1、一、向量法解几何问题的操作步骤及方法一、向量法解几何问题的操作步骤及方法二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示1.1.三边三边 2.2.三角三角 3.3.五线五线 5.5.面积面积 三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示4.4.五心五心 附录附录7 7 向量在平面几何中的简单应用向量在平面几何中的简单应用 中线中线角平分线角平分线高高中垂线中垂线欧拉线欧拉线 重心重心内心内心外心外心垂心垂心旁心旁心 6.6.三角形不等式三角形不等式 一、向量法解几问题何的操作步骤及方法一、向量法解几问题何的操作步骤及方法几几 何何 向向 量量
2、 平行垂直角距离平行垂直角距离 坐标法坐标法 基底法基底法 二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示1.1.三边三边 2.2.三角三角 3.3.五线五线 5.5.面积面积 4.4.五心五心 中线中线角平分线角平分线高高中垂线中垂线欧拉线欧拉线 重心重心内心内心外心外心垂心垂心旁心旁心 6.6.三角形不等式三角形不等式 二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示1.1.三边三边:2.2.三角三角:同联本角首尾补同联本角首尾补 同向为同向为O O反向反向,AB BC AC ,ACAB,CAAB,CABA(1).(1).已知等边已知等边ABCABC的边长
3、为的边长为1,1,则则 =_=_AB BC 12,ABBC ABAC 二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示 3.3.五线：五线：中线中线中线中线角平分线角平分线高高中垂线中垂线欧拉线欧拉线 )()(RACABAP高高角平分线角平分线中垂线中垂线()()OPR()()APR|ABAB|ACAC()()APR|cosABABB|cosACACC2OB OC|cosABABB|cosACACC 欧拉线欧拉线 练习练习2.2.五线五线 (2)(2005(2)(2005年江苏年江苏)在在ABCABC中，中，)(OCOBOA若若AM=2AM=2，则，则 的的最小值是最小值是_O
4、 O为中线为中线AMAM上上一个动点上上一个动点 -2-2A A C C B B M M O O 法法1 1：不妨将不妨将ABCABC看成等腰看成等腰Rt Rt 建系、坐标化建系、坐标化 (-2,0)(-2,0)(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)(0,(0,y)()OAOBOC 22(1)1y2 2(2)y y该方法显然不能该方法显然不能“上台面上台面”。如何大作呢？如何大作呢？坐标化的思路和方法虽可，但操作量太大坐标化的思路和方法虽可，但操作量太大练习练习2.2.五线五线 中线中线:(2)(2005(2)(2005年江苏年江苏)在在ABCABC中，中，)(OCOBOA若若AM=2AM=
5、2，则，则 的的最小值是最小值是_O O为中线为中线AMAM上上一个动点上上一个动点 -2-2A A C C B B M M O O 法法2 2：如图，如图，OBOC 2OM 2cosOAOM 2(2)x x)(OCOBOA(2)OAOM OMx 设0,222(1)1x2 角平分线角平分线:OC103 10,55(3)(2005(3)(2005年天津年天津)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中|=2,|=2,则则=_=_已知点已知点A(0,1)A(0,1)和点和点B(-3,4)B(-3,4)，若点，若点C C在在AOBAOB的平分线上的平分线上且且|OCA A C C B B O O(-3
6、,4)(-3,4)(0,1)(0,1)()()|OAOBOCROAOB 3 4(0,1)(,)5 5 3 9(,)5 5|2OC 3 10|25OC3(1,3)510310 3 10(,)55OC 析：析：如图，如图，由题意得由题意得而而，故，故即即二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示 4.4.五心五心OOCOBOA321OABOACOBC321S：S：S|：|：|重心重心内心内心外心外心垂心垂心旁心旁心 “奔驰奔驰”定理：定理：如图如图 C CO OA AB BOOCOBOA321OABOACOBC321S：S：S|：|：|“奔驰奔驰”定理：定理：如图如图 C C
7、O OA AB B(3).(3).练出好成绩练出好成绩P:351 Ex10 P:351 Ex10 练习练习3.“3.“奔驰奔驰”定理：定理：OOCOBOA3210321 O O是是ABCABC的重心的重心 O O是是ABCABC的内心的内心 O O是是ABCABC的垂心的垂心 O O是是ABCABC的外心的外心 O O是是ABCABC的旁心的旁心CBA2sin,2sin,2sin321cba321,)sin,sin,sin(321CBACBAtan,tan,tan321CBAtan,tan,tan321OOCOBOA321 O O是是ABCABC的外心的外心CBA2sin,2sin,2sin3
