1、 专题专题 1616 二次函数的存在性问题二次函数的存在性问题 【典例分析】 【考点【考点 1】二次函数与相似三角形问题二次函数与相似三角形问题 【例【例 1 1】已知抛物线已知抛物线 2 3yaxbx与与 x 轴分别交于轴分别交于 (3,0)A ，(1,0)B两点，与两点，与 y 轴交于点轴交于点 C （1）求抛物线的表达式及顶点）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；的坐标； （2）点）点 F 是线段是线段 AD 上一个动点上一个动点 如图如图 1，设，设 AF k AD ，当，当 k 为何值时，为何值时， 2 CFAD 1 . 如图如图 2，以，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与为顶点的
2、三角形是否与ABC相似？若相似，求出点相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明的坐标；若不相似，请说明 理由理由 【答案】【答案】 （1） 2 23yxx ， D 的坐标为( 1,4) ； （2） 1 2 k ； 以 A， F， O 为顶点的三角形与ABC 相似，F 点的坐标为 6 18 , 55 或(2,2) 【解析】【解析】(1)将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可 求得顶点D( 1,4)； (2)由 A、C、D 三点的坐标求出AC 3 2 ，DC 2 ，AD2 5，可得ACD为直角三角形，若 1 CFAD 2 ，则点 F 为 A
3、D 的中点，可求出 k 的值； 由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC相似， 可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45 时，可分别求出点 F 的坐标 【详解】(1)抛物线 2 yaxbx3过点A( 3,0) ，B(1,0)， 9330 30 ab ab ，解得： 1 2 a b ， 抛物线解析式为 2 yx2x3 ； 2 2 yx2x3x14 ， 顶点 D 的坐标为( 1,4)； (2)在RtAOC中，OA3，OC3， 222 ACOAOC18， D1,4，C 0,3，A3,0， 222 CD112， 222 AD2420， 222 ACC
4、DAD， ACD为直角三角形，且ACD90 ， 1 CFAD 2 ， F 为 AD 的中点， AF1 AD2 ， 1 k 2 ； 在RtACD中， DC21 tanACD AC33 2 ， 在RtOBC中， OB1 tanOCB OC3 ， ACDOCB， OAOC， OACOCA45 ， FAOACB， 若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑： 当AOFABC时，AOFCBA， OF BC ， 设直线 BC 的解析式为ykxb， 0 3 kb b ，解得： 3 3 k b ， 直线 BC 的解析式为y=3x+3， 直线 OF 的解析式为y=3x， 设直线 AD 的解
5、析式为y=mx+n， 4 30 kb kb ，解得： 2 6 k b ， 直线 AD 的解析式为y=2x6， 26 3 yx yx ，解得： 6 5 18 5 x y ， 6 18 F, 55 当AOFCAB45 时，AOFCAB， CAB45 ， OFAC， 直线 OF 的解析式为y= x ， 26 yx yx ，解得： 2 2 x y ， F2,2， 综合以上可得 F 点的坐标为 6 18 , 55 或(2,2) 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性 质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨
6、论的思想 解决数学问题 【变式【变式 1 1- -1 1】如图，抛物线如图，抛物线 2 y2axxc经过经过( 1,0)A ，B两点，且与两点，且与y轴交于点轴交于点 (0,3)C，抛物线与，抛物线与 直线直线1yx 交于交于A，E两点两点 （1）求抛物线的）求抛物线的解析式；解析式； （2）坐标轴上是否存在一点）坐标轴上是否存在一点Q，使得，使得AQE是以是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的的 坐标；若不存在，说明理由坐标；若不存在，说明理由 （3）P点在点在x轴上且位于点轴上且位于点B的左侧，若的左侧，若以以P，B，C为顶点的三角形与
7、为顶点的三角形与ABE相似，求点相似，求点P的坐标的坐标 【答案】【答案】 （1） 2 yx2x3 ； （2）存在，4 0Q，或04，理由见解析； （3） 3 p0 5 ，或 9 p0 2 ， 【解析】【解析】 （1）将 A、C 的坐标代入 2 y2axxc求出 a、c 即可得到解析式； （2）先求出 E 点坐标，然后作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q，根据垂直平分线的性质 可知 Q、与 A、E，Q与 A、E 组成的三角形是以 AE 为底边的等腰三角形，设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)， 根据距离公式建立方程求解即可； （3）根据 A、E 坐标，求出 AE
