 例例2 2 已已知知复复数数 满满足足，求求复复数数+=+=(,),zxyi x yR分分析析：设设则则310()()ixyi，+=+=3310(),xyxy i即即-+=3=1030,xyxy，-+=3-1,xy，=3-.zi 39*?()ninN 探探究究：,ii =21,i =-=-3,ii=-41,i =5,ii=61,i =41,nii+=421,ni+=43,nii+=-=-41,ni=练习练习：（1）i+i2+i3+i2007=_；（2）i+i3+i5+i33=_.40 定义定义:把满足把满足(c+di)(x
20、+yi)=a+bi (c+di0)的复数的复数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数 c+di 的的商商,其中其中a,b,c,d,x,y都是实数都是实数,记为记为4、复数的除法法则：、复数的除法法则：()().abiabicdicdi 或或41(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0)()()(),cdixyicxdydxcy i(),cxdydxcy iabi ,cxdyadxcyb ,cxdyadxcyb 2222.acbdxcdbcadycd 42abicdi ()()()()abi cdicdi cdi 22acadibcibdcd 2222acbdbcadi
21、cdcd (分母实数化分母实数化)2222acbdbcadicdcd abicdi 4331234.()().ii 例例 计计算算：1234ii 解解：1234=3434()()()()iiii510=25i 12=55i44练练习习：20141111232321();()().iiii 1.1.计计算算：1 32.()_.iaRaai 若若复复数数是是纯纯虚虚数数，则则实实数数4113();i答答案案：21().4532213+3121().(),.iizazbziizza bRa b 例例 已已知知复复数数，且且，求求实实数数、1+,zi 分分析析：21zz=11()z z 1+1()i i,i 2zazb21+1+()()iaib 2()abai 21 1()()zzi1()ii1,i 121,aba 12ab 46
