1、 专题专题 1 13 3 圆的有关位置关系圆的有关位置关系 【考点【考点 1】点与圆的位置关系点与圆的位置关系 【例【例 1 1】（2018 浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只不成立，那么点与圆的位置关系只 能是（能是（ ） A点在圆内点在圆内 B点在圆上点在圆上 C点在圆心上点在圆心上 D点在圆上或圆内点在圆上或圆内 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一 种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 【解答】用反证法
2、证明时，假设结论“点在圆外”不成立， 那么点应该在圆内或者圆上. 故选 D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 【变式【变式 1 1- -1 1】（2016 湖北中考真题）在公园的湖北中考真题）在公园的 O 处附近有处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正四棵树，位置如图所示（图中小正 方形为边长均相等） ，现计划修建一座以方形为边长均相等） ，现计划修建一座以 O 为圆心，为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、 G、H 四棵树中需要被移除的为（四棵树中需要被移除的为（ ）
3、AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外. 考点：点与圆的位置关系 【变式【变式 1 1- -2 2】（2017 山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取）中选取 9 个格点（格线个格点（格线 的交点称为格点） ，如果以的交点称为格点） ，如果以 A 为圆心，为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有外恰好有 3 个在圆内，则个在圆内，则 r 的取的取 值
4、范围为（值范围为（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 试题分析：给各点标上字母，如图所示 AB=，AC=AD=，AE=，AF=， AG=AM=AN=5，时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰 好有 3 个在圆内故选 B 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题 【考【考点点 2】直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 【例【例 2 2】（2018 黑龙江中考真题）已知直线黑龙江中考真题）已知直线 y=kx（k0）经过点（）经过点（12，5） ，将直线向上平移） ，将直线向上平移 m（m0） 个单位，若平移后得到的直线与半径为个单位，若平移后得到
5、的直线与半径为 6 的的O 相交（点相交（点 O 为坐标原点） ，则为坐标原点） ，则 m 的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】0m 13 2 【解析】【解析】 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直 角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答 【详解】把点（12，5）代入直线 y=kx 得， 5=12k， k= 5 12 ； 由 y= 5 12 x 平移 m（m0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y= 5 12 x+m（m0） ， 设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， （如图所示） 当 x=0
6、时，y=m；当 y=0 时，x=12 5 m， A（12 5 m，0） ，B（0，m） ， 即 OA= 12 5 m，OB=m， 在 Rt OAB 中，AB= 2 222 1213 55 OAOBmmm ， 过点 O 作 ODAB 于 D， S ABO= 1 2 ODAB= 1 2 OAOB， 1 2 OD 13 5 m= 1 2 12 5 mm， m0，解得 OD= 12 13 m， 由直线与圆的位置关系可知 12 13 m 6，解得 m 13 2 ， 故答案为 00， 5d ， 故答案为：5. 【点睛】 本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，
7、三角形 外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【变式【变式 4 4- -2 2】（2018 湖南中考真题湖南中考真题） 如图， 在） 如图， 在 ABC 中，中， AD 是边是边 BC 上的中上的中线，线， BAD=CAD， CEAD， CE 交交 BA 的延长线于点的延长线于点 E，BC=8，AD=3 （1）求）求 CE 的长；的长； （2）求证：）求证： ABC 为等腰三角形为等腰三角形 （3）求）求 ABC 的外接圆圆心的外接圆圆心 P 与内切圆圆心与内切圆圆心 Q 之间的距离之间的距离 【答案】【答案】 （1）CE=6； （2）证明见解析； （3） ABC 的外接圆圆