8、 长度，然后推出BAE=ABC=45 ，设p0m，由相似得到 PBAB BCAE 或 PBAE BCAB ，建立方程求解即可 【详解】 （1）将( 1,0)A ，(0,3)C代入 2 y2axxc得： 20 3 ac c ，解得 1 3 a c 抛物线解析式为 2 y23 xx （2）存在，理由如下： 联立y1x 和 2 yx2x3 ， 2 y1 23 x yxx ，解得 1 0 x y 或 4 5 x y E 点坐标为(4,-5)， 如图，作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q， 此时 Q 点与 Q点的坐标即为所求， 设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)， 由
9、QA=QE，QA= QE 得： 22 1405 xx ， 2222 0 10045yy 解得4x，4y 故 Q 点坐标为4 0，或04， （3）( 1,0)A ， 45E， 2 2 1 45 =5 2 AE ， 当 2 230xx时，解得1x或 3 B 点坐标为(3,0)， 3OBOC 45ABC，4AB ， 3 2BC ， 由直线1yx 可得 AE 与 y 轴的交点为(0,-1)，而 A 点坐标为(-1,0) BAE=45 设p0m，则3 mBP ， PBC和ABE相似 PBAB BCAE 或 PBAE BCAB ，即 34 3 25 2 m 或 35 2 43 2 m 解得 3 5 m 或
10、 9 2 m ， 3 p0 5 ，或 9 p0 2 ， 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等 腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键 【变式【变式 1 1- -2 2】如图，已知抛物线如图，已知抛物线 1 (2)()yxxm m (m0)与与 x 轴相交于点轴相交于点 A，B，与，与 y 轴相交于点轴相交于点 C， 且点且点 A 在点在点 B 的左侧的左侧. （1）若抛物线过点（）若抛物线过点（2，2） ，求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式； （2）在（）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点）的条件下，抛物线的对称轴
11、上是否存在一点 H，使，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点的值最小，若存在，求出点 H 的的 坐标；若不存在，请说明理由；坐标；若不存在，请说明理由； （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M，使得以点，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ACB 相似？若存相似？若存 在，求出在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】 （1） 2 11 2 42 yxx ； （2）点 H 的坐标为（1， 3 2 ） ； （3）当 m=2 2 2 时，在第四象限内 抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M
12、为顶点的三角形与 ACB 相似. 【解析】【解析】 分析： （1）把点（2，2）代入 1 (2)()? (0)yxxmm m 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点 A、B、C 的坐标，由题意可知，点 A、B 关于抛物线的对称轴对称，这 样连接 BC 与对称轴的交点即为所求的点 H， 根据 B、 C 的坐标求出直线 BC 的解析式即可求得点 H 的坐标； （3）由解析式 1 (2)()? (0)yxxmm m 可得点 A、B、C 的坐标分别为（-2，0） 、 （m，0）和（0，2） ， 如下图，由图可知ACB 和ABM 是钝角，因此存在两种可能性：当 AC
13、BABM， ACBMBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解： （1）把点（2，2）代入抛物线， 得 2= 1 222m m . 解得 m=4. 抛物线的解析式为 2 111 yx2x4xx2 442 . （2）令 2 11 yxx20 42 ，解得 12 x2x4 ，. 则 A（-2，0） ，B（4，0）. 对称轴 x=- 1 2 1 1 2 4 . 2 11 yxx2 42 中当 x=0 时，y=2， 点 C 的坐标为（0，2）. 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， 连接 BC 与对称轴的交点即为点 H，此时 AH+CH 的值最小， 设直线 BC 的解析式为 y=