8、21C CO OA AB B(4).(4).练出好成绩练出好成绩P:351 Ex5 P:351 Ex5 练习练习4.4.五心五心 ：二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示1.1.三边三边 2.2.三角三角 3.3.五线五线 5.5.面积面积 4.4.五心五心 中线中线角平分线角平分线高高中垂线中垂线欧拉线欧拉线 重心重心内心内心外心外心垂心垂心旁心旁心 222)(|21ACABACABS实际上，向量式的优点在于：实际上，向量式的优点在于：1122(,),(,)ABx yACxy 则则若若2221221|1|()22x yx ySABACABAC 二、二、ABCABC诸
9、元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示 1.1.三边三边 2.2.三角三角 3.3.五线五线 5.5.面积面积 4.4.五心五心 6.6.三角形不等式三角形不等式 bababaababab三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示1.1.圆内接四边形判定定理：圆内接四边形判定定理：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补 那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆2.2.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形性质定理：D DA AB BC CA AB B3.3.已知线段的视角等于定角已知线段的视角等于定角的
10、点的轨迹的点的轨迹 是以该线段为弦是以该线段为弦,所含圆周角为所含圆周角为的两段圆弧的两段圆弧P P3.3.已知线段的视角等于定角已知线段的视角等于定角的点的轨迹的点的轨迹 是以该线段为弦是以该线段为弦,所含圆周角为所含圆周角为的两段圆弧的两段圆弧(5)(2011(5)(2011年全国年全国)设向量设向量 满足满足 abc，|cA.2 B.C.D.1 A.2 B.C.D.1 2|1ab12a b 060acbc，,则则 的最大值为的最大值为3析析1 1：由由 和和 得得|1ab12a b 0120ab，故可以构造一个圆内接四边形故可以构造一个圆内接四边形析析2 2：又因又因060acbc，练习
11、练习5.5.四边形及圆的某些元素及关系的向量表示四边形及圆的某些元素及关系的向量表示 (5)(2011(5)(2011年全国年全国)设向量设向量 满足满足 abc，|cA.2 B.C.D.1 A.2 B.C.D.1 2|1ab12a b 060acbc，,则则 的最大值为的最大值为3易得点易得点C C在优弧在优弧 上运动上运动析析3 3：如图如图,C CA AB BO O其外接圆的直径为其外接圆的直径为2sinABO由题意得由题意得 O,A,B,CO,A,B,C四点共圆四点共圆0120060bacC C在等腰在等腰OABOAB中，由正弦定理得中，由正弦定理得故故 的最大值为的最大值为OABOA
12、B外接圆的直径外接圆的直径|cAB【A】一、向量法解几何问题的操作步骤及方法一、向量法解几何问题的操作步骤及方法二、二、ABCABC诸元素及关系的向量表示诸元素及关系的向量表示1.1.三边三边 2.2.三角三角 3.3.五线五线 5.5.面积面积 三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示4.4.五心五心 附录附录7 7 向量在平面几何中的简单应用向量在平面几何中的简单应用 中线中线角平分线角平分线高高中垂线中垂线欧拉线欧拉线 重心重心内心内心外心外心垂心垂心旁心旁心 6.6.三角形不等式三角形不等式 ABCABC五线的向量表示五线的向量表示 中线中线)(
13、)(RACABAP高高角平分线角平分线中垂线中垂线()()OPR()()APR|ABAB|ACAC()()APR|cosABABB|cosACACC2OB OC|cosABABB|cosACACC 欧拉线欧拉线 OOCOBOA3210321 O O是是ABCABC的重心的重心 O O是是ABCABC的内心的内心 O O是是ABCABC的垂心的垂心 O O是是ABCABC的外心的外心 O O是是ABCABC的旁心的旁心CBA2sin,2sin,2sin321cba321,)sin,sin,sin(321CBACBAtan,tan,tan321CBAtan,tan,tan321OOCOBOA321OABOACOBC321S：S：S|：|：|“奔驰奔驰”定理定理C CO OA AB B如图如图