8、心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 2 【解析】【解析】 【分析】 （1）证明 AD 为 BCE 的中位线得到 CE=2AD=6； （2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明 ACDFBD，从而得到 AC=BF， CAD=BFD，再结合BAD=CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论； （3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设P 的半径为 R，Q 的半径为 r，在 Rt PBD 中利用勾股定理得到 （R-3） 2+42=R2， 解得 R=25 6 ， 则 PD= 7 6 ， 再利用面积法求出 r= 4 3 ， 即 QD
9、= 4 3 ， 然后计算 PD+QD 即可 【详解】 （1）解：AD 是边 BC 上的中线， BD=CD， CEAD， AD 为 BCE 的中位线， CE=2AD=6； （2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F， 则ACD=FBD, ADC=FDB， 又BD=CD， ACDFBD， AC=BF，CAD=BFD， 又BAD=CAD， BAD=BFD， BA=BF, AB=AC, ABC 为等腰三角形 （3）如图，连接 BP、BQ、CQ， 在 Rt ABD 中，AB= 22 34 =5， 设P 的半径为 R，Q 的半径为 r， 在 Rt PBD 中， （R-3）2+
10、42=R2，解得 R= 25 6 ， PD=PA-AD= 25 6 -3= 7 6 ， S ABQ+S BCQ+S ACQ=S ABC， 1 2 r 5+ 1 2 r 8+ 1 2 r 5= 1 2 3 8，解得 r= 4 3 ， 即 QD= 4 3 ， PQ=PD+QD= 7 6 + 4 3 = 5 2 答： ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 2 点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形 顶点的连线平分这个内角也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆 【变式【变式 4 4- -3 3】（2019 湖南中考真
11、题）如图，湖南中考真题）如图，PA、PB 为圆为圆 O 的切线，切点分别为的切线，切点分别为 A、B，PO 交交 AB 于点于点 C， PO 的延长线交圆的延长线交圆 O 于点于点 D，下列结论不一定成立的是，下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPD APD CABPD DAB 平分平分 PD 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 先根据切线长定理得到 PAPB， APDBPD； 再根据等腰三角形的性质得 OPAB， 根据菱形的性质， 只有当 ADPB，BDPA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立 【详解】 PA，PB 是O 的切线， PAPB，所以 A 成立
12、； BPDAPD，所以 B 成立； ABPD，所以 C 成立； PA，PB 是O 的切线， ABPD，且 ACBC， 只有当 ADPB，BDPA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立， 故选 D 【点睛】 本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 一、单选题一、单选题 1 （ （2019 浙江中考真题）如图，等边三角形浙江中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为 的边长为 8，以，以BC上一点上一点O为圆心的圆分别与边为圆心的圆分别与边AB， AC相切，则相切，则O的半径为（的半径为（ ） A2 3 B3 C4 D43 【答案】【答案】A 【解析
13、】【解析】 【分析】 连接AO，OE，根据等边三角形的性质及含 30 的直角三角形的性质即可求解. 【详解】 设O与AC的切点为E， 连接AO，OE， 等边三角形ABC的边长为 8， 8AC ，60CBAC， 圆分别与边AB，AC相切， 1 30 2 BAOCAOBAC ， 90AOC， 1 4 2 OCAC， OEAC， 3 2 3 2 OEOC， O的半径为2 3， 故选：A 【点睛】 此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 2（2019 黑龙江中考真题） 如图，黑龙江中考真题） 如图，PA.PB分别与 分别与O相切于相切于A.B两点， 点两点， 点C为为O上一点，
14、 连接上一点， 连接AC.BC， 若若50P ，则，则ACB的度数为（的度数为（ ）. A60； B75； C70； D65. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 连接OA.OB，由切线的性质可知90OAPOBP，由四边形内角和可求出AOB的度数，根据圆 周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知ACB的度数. 【详解】 解：连接OA.OB， PA.PB分别与O相切于A.B两点， OAPA，OBPB， 90OAPOBP， 18018050130AOBP ， 11 13065 22 ACBAOB 故选：D 【点睛】 本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线
15、性质及圆周角定理是解题的关键. 3 （ （2019 辽宁中考真题）如图，辽宁中考真题）如图，CB 为为 O 的的切线，点切线，点 B 为切点，为切点，CO 的延长线交的延长线交O 于点于点 A，若，若A=25 ， 则则C 的度数是的度数是( ) A25 B30 C35 D40 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 连接 OB，CB 与O 相切于点 B，得到OBC=90 ，根据条件得到COB 的度数，然后用三角形内角和求 出C 的度数即可 【详解】 解：如图：连接 OB， OB=OA， A=OBA， A=25 ， COB=A+OBA=2A=2 25 =50 ， AB 与O 相切于点 B