14、kx+b， 把 B（4，0） ，C（0，2）代入得： 40 2 kb b ，解得： 1 2 2 k b ， 直线 BC 的解析式为 y= 1 x2 2 . 当 x=1 时，y= 1 12 2 = 3 2 . 点 H 的坐标为（1， 3 2 ）. （3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与 ACB 相似. 如下图，连接 AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MNx 轴于点 N， 由图易知，ACB 和ABM 为钝角， 当 ACBABM 时，有 AC AB = AB AM ，即 2 ABAC?AM . A（-2，0） ，C（0，2） ，即 OA=OC=2， CAB=BAM= o 4
15、5. MNx 轴，BAM=AMN=45 ， AN=MN. 可设 M 的坐标为： （x，-x-2） （x0） ， 把点 M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2= 1 x2xm m . 化简整理得：x=2m， 点 M 的坐标为： （2m，-2m-2）. AM= 22 2m22m22 2 m 1 . 2 ABAC?AM，AC=2 2，AB=m+2， 2 m22 22 2 m1. 解得：m=2 2 2 . m0， m=2 2 2 . 当 ACBMBA 时，有 AB MA = CB BA ，即 2 ABCB?MA . CBA=BAM，ANM=BOC= o 90， ANMBOC， MN AN = CO
16、 BO . BO=m，设 ON=x， 2 MN x = 2 m ，即 MN= 2 m （x+2）. 令 M（x， 2 x2 m ） （x0） ， 把 M 点的坐标代入抛物线的解析式， 得 2 x2 m = 1 x2xm m . 解得 x=m+2.即 M（m+2， 2 m4 m ）. 2 ABCB?MA，CB= 2 m4ANm4， ，MN= 2 m4 m ， 2 22 2 2 4 m4 m2m4?m4 m . 化简整理，得 16=0，显然不成立. 综上所述， 当 m=2 2 2 时， 在第四象限内抛物线上存在点 M， 使得以点 A， B， M 为顶点的三角形与 ACB 相似. 点睛：本题是一道二
17、次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点： （1）“知道点 A、B 是关于抛 物线的对称轴对称的，连接 BC 与对称轴的交点即为所求的点 H”是解答第 2 小题的关键； （2）“能根据题意 画出符合要求的图形，知道ACB 和ABM 为钝角，结合题意得到存在：当 ACBABM， ACBMBA 这两种可能情况”是解答第 3 小题的关键. 【考点【考点 2】二次函数与二次函数与直角三角形问题直角三角形问题 【例【例 2 2】如图，抛物线如图，抛物线 2 0yaxbxc a的顶点坐标为的顶点坐标为2, 1，图象与，图象与y轴交于点轴交于点0,3C，与，与x轴轴 交于交于A、B两点两点 1求抛物
18、线的解析式；求抛物线的解析式； 2设抛物线对称轴与直线设抛物线对称轴与直线BC交于点交于点D，连接，连接AC、AD，求，求ACD的面积；的面积； 3点点E为直线为直线BC上的任意一点，过点上的任意一点，过点E作作x轴的垂线与抛物线交于点轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点，问是否存在点E使使DEF为为 直角三直角三角形？若存在，求出点角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由坐标，若不存在，请说明理由 【答案】【答案】(1) 22 (2)143yxxx ;(2)2;(3)见解析. 【解析】【解析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，把 C 点坐标代入可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解
19、析式可求得 A、B 坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 解析式，利用对称轴可求得 D 点 坐标，则可求得 AD2、AC2和 CD2，利用勾股定理的逆定理可判定 ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分DFE=90 和EDF=90 两种情况，当DFE=90 时，可知 DFx 轴，则可求得 E 点纵 坐标，代入抛物线解析式可求得 E 点坐标；当EDF=90 时，可求得直线 AD 解析式，联立直线 AC 和抛物 线解析式可求得点 E 的横坐标，代入直线 BC 可求得点 E 的坐标 【详解】解： 1抛物线的顶点坐标为2, 1， 可设抛物线解析式为 2 (2)10ya xa， 把0,
