1、圆的标准方程圆的标准方程【例1】法一直接求出直线与已知圆的交点，以这两个交点作为直径的端点时圆的半径最小法二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆的方程，然后利用函数的思想求最值法三从垂径定理的角度出发，得到圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小，此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2xy40上时，圆的半径最小，面积最小3017yxyyx一个圆与 轴相切，圆心在直线 上，且在直线 上截得的【变式练弦长为2，求习】此圆的方程22222222222().303.(3)()32 7|2|79721133.(3)(1)9(3)(1O abrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxy
2、xy设圆的圆心坐标为，半径为因为圆心在直线 上，所以 又圆与 轴相切，所以 所以所求圆的方程可设为 因为圆在直线 上截得的弦长为所以圆心到直线 的距离解得 或 ，则 或 所以所求圆的方程为 或【析】解2)9.圆的一般方程圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程 2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFa DDaa设所求圆的方程为 因为点、在此圆上，所以 ，又知该圆与 轴 直线 相切，所以由 ，由、消去【、可得解析】：，2222145410081716.01.0817160145
3、40.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由题意方程有唯一解，当 时，；当时，由 可解得 ，这时 ，综上可知，所求 的值为 或当 时，圆的方程为 ；当 时，圆的方程为 与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程【变式练习2】已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示的图形是一个圆(1)当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围 2224222222222222(3)2(14)1690(3)(14)76
4、1.3167617()7713161777241316()()7497312xymxmymxmymmmrmmmmmrxy将方程 化为 要使圆的面积最大，需半径最大而 ，它是一个一元二次函数，其图象的开口向下因为，所以当 时，取得最大值此时【圆的方程为 当且】仅当解析22224246(3)2(14)41690386004mmmmmmmmP 即，即时，点 在圆内与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 12121214()23OOOOPOOPMPN MNPMPNP如图，与的半径都是，过动点 分别作、的切线、分别为切点，使得，试建立适当的坐标系，求动点 的轨【例】迹方程12121222221222222
5、22222(2,0)2,022112(1)()(2)12(2)1(6)33(6)33(1230)OOOOOxOOPMPNPMPNPOPOP xyxyxyxyxyxyx以的中点 为原点，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则，由已知，得，因为两圆的半径均为，所以 设，则 ，即 ，所以所求轨迹方程为 或 解析【】求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹方程，就假设那个点的坐标为(x，y)，同时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 2222410.24(1)3xyxyxyxyx
6、xy已知实数、满足方程 求：的最大值和最小值；的最大值和最小值；的最大值【例】和最小值 2222(2)32,03()(2)3331xyyxyxxyyx原方程化为 ，它表示圆心为，半径为的圆表示圆上的点，与原点连线的斜率过原点作圆 的切线，则两切线的斜率分别是最大值和最小值通过画图可求得的最大值为，最小【析】值为解 22222222241022(2)10.()4(2)8(1)4(42)02626262632232(32yxmyxmxyxxmxmxymmmmmyxABOAOBxy令 ，则将 代入方程 ，并化简，得 因为点，在圆和直线上，即上述方程有实数解，所以 ，解得 ，所以 的最大值为，最小值为
7、 过原点和圆心的直线与圆交于两点、，则，所以 的最大值为223)74 3(23)74 3，最小值为 涉及到圆上的点(x，y)的最大值和最小值问题，可借助于图形，了解所求量的几何意义，用数形结合来解有下列几类：就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的连线的斜率；yx就是直线yxm在y轴上的截距；yx是直线yxm在y轴上的截距；(xa)2(yb)2就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方 ybxa【变式练习4】求圆(x2)2(y3)24上的点到xy20的最近、最远距离 22(2)(3)4(23)2.(23)20|232|7 2227 2227 22.2xyrxy由圆的方程 易知圆心坐标为，半
8、径 而，到直线 的距离为故圆上的点到直线的最远距离为，最【近距离为】解析1.点P(2，1)是圆(x1)2y225内弦AB的中点，则直线AB的方程为_xy301,0121111230.OPOABkkAByxxy【解析依题意，圆心坐标为，所以直线的斜率-由点斜式得直线的】方程为 ，即 22232.2,0,1 22410,.axyaxayaa若，方程 表示的圆的个数为_22222224(21)0220322101.aaaaaaaxyaxayaa由 ，得，故满足条件的 只有一个，即 ，则方程 表示的圆【】的个数为解析13.若圆C：x2y22x4y10关于直线l：2axby20(a，bR)对称，则ab的
9、取值范围是 _1(4，2(1,2)11()241(4Cabababab圆 的圆心坐标为，则有 ，所以，即的取值【范围是 ，解析】25.()(0)1224C tttxtOAyOBOOAByxCMNOMONCR已知：以点，为圆心的圆与 轴交于点，与 轴交于点，其中 为原点求证：的面积为定值；设直线 与圆 交于点，若，求圆 的方程 22222221212424()()400002114|242(1)2.11222.2OABMNOCCOOCttCxtytttxyyyxxttSOA OBttOABOMONCMCNOCMNkkOCyx因为圆 过原点，所以 设圆 的方程是 令 ，得 ，；令 ，得 ，所以，即
10、的面积为定值因为，所以的垂直平分线段为因为，所以，所以直线的方程是【解析】222122222,1512455242(21)592455242(2)(1)5.tttttCOCCyxdCyxtCOCCyxdCyxtCxy所以，解得：或，当 时，圆心 的坐标为，此时 到直线 的距离，圆 与直线 相交于两点当 时，圆心 的坐标为，此时 到直线 的距离，圆 与直线 不相交，所以 不符合题意舍去所以圆 的方程为 1在讨论含有字母参变量的圆方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先”的拓展 2圆的标准方程和一般方程都含有三个参数，因此，要具备三个独立已知条件才能确定一个圆
11、求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可直接用标准形式写出圆的标准方程；若已知条件与圆心、半径关系不大，则用一般式方便如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题，可考虑用圆的参数方程 3求圆的方程的方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：根据题意选择方程的形式标准方程或一般方程(当然有时也可以选择参数方程)；利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；解出a，b，r或D，E，F的对应的值，代入圆的标准方程或一般方程 4在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化圆的常用几何性质为：(1)直径所对的圆周角为直角，这样有勾股定理，斜率的乘积为1可用；(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦，这样有勾股定理、斜率的乘积为1和弦的垂直平分线过圆心，以及圆心到弦所在直线的距离公式可用；(3)圆心和切点的连线垂直于切线，这样有圆心到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于1可用