16、， OBC=90 ， C=90 -BOC=90 -50 =40 故选：D 【点睛】 本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理， 先求出COB 的度数， 然后在三角形中求出C 的度数 正 确作出辅助线是解题的关键 4 （ （2019 江苏中考真题）如图，江苏中考真题）如图，AB为为 O的切线，切点为的切线，切点为A，连接，连接AOBO、，BO与与O交于点交于点C，延，延 长长BO与与O交于点交于点D，连接，连接AD，若，若36ABO o，则 ，则ADC的度数为的度数为( ) A54o B36o C32o D27o 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 由切线性质得到AOB， 再由等腰三
17、角形性质得到OADODA， 然后用三角形外角性质得出ADC 【详解】 切线性质得到90BAO o 903654AOB ooo ODOAQ OADODA AOBOADODA Q 27ADCADO o 故选 D 【点睛】 本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键 5（2019 江苏中考真题） 如图， 四边形江苏中考真题） 如图， 四边形ABCD是半圆的内接四边形， 是半圆的内接四边形，AB是直径，是直径，DC CB 若 若110C， 则则ABC的度数等于（的度数等于（ ） A55 B60 C65 D70 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 连接 AC，根据圆
18、内接四边形的性质求出DAB，根据圆周角定理求出ACB、CAB，计算即可 【详解】 连接 AC， 四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， DAB=180 -C=70 ， DC CB ， CAB= 1 2 DAB=35 ， AB 是直径， ACB=90 ， ABC=90 -CAB=55 ， 故选 A 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 6 （ （2019 浙江中考真浙江中考真题）如图，已知题）如图，已知O 上三点上三点 A， ，B，C，半径，半径 OC=1，ABC=30 ，切线，切线 PA 交交 OC 延延 长线于点长线于点 P，则，则 P
19、A 的长为（的长为（ ） A2 B3 C 2 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 连接 OA，由圆周角定理可求出AOC=60 ，再根据AOC 的正切即可求出 PA 的值. 【详解】 连接 OA， ABC=30 ， AOC=60 ， PA 是圆的切线， PAO=90 ， tanAOC = PA OA , PA= tan60 1= 3. 故选 B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60 是解答本 题的关键. 7 （ （2019 湖南中考真题）如图，边长为湖南中考真题）如图，边长为2 3的等边的等边ABC 的的内切圆
20、的半径为内切圆的半径为( ) A1 B3 C2 D2 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 连接 AO、CO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，利用内心的性质得 CH 平分BCA，AO 平分BAC，再 根据等边三角形的性质得CAB=60 ，CHAB，则OAH=30 ，AH=BH= 1 2 AB=3，然后利用正切的定 义计算出 OH 即可 【详解】 设ABC的内心为 O，连接 AO、BO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图， ABC为等边三角形， CH 平分BCA，AO 平分 BAC，ABC为等边三角形， 60CAB ，CHAB， 30OAH ， 1 3 2 AHBHAB，
21、在Rt AOH中， OH tantan30 AH OAH ， 3 31 3 OH ， 即ABC内切圆的半径为 1 故选 A 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点 的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质 8（2019 山东中考真题）山东中考真题） 如图如图,O的直径的直径AB=2,点 点D在在AB的延长的延长线上线上,DC与与O相切于点相切于点C,连接连接AC.若若A=30 , 则则 CD 长为长为( ) A 1 3 B 3 3 C 2 3 3 D 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 先连接 BC，OC，由于
22、AB 是直径，可知BCA=90 ，而A=30 ，易求CBA，又 DC 是切线，利用弦切 角定理可知DCB=A=30 ，再利用三角形外角性质可求D，再由切线的性质可得BCD=A=30 ， OCD=90 ，易得 OD，由勾股定理可得 CD 【详解】 如图所示，连接 BC，OC， AB 是直径, BCA=90 ， 又A=30 ， CBA=9030=60， DC 是切线， BCD=A=30 ,OCD=90 ， D=CBABCD=6030=30， AB=2， OC=1， OD=2， CD= 2222 213ODOC ， 故选 D. 【点睛】 考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键. 9 （ （201