20、3C代入可得 2 (02)13a ，解得1a ， 抛物线解析式为 22 (2)143yxxx ； 2在 2 43yxx中，令 0y 可得 2 430xx，解得1x 或3x ， 1,0A，3,0B， 设直线BC解析式为3ykx，把3,0B代入得：330k ，解得1k ， 直线BC解析式为 3yx ， 由 1可知抛物线的对称轴为2x，此时231y ， 2,1D， 2 2AD ， 2 10AC ， 2 8CD ， 222 ADCDAC， ACD是以AC为斜边的直角三角形， 11 22 22 22 ACD SAD CD； 3由题意知 / /EFy轴，则 90FEDOCB ， DEF为直角三角形，分90
21、DFE和90EDF两种情况， 当90DFE 时，即/ /DFx轴，则D、F的纵坐标相同， F点纵坐标为1， 点F在抛物线上， 2 431xx，解得22x ，即点E的横坐标为22， 点E在直线BC上， 当 22x 时，312yx ，当 22x 时，312yx ， E点坐标为 22,12或 22,12； 当90EDF 时， 1,0A，2,1D， 直线AD解析式为 1yx， 直线BC解析式为 3yx ， ADBC， 直线AD与抛物线的交点即为E点， 联立直线AD与抛物线解析式有 2 431xxx，解得1x 或4x， 当1x 时，32yx ，当4x时，31yx ， E点坐标为1,2或4, 1， 综上可
22、知存在满足条件的点E，其坐标为22,12或22,12或1,2或4, 1 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式. 【变式【变式 2 2- -1 1】如图，经过如图，经过x轴上轴上( 10)(30)AB ，两点的抛物线两点的抛物线 2 (1)4ym xm（0m）交）交y轴于点轴于点 C，设抛物线的顶点为，设抛物线的顶点为D，若以，若以DB为直径的为直径的G 经过点经过点C，求解下列问题：，求解下列问题： （1）用含）用含m的代数式表示出的代数式表示出CD，的坐标；的坐标； （2）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （3）能否在抛物线）能否在抛
23、物线上找到一点上找到一点Q，使，使BDQ为直角三角形？如能，求出为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理点的坐标，若不能，请说明理 由。由。 【答案】【答案】（1） 点C的坐标为(03 )Cm， ,点D的坐标为(14 )m，；（2） 抛物线的解析式为 2 yx2x3 ； （3）满足题意的Q点有三个：(0 3)，、 3 9 2 4 ，和 1 1 5 24 ， 【解析】【解析】 【试题分析】 （1） 2 14ym xm是顶点式，则顶点D的坐标为03Cm，,当 x=0,则 y=-3m,即点C的坐标为 03Cm，； （2）连接 CD 、 BC，过点D作DEy轴于E，如图所示:根据直径所对的
24、圆周角是直角，得 90DCB ,出现“一线三等角模型”，得DECCOB根据相似三角形的性质 得： DEEC COOB 1 33 m m 即，解得1m，则抛物线的解析式为 2 23yxx . （3） 分三种情况分类讨论：90BQD （图） 显然Q与C点重合， 点Q坐标为03Q， ；DBQ=90 （图） 作Q Fy 轴于F，DHx轴于H， 根据两角对应相等， 两三角形相似， 得RtRtDHBBFQ， DHHB BFFQ ，则DH FQBF HB，由于点Q坐标 2 23kkk， ，则 2 4232 3kkk ， 解得： 3 2 k 由 3 2 k 得Q坐标： 39 24 Q ， ；BDQ=90（图）
25、延长DQ交y轴于M，作DEy轴于E， DHx轴于H,同理可证：DEMDHB，则 DEEM DHHB ，即 1 42 EM ,得 1 2 EM ，点M的坐标 为 7 0 2 ， ，设DM所在的直线解析式为 y=kx+b,用待定系数法，把 M 7 0 2 ， 和 D（1,4）代入得： 7 2 4 b kb 解得： 17 , 22 kb 则直线 DM 的解析式为 17 22 yx ,把 17 22 yx代入 2 23yxx 得： 2 2310xx ，解得， 1 2 x ，最后把 1 2 x 代入 17 22 yx 得 15 4 y ,点Q的坐标为 1 15 24 ， 综上述，Q点有三个：03，、 3
26、 9 2 4 ，和 1 1 5 24 ， 【试题解析】 （1）y 2 14m xm是顶点式 点D的坐标为 14m， 当 x=0 时，y= -3m 点C的坐标为03Cm， （2） 连接 CD 、 BC，过点D作DEy轴于E，如图所示： BD 是G 的直径 DCB= 0 90 ECD+BCO= 0 90 ECD+EDC= 0 90 BCO=EDC DEC=BOC= 0 90 DECCOB DEEC COOB 1 33 m m 2 1m 1m 0m1m 抛物线的解析式为 2 23yxx （3）能在抛物线上找到一点 Q，使 BDQ 为直角三角形 很明显，点C即在抛物线上，又在G 上，90BCD，这时Q
27、与C点重合 点Q坐标为03Q， 如图，若DBQ为90，作QFy轴于F， DHx轴于H 同理可证：RtRtDHBBFQ DHHB BFFQ DH FQBF HB 点Q坐标 2 23kkk， 2 4232 3kkk 化简得： 2 2390kk ,解得：3k （不合题意，舍去） ， 3 2 k 由 3 2 k 得Q坐标： 39 24 Q ， 若BDQ为90,如图，延长DQ交y轴于M， 作DEy轴于E，DHx轴于H,同理可证：DEMDHB DEEM DHHB 则 1 42 EM ,得 1 2 EM ，点M的坐标为 7 0 2 ， 设DM所在的直线解析式为 y=kx+b,把 M 7 0 2 ， 和 D（
