函数知识点总结与经典例题与解析.doc_163文库

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1、函数知识点总结函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横

2、坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0, 0yx 点 P(x,y)在第二象限0, 0yx 点 P(x,y)在第三象限0, 0yx 点 P(x,y)在第四象限0, 0yx 2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时

3、为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点 P

4、(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx 知识点三、函数及其相关概念知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围

5、。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数和一次函数知识点四、正比例函数和一次函数 1、正

6、比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy （k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0，0）的直线。 k 的符号 b 的符号函数图像图像特征 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 b0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时

7、，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 时，抛物线开口向上；a0 时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ，故：0b时，对称轴为y轴；0 a b （即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0 a b （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口口诀左同诀左同右异右异）（3）c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置. 当0x时，cy ，抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，

8、c）： 0c，抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴； 0c,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0 a b . 经典例题与解析经典例题与解析（二次函数与三角形）（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数 y= x 2+bx+c，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（2，）（1）求此二次函数的解析式（2）设该图象与 x 轴交于 B、C 两点（B 点在 C 点的左侧），请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 E，使EBC 的面积最大，并求出最大面积 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A 在 B 的左

9、侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，9 2）（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使 CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EFAC交线段BC于点F，连接CE，记CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由 3、如图，一次函数y4x4 的图象与x轴、y轴分别交于A、C 两点，抛物线y4 3x 2bxc 的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；

10、（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N问在x 轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由（二次函数与四边形）（二次函数与四边形） B x y O (第 2 题图) C A D B x y O (第 3 题图) C A C O A y x D B C O A y x D B M N l:xn 4、已知抛物线 2 17 2 22 yxmxm (1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3 时，抛

11、物线的顶点为点C，直线y=x 1 与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点 D 抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、 D、M、N为顶点的四边形是平行四边形 5、如图，抛物线ymx 211mx24m (m0) 与 x轴交于B、C两点（点B在点 C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC90 （1）填空：OB_ ，OC_ ；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图 2，设

12、垂直于x轴的直线l：xn与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值 6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD， BAD=90，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（1 0 ，），B（1 2 ，），D（3，0）连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON若抛物线 2 yaxbxc经过点 D、M、N （1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否

13、存在点 P，使得 PA=PC，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值 7、已知抛物线 2 23 (0)yaxaxa a与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（1）求 A、B 的坐标；（2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC，求 a 的值和直线 CD 的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点

14、N 作 NF 丄 x 轴，并交直线 CD 于点 F，则直线 NF 上是否存在点 M，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过 M（1， 0）和 N（3，0）两点，且与 y 轴交于 D（0，3），直线 l 是抛物线的对称轴1）求该抛物线的解析式 2）若过点 A（1，0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6，求此直线的解析式 3）点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切，求点 P 的坐标 9、如

15、图，y 关于 x 的二次函数 y=（x+m）（x3m）图象的顶点为 M，图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴正半轴于 D 点以 AB 为直径作圆，圆心为 C定点 E 的坐标为（3，0），连接 ED （m0）（1）写出 A、B、D 三点的坐标；（2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当 m 变化时，用 m 表示AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m 的函数图象的示意图。 10、已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线2x，且与 x 轴交于 A、 B 两点与 y 轴交于点 C其中 AI(1，0)，C(0

16、，3) （1）（3 分）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上运动（点 P 异于点 A）（4 分）如图 l当PBC 面积与ABC 面积相等时求点 P 的坐标；（5 分）如图 2当PCB=BCA 时，求直线 CP 的解析式。答案与分析：答案与分析： 1 1、解：解：（1）由已知条件得，（2 分）解得 b= ，c= ，此二次函数的解析式为 y= x 2 x ；（1 分）（2） x 2 x =0，x 1=1，x2=3， B（1，0），C（3，0），BC=4，（1 分） E 点在 x 轴下方，且EBC 面积最大，E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1， 3），（1 分

17、） EBC 的面积= 43=6 （1 分） 2 2、（1 1）抛物线的顶点为（1， 9 2）设抛物线的函数关系式为 ya ( x 1) 29 2 抛物线与y轴交于点C (0，4)， a (01) 29 24 解得 a1 2 所求抛物线的函数关系式为y1 2( x1) 29 2 （2 2）解：P1 (1， 17)，P2 (1， 17)， P3 (1，8)，P4 (1，17 8 )，（3 3）解：令1 2( x1) 29 20，解得 x12，x14 抛物线y1 2( x1) 29 2与 x轴的交点为A (2，0) C (4，0) 过点F作FMOB于点M， EFAC， BEFBAC， MF

18、 OC EB AB 又 OC4， AB6， MFEB AB OC2 3EB 设E点坐标为 (x， 0)，则EB4x，MF2 3 (4x) SS BCESBEF1 2 EB OC 1 2 EB MF1 2 EB(OCMF) 1 2 (4x)4 2 3 (4x) 1 3x 22 3x 8 3 1 3( x1) 23 a1 30，S 有最大值当x1 时，S最大值3 此时点E的坐标为 (1，0) 3、（1 1）一次函数y4x4 的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点， A (1，0) C (0，4) 把A (1，0) C (0，4)代入y4 3x 2 bxc得 4 3bc0 c4 解得 b8