23、9 重庆中考真题）如图，重庆中考真题）如图，AB 是是O 的直径，的直径，AC 是 是O 的切线，的切线，A 为切点，若为切点，若 40C ，则，则 B的的 度数为（度数为（ ） A60 B50 C40 D30 【答案】【答案】B 【解析】解析】 【分析】 由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求ABC50 【详解】 解：AC 是O 的切线， ABAC，且 40C ， 50ABC ， 故选：B 【点睛】 本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键 10 （ （2019 云南中考真题）如图，云南中考真题）如图， ABC 的内切圆的内切圆 O 与与 BC、CA、AB
24、 分别相切于点分别相切于点 D、E、F，且，且 AB 5，BC13，CA12，则阴影部分，则阴影部分(即四边形即四边形 AEOF)的面积是的面积是( ) A4 B6.25 C7.5 D9 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 先利用勾股定理判断 ABC 为直角三角形，且BAC=90 ，继而证明四边形 AEOF 为正方形，设O 的半 径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案. 【详解】 AB=5，BC=13，CA=12， AB2+AC2=BC2， ABC 为直角三角形，且BAC=90 ， O 为 ABC 内切圆， AFO=AEO=90 ，且 AE=AF， 四边形 AEOF 为正方
25、形， 设O 的半径为 r， OE=OF=r， S四边形AEOF=r ， 连接 AO，BO，CO， S ABC=S AOB+S AOC+S BOC， 11 () 22 ABACBC rAB AC， r=2， S四边形AEOF=r =4， 故选 A. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解 题的关键. 11 （ （2019 湖北中考真题）如图，湖北中考真题）如图，AD是圆是圆O的直径，的直径，BC是弦，四边形 是弦，四边形OBCD是平行四边形，是平行四边形，AC与与OB 相交于点相交于点P，下列结论错误的是（，下列结论错误的是（ ）
26、A2APOP B2CDOP COBAC DAC平分平分OB 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 利用圆周角定理得到ACD90 ，再根据平行四边形的性质得到 CDOB，CD0B，则可求出A30 ， 在 Rt AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行判断；利用 OPCD，CDAC 可 对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为 ACD 的中位线，则 CD20P，原式可対 B 选项进行判断；同 时得到 OB2OP，则可对 D 选项进行判断. 【详解】 解：AD为直径， 90ACD， 四边形OBCD为平行四边形， /CDOB，CDOB， 在Rt ACD中，
27、1 sin 2 CD A AD ， 30A， 在Rt AOP中，3APOP，所以 A 选项的结论错误； /OPCD，CDAC， OPAC，所以 C 选项的结论正确； APCP， OP为ACD的中位线， 2CDOP，所以 B 选项的结论正确； 2OBOP， AC平分OB，所以 D 选项的结论正确 故选：A 【点睛】 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边 形的性质. 12 （ （2019 甘肃中考真题）如图，四边形甘肃中考真题）如图，四边形
28、ABCD是菱形，是菱形， O经过点经过点A、C、D，与，与BC相交于点相交于点E， 连接连接AC、AE若若80D，则，则EAC的度数为的度数为( ) A20 B25 C30 D35 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 由菱形的性质求出ACB=50 ，由边形AECD是圆内接四边形可求出AEB=80 ，然后利用三角形外角的 性质即可求出EAC的度数. 【详解】 四边形ABCD是菱形，80D， 11 18050 22 ACBDCBD ， 四边形AECD是圆内接四边形， 80AEBD， 30EACAEBACE， 故选：C 【点睛】 本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质
29、. 圆内接四边形的性：圆内接四边形的 对角互补，圆内接四边形的外角等于它的内对角，圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积. 13 （ （2019 四川中考真题）如图，等腰四川中考真题）如图，等腰ABC的内切圆的内切圆 O与与AB，BC，CA分别相分别相切于点切于点D，E，F， 且且5ABAC， 6BC ，则，则DE的长是的长是( ) A 3 10 10 B 3 10 5 C 3 5 5 D 6 5 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 如图，连接OA、OE、OB，OB交DE于H，先证明点A、O、E共线，即AEBC，从而可得 3BECE，在Rt ABE中，利用勾股定理求出 AE
30、 长，再由切线长定理求得 BD 长，进而得 AD 长， 设O的半径为r，则OD OEr， 4AOr ， 在Rt AOD中，利用勾股定理求得 3 2 r ，在Rt BOE中，求得 3 5 = 2 OB，再证明 OB 垂直平分DE， 利用面积法可得 11 22 HE OBOE BE，求得 HE 长即可求得答案. 【详解】 连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图， 等腰ABC的内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F OA平分BAC， OEBC， ODAB，BEBD， ABAC， AOBC， 点A、O、E共线， 即AEBC， 3BECE， 在Rt ABE中， 22 534AE ， 3BD