28、1,4）代入得： 7 2 4 b kb 解得： 17 , 22 kb 直线 DM 的解析式为 17 22 yx ,把 17 22 yx代入 2 23yxx 得： 2 2310xx 解为：1x （不合题意，舍去） ， 1 2 x ， 把 1 2 x 代入 17 22 yx 得 15 4 y ,点Q的坐标为 1 15 24 ， 综合上述，满足题意的Q点有三个：03，、 3 9 2 4 ， 和 1 1 5 24 ， 【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似， 并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3 种情况分类讨论） ，难度较大.
29、【变式【变式 2 2- -2 2】已知抛物线已知抛物线 2 21yxxm与与x轴只有一个交点，且与轴只有一个交点，且与y轴交于轴交于A点，如图，设它的顶点，如图，设它的顶 点为点为 B （1）求）求m的值；的值； （2）过）过 A 作作 x 轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：，求证： ABC 是等腰直角三角形；是等腰直角三角形； （3）将此抛物线向下平移）将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线个单位后，得到抛物线 y ，且与，且与 x 轴的左半轴交于轴的左半轴交于 E 点，与点，与 y 轴交于轴交于 F 点，点， 如如图请在抛物线图请在抛物线 y 上求点上求点
30、P，使得，使得 EFP是以是以 EF 为直角边的直角三角形？为直角边的直角三角形？ 【答案】【答案】 （1）m = 2； （2）证明见解析； （3）满足条件的 P 点的坐标为（10 3 ， 13 9 ）或（ 7 3 ， 20 9 ） 【解析】【解析】 试题分析： （1）根据抛物线与 x 轴只有一个交点可知 的值为 0，由此得到一个关于 m 的一元一次方程， 解此方程可得 m 的值； （2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据 A 点在 y 轴上求出 A 点坐标，再求 C 点坐标，根据三个点 的坐标得出 ABC 为等腰直角三角形； （3）根据抛物线解析式求出 E、F 的坐标，然后分别讨论以 E
31、为直角顶点和以 F 为直角顶点 P 的坐标 试题解析： （1）抛物线 y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点， =（-2）2-4 1 （m-1）=0， 解得，m=2； （2）由（1）知抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点 B（1，0） ， 当 x=0 时，y=1，得 A（0，1） 由 1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或 x=2，所以 C 点坐标为： （2，1） 过 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，则 CD=1，BD=xD-xB=1 在 Rt CDB 中，CBD=45 ，BC= 2 同理，在 Rt AOB 中，AO=OB=1，于是ABO=45 ，AB= 2
32、 ABC=180 -CBD-ABO=90 ，AB=BC， 因此 ABC 是等腰直角三角形； （3）由题知，抛物线 C的解析式为 y=x2-2x-3， 当 x=0 时，y=-3； 当 y=0 时，x=-1 或 x=3， E（-1，0） ，F（0，-3） ，即 OE=1，OF=3 第一种情况：若以 E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P1（x1，y1） ，作 P1Mx 轴于 M P1EM+OEF=EFO+OEF=90 ， P1EM=EFO，得 Rt EFORt P1EM， 则 1 1 3 PMOE EMOF ，即 EM=3P1M EM=x1+1，P1M=y1， x1+1=3y1 由于 P1（x
33、1，y1）在抛物线 C上， 则有 3（x12-2x1-3）=x1+1， 整理得，3x12-7x1-10=0，解得， x1 10 3 ，或 x2=-1（舍去） 把 x1 10 3 代入中可解得， y1= 13 9 P1（10 3 ， 13 9 ） 第二种情况：若以 F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P2（x2，y2） ，作 P2Ny 轴于 N 同第一种情况，易知 Rt EFORt FP2N， 得 2 1 3 FNOE P NOF ，即 P2N=3FN P2N=x2，FN=3+y2， x2=3（3+y2） 由于 P2（x2，y2）在抛物线 C上， 则有 x2=3（3+x22-2x2-3） ，