19、3 c4 y4 3x 28 3x4 （2 2）y4 3x 28 3x4 4 3( x1) 216 3 顶点为D（1，16 3 ）设直线DC交x轴于点E 由D（1，16 3 ）C (0，4) 易求直线CD的解析式为y4 3x4 易求E（3，0），B（3，0） SEDB1 26 16 3 16 SECA1 2244 S 四边形ABDCSEDBSECA12 （3 3）抛物线的对称轴为x1 B x y O (第 3 题图) C A D E B x y O (第 3 题图) C A P M N 做BC的垂直平分线交抛物线于 E，交对称轴于点D3 易求AB的解析式为 y 3x 3 D3E是BC的垂直平

20、分线 D3EAB 设D3E的解析式为y 3xb D3E交x轴于（1，0）代入解析式得b 3, y 3x3 把x1 代入得y0 D3 (1，0), 过B做BHx轴，则BH1 11 在 RtD1HB中，由勾股定理得D1H 11 D1（1， 11 3）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标D1（1， 11 3）, D2（1，2 2）, D3 (1，0), D4 (1, 11 3)D5（1，2 2） 4、(1)(1)= 217 42 22 mm = 2 47mm= 2 443mm= 2 23m，不管m为何实数，总有 2 2m0，= 2 23m0，无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点

21、(2)(2) 抛物线的对称轴为直线x=3，3m，抛物线的解析式为 2 15 3 22 yxx= 21 32 2 x，顶点C坐标为（3，2），解方程组 2 1, 15 3 22 yx yxx ，解得 1 1 1 0 x y 或 2 2 7 6 x y ，所以A的坐标为（1， 0）、 B的坐标为（7，6），3x 时y=x1=31=2，D 的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3， DE=CE=2，假设抛物线上存在一点 P 使得四边形ACPD是正方形，则AP、 CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=

22、4， APCD，故抛物线上不存在一点 P 使得四边形ACPD是正方形 ()设直线CD向右平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3n，直线CD与直线y=x1 交于点M（3n，2n），又D 的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D通过向下平移 4 个单位得到C C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形（）当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移 4 个单位得N，N坐标为（3n，2n），又N在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 233 3 22 nnn

23、，解得 1 0n （不合题意，舍去）， 2 2n ，（）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移 4 个单位得N，N坐标 C O A y x D B E C O A y x D B M N l:xn E 为（3n，6n），又N在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 633 3 22 nnn，解得 1 117n （不合题意，舍去）， 2 117n ， () 设直线CD向左平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3n，直线CD与直线y=x1 交于点M（3n，2n），又D 的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D

24、通过向下平移 4 个单位得到C C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形（）当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移 4 个单位得N，N坐标为（3n，2n ），又N在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 233 3 22 nnn ，解得 1 0n （不合题意，舍去）， 2 2n （不合题意，舍去），（）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移 4 个单位得N，N坐标为（3n，6n），又N在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 633 3 22 nnn，解得 1 117n ， 2 117n （不

25、合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移 2 或（117）个单位或向左平移（117 ）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形 5、解：（1 1）OB3，OC8 （2 2）连接OD，交OC于点E 四边形OACD是菱形 ADOC，OEEC1 2 84 BE431 又BAC90， ACEBAE AE BE CE AE AE 2BECE14 AE2 点A的坐标为 (4，2) 把点A的坐标 (4，2)代入抛物线ymx 211mx24m，得m1 2 抛物线的解析式为 y1 2x 211 2 x12 （3 3）直线xn与抛物线交于点M 点M的坐标为 (n，1 2n 211 2 n

26、12) 由（2）知，点D的坐标为（4，2），则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y1 2x4 点N的坐标为 (n， 1 2n4) MN（ 1 2n 211 2 n12）（1 2 n4）1 2n 25n8 S四边形AMCNSAMNSCMN1 2MNCE 1 2（ 1 2n 25n8）4(n5)2 9 当n5 时，S四边形AMCN9 6、解：（1 1）BCAD，B（-1，2），M 是 BC 与 x 轴的交点，M（0，2）， DMON，D（3，0），N（-3，2），则 930 2 930 abc c abc ，解得 1 9 1 3 2 a b c ， 2 11 2 93 yxx ；