31、BE， 2AD， 设O的半径为r，则OD OEr， 4AOr ， 在Rt AOD中， 222 2(4)rr，解得 3 2 r ， 在Rt BOE中， 22 33 5 3(= 22 OB ）， BEBD，OEOD=， OB垂直平分DE， DHEH，OBDE， 11 22 HE OBOE BE， 3 3 3 5 2 53 5 2 OE BE HE OB ， 6 5 2 5 DEEH， 故选 D 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线， 灵活运用相关知识是解题的关键. 14 （ （2019 广西中考真题）如图，在广西中考真题）如图，在A
32、BC中，中，O是是AB边上的点，以 边上的点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的为半径的O与与AC 相切于点相切于点D，BD平分平分ABC，3ADOD，12AB ，CD的长是（的长是（ ） A2 3 B2 C3 3 D4 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 由切线的性质得出ACOD， 求出30A ，证出ODBCBD ，得出/OD BC，得出 90CADO，由直角三角形的性质得出 1 60636 3 2 ABCBCABACBC， ， ，得出 30CBD ，再由直角三角形的性质即可得出结果 【详解】 解：O 与 AC 相切于点 D， 90 3 3 3 30 / / 90 1 6063
33、6 3 2 30 33 62 3 33 ACOD ADO ADOD OD tanA AD A BDABC OBDCBD OBOD OBDODB ODBCBD ODBC CADO ABCBCABACBC CBD CDBC ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选 A 【点睛】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数 的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出/ODBC是解题的关键 15 （ （2019 湖北中考真题） 如图，湖北中考真题） 如图，AB是是O的直径，的直径，M、 、N是弧是弧AB（异于
34、异于A、B） 上两点，） 上两点，C是弧是弧MN 上一动点，上一动点，ACB的角平分线交的角平分线交O于点于点D，BAC的平分线交的平分线交CD于点于点E当点当点C从点从点M运动到点运动到点N 时，则时，则C、E两点的运动路径长的比是（两点的运动路径长的比是（ ） A 2 B 2 C 3 2 D 5 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 连接 BE，由题意可得点 E 是 ABC 的内心，由此可得AEB135 ，为定值，确定出点 E 的运动轨迹是 是弓形 AB 上的圆弧， 此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上， 根据题意过圆心 O 作直径 CD， 则 CDAB， 在 CD 的延长
35、线上，作 DFDA，则可判定 A、E、B、F 四点共圆，继而得出 DEDADF，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设O 的半径为 R，求出点 C 的运动路径长为R，DA 2R，进而求出点 E 的运动 路径为弧 AEB，弧长为 2 2 R，即可求得答案. 【详解】 连结 BE， 点 E 是ACB 与CAB 的交点， 点 E 是 ABC 的内心， BE 平分ABC， AB 为直径， ACB90 ， AEB180 1 2 (CAB+CBA)135 ，为定值，AD BD ， 点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧， 此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上， AD BD ， AD=BD， 如下图，过圆心
36、 O 作直径 CD，则 CDAB， BDOADO45 ， 在 CD 的延长线上，作 DFDA， 则AFB45 ， 即AFB+AEB180 ， A、E、B、F 四点共圆， DAEDEA67.5 ， DEDADF， 点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心， 设O 的半径为 R， 则点 C 的运动路径长为：R， DA 2R， 点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为： 9022 1802 R R ， C、E 两点的运动路径长比为： 2 2 2 R R ， 故选 A. 【点睛】 本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正 确分析出点 E 运动的路径是解题的关
37、键. 16 （ （2019 广西中考真题）如图，在广西中考真题）如图，在Rt ABC 中，中， 90C，4AC ，3BC ，点，点 O 是是 AB 的三等分点，的三等分点， 半圆半圆 O 与与 AC 相切，相切，M，N 分别是分别是 BC 与半圆弧上的动点，则与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和是（的最小值和最大值之和是（ ） A5 B6 C7 D8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 设O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OPBC垂足为 P 交O 于 F，此时垂线段 OP 最短，PF 最小值 为OP OF，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过
38、圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性 质即可求解. 【详解】 如图，设O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OPBC垂足为 P 交O 于 F， 此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为OP OF， 4AC ，3BC ， 5AB 90OPB ， OPAC 点 O 是 AB 的三等分点， 210 5 33 OB ， 2 3 OPOB ACAB ， 8 3 OP ， O 与 AC 相切于点 D， ODAC， ODBC， 1 3 ODOA BCAB ， 1OD， MN 最小值为 85 1 33 OPOF ， 如图，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，
39、MN 最大值 1013 1 33 ， 513 +=6 33 , MN 长的最大值与最小值的和是 6 故选 B 【点睛】 此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17（2019 四川中考真题） 如图，四川中考真题） 如图，EOF的顶点的顶点 O 是边长为 是边长为 2 的等边的等边ABC的重心，的重心，EOF的两边与的两边与ABC 的边交于的边交于 E，F，120EOF ，则，则EOF与与ABC的边所围成阴影部分的面积是（的边所围成阴影部分的面积是（ ） A 3 2 B 2 3 5 C 3 3 D 3 4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 连接O
40、B、OC，过点 O 作ONBC，垂足为 N，由点 O 是等边三角形ABC的内心可以得到 30OBCOCB ，结合条件2BC 即可求出OBC的面积，由EOFBOC，从而得到 EOBFOC，进而可以证到EOBFOC，因而阴影部分面积等于OBC的面积 【详解】 解：连接OB、OC，过点 O 作ONBC，垂足为 N， ABC为等边三角形， 60ABCACB ， 点 O 为ABC的内心 1 2 OBCOBAABC ， 1 2 OCBACB 30OBAOBCOCB OBOC 120BOC ， ONBC，2BC ， 1BNNC， 33 tan?1 33 ONOBC BN ， 13 23 OBC SBC ON
41、 120EOFAOB ， EOFBOFAOBBOF，即EOBFOC 在EOB和FOC中， OBECF30 OBC EOBFOC O O ， EOBFOC ASA 3 3 OBC SS 阴影 故选 C 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形 的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键 二、填空题二、填空题 18 （ （2019 海南中考真题）如图，海南中考真题）如图，O与正五边形与正五边形 ABCDE 的边 的边 AB、DE 分别相切于点分别相切于点 B、D，则劣弧，则劣弧BD 所对的圆心角所对
42、的圆心角BOD的大小为的大小为_度度 【答案】【答案】144 【解析】【解析】 【分析】 根据正多边形内角和公式可求出E、D， 根据切线的性质可求出 . OAE、OCD ， 从而可求出AOC， 然后根据圆弧长公式即可解决问题 【详解】 解：五边形 ABCDE 是正五边形， (52) 180 108 5 EA AB、DE 与O相切， 90OBAODE ， (52) 1809010810890144BOD ， 故答案为：144 【点睛】 本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的 关键 19 （ （2019 浙江中考真题）如图，浙江中考真题）如图，
43、O 分别切分别切BAC 的两边的两边 AB， ，AC 于点于点 E，F，点，点 P 在优弧在优弧EDF上若上若 BAC66 ，则，则EPF 等于等于_度度 【答案】【答案】57 【解析】【解析】 【分析】 连接 OE， OF， 由切线的性质可得 OEAB， OFAC， 由四边形内角和定理可求EOF114 ， 即可求EPF 的度数 【详解】 解：连接 OE，OF， O 分别切BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F OEAB，OFAC 又BAC66 EOF114 EOF2EPF EPF57 故答案为 57. 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的
44、关键 20 （ （2019 江苏中考真题）如图，半径为江苏中考真题）如图，半径为3的的O与与边长为边长为8的等边三角形 的等边三角形ABC的两边的两边AB、BC都相都相 切，连接切，连接OC，则，则tanOCB_ 【答案】【答案】 3 5 【解析】【解析】 【分析】 连接OB，作ODBC于D，根据切线长定理得出 1 30 2 OBCOBAABC ，解直角三角形求 得BD，即可求CD，然后解直角三角形OCD即可求得tanOCB的值 【详解】 连接OB，作ODBC于D， O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切， 1 30 2 OBCOBAABC ， tan OD OBC BD ， 3 3 tan303 3 OD BD ， 8 35CDBCBD ， 3 tan 5 OD OCB CD 故答案为