27、（2 2）连接 AC 交 y 轴与 G，M 是 BC 的中点，AO=BM=MC，AB=BC=2，AG=GC，即 G（0，1）， ABC=90，BGAC，即 BG 是 AC 的垂直平分线，要使 PA=PC，即点 P 在 AC 的垂直平分线上，故 P 在直线 BG 上，点 P 为直线 BG 与抛物线的交点，设直线 BG 的解析式为ykxb，则 2 1 kb b ，解得 1 1 k b ，1yx ， 2 1 11 2 93 yx yxx ，解得 1 1 33 2 23 2 x y ， 2 2 33 2 23 2 x y ，点 P（3 3 2 2 3 2 ，）或 P（3-3 2 2 3 2 ，

29、在（ 39 22 ，）的位置时，|QE-QC|最大，过点 C 作 CFx 轴，垂足为 F，则 CD= 2222 222 2CFDF 7 7、解：（解：（1 1）由 y=0 得，ax 2-2ax-3a=0， a0，x 2-2x-3=0，解得 x 1=-1，x2=3，点 A 的坐标（-1，0），点 B 的坐标（3，0）；（2 2）由 y=ax 2-2ax-3a，令 x=0，得 y=-3a， C（0，-3a），又y=ax 2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得 D（1，-4a）， DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a， -a=1，a=-1， C（0，3）， D（1

30、，4），设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C、D 两点的坐标代入得，，解得，直线 CD 的解析式为 y=x+3；（3 3）存在由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） F（，），EN= ，作 MQCD 于 Q，设存在满足条件的点 M（，m），则 FM= -m， EF= = ，MQ=OM= 由题意得：RtFQMRtFNE， = ，整理得 4m 2+36m-63=0，m2+9m= ， m 2+9m+ = + （m+ ） 2= m+ = m1= ， m2=- ，点 M 的坐标为 M1（，），M2（，- ） 8、解：（1 1）抛物线 y=ax 2+b

31、x+c（a0）的图象经过 M（1，0）和 N（3，0）两点，且与 y 轴交于 D（0，3），假设二次函数解析式为：y=a（x1）（x3），将 D（0，3），代入 y=a（x1）（x3），得：3=3a， a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x 24x+3；（2 2）过点 A（1，0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6， ACBC=6，抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过 M（1，0）和 N（3，0）两点，二次函数对称轴为 x=2， AC=3，BC=4，B 点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，

32、，解得：，y= x+ ；（3 3）当点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切， MOAB，AM=AC，PM=PC， AC=1+2=3，BC=4， AB=5，AM=3， BM=2， MBP=ABC，BMP=ACB， ABCCBM，，PC=1.5，P 点坐标为：（2，1.5） 9、解：（1 1）A（m，0），B（3m，0），D（0，m）（2 2）设直线 ED 的解析式为 y=kx+b，将 E（3，0），D（0，m）代入得：解得， k=， b=m 直线 ED 的解析式为 y=mx+m 将 y=（x+m）（x3m）化为顶点式：y=（x+m） 2+ m 顶点 M

33、的坐标为（m，m）代入 y=mx+m 得：m 2=m m0，m=1所以，当 m=1 时，M 点在直线 DE 上连接 CD，C 为 AB 中点，C 点坐标为 C（m，0） OD=，OC=1，CD=2，D 点在圆上又 OE=3，DE 2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2FDC=90直线 ED 与C 相切（3 3）当 0m3 时，SAED= AEOD=m（3m） S=m 2+ m 当 m3 时，SAED= AEOD=m（m3）即 S=m 2_ m x y O A B C E P P2 P3 第24题图1 10、解：（1 1）由题意，得 0 3 2

34、2 abc c b a ，解得 1 4 3 a b c 抛物线的解析式为 2 43yxx 。（2 2）令 2 430xx，解得 12 13xx， B（3, 0）当点 P 在 x 轴上方时，如图 1，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于点 P，易求直线 BC 的解析式为3yx，设直线 AP 的解析式为yxn，直线 AP 过点 A（1,0），代入求得1n。直线 AP 的解析式为 1yx 解方程组 2 1 43 yx yxx ，得 12 12 12 01 xx yy ，点 1(21) P，当点 P 在 x 轴下方时，如图 1 设直线 1 AP交 y 轴于点(01)E，把直线

35、BC 向下平移 2 个单位，交抛物线于点 23 PP、，得直线 23 P P的解析式为 5yx，解方程组 2 5 43 yx yxx ， 12 12 317317 22 717717 22 xx yy ， 23 317717317717 ()() 2222 PP ，综上所述，点 P 的坐标为： 1(21) P， 23 317717317717 ()() 2222 PP ， (3 0)(03)BC，OB=OC，OCB=OBC=45 设直线 CP 的解析式为 3ykx 如图 2，延长 CP 交 x 轴于点 Q，设OCA=，则ACB=45 PCB=BCA PCB=45 OQC=OBC-PCB=45-（45）= OCA=OQC x y O A B C 第24题图2 P Q 又AOC=COQ=90 RtAOCRtCOQ OAOC OCOQ ， 13 3OQ ，OQ=9，(9 0)Q ，直线 CP 过点(9 0)Q ，930k 1 3 k 直线 CP 的解析式为 1 3 3 yx。

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