34、 整理得 3x22-7x2=0，解得 x2=0（舍）或 x2 7 3 把 x2 10 3 代入中可解得， y2 20 9 P2（ 7 3 ， 20 9 ） 综上所述，满足条件的 P 点的坐标为： （ 10 3 ， 13 9 ）或（ 7 3 ， 20 9 ）. 【考点【考点 3】二次函数与二次函数与等腰三角形问题等腰三角形问题 【例【例 3 3】如图，已知：二次函数如图，已知：二次函数 yx2+bx+c 的图象与的图象与 x 轴交于轴交于 A，B 两点，其中两点，其中 A 点坐标为（点坐标为（3，0） ， 与与 y 轴交于点轴交于点 C，点，点 D（2，3）在抛物线上）在抛物线上 （1）求抛物线
35、的表达式；）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出，求出 PA+PD 的最小值；的最小值； （3）若抛物线上有一动点）若抛物线上有一动点 M，使，使 ABM 的面积等于的面积等于 ABC 的面积，求的面积，求 M 点坐标点坐标 （4）抛物线的对称轴上是否存在动点）抛物线的对称轴上是否存在动点 Q，使得，使得 BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点为等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存的坐标；若不存 在，说明理由在，说明理由 【答案】【答案】 （1）yx2+2x3； （2）3 2； （3）点 M 的坐标为（17，3） ， （1+7，3） ，
36、 （2，3） ； （4）存在；点 Q 的坐标为（1，6） ， （1，6） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 【解析】【解析】 （1）由点 A，D 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，连接 BD，交抛物线的对称轴于点 P，由抛物 线的对称性及两点之间线段最短可得出此时 PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度，再由点 B，D 的 坐标，利用两点间的距离公式可求出 PA+PD 的最小值； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，设点 M 的坐标为（x，x2+2x-3） ，由 ABM 的 面
37、积等于 ABC 的面积可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出点 M 的坐标； （4） 设点 Q 的坐标为 （-1， m） ， 结合点 B， C 的坐标可得出 CQ2， BQ2， BC2， 分 BQ=BC， CQ=CB 及 QB=QC 三种情况，找出关于 m 的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点 Q 的坐标 【详解】解： （1）将 A（3，0） ，D（2，3）代入 yx2+bx+c，得： 930 423 bc bc ，解得： 2 3 b c ， 抛物线的表达式为 yx2+2x3 （2）当 y0 时，x2+2x30， 解得：x13，x21， 点 B 的坐标为（1，0） 连接 BD，交
38、抛物线的对称轴于点 P，如图 1 所示 PAPB， 此时 PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度 点 B 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（2，3） ， BD 22 ( 2 1)( 30) 32， PA+PD 的最小值为 3 2 （3）当 x0 时，yx2+2x33， 点 C 的坐标为（0，3） 设点 M 的坐标为（x，x2+2x3） S ABMS ABC， |x2+2x3|3，即 x2+2x60 或 x2+2x0， 解得：x11 7，x21+7，x32，x40（舍去） ， 点 M 的坐标为（17，3） ， （1+7，3） ， （2，3） （4）设点 Q 的坐标为（1，m） 点
39、 B 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） ， CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01） 2+（30）210 分三种情况考虑（如图 2 所示） ： 当 BQBC 时，m2+410， 解得：m1 6，m26， 点 Q1的坐标为（1， 6） ，点 Q2的坐标为（1，6） ； 当 CQCB 时，m2+6m+1010， 解得：m30，m46， 点 Q3的坐标为（1，0） ，点 Q4的坐标为（1，6） ； 当 QBQC 时，m2+4m2+6m+10， 解得：m51， 点 Q5的坐标为（1，1） 综上所述：抛物线的对称轴上存在动点 Q，
40、使得 BCQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为（1，6） ， （1， 6） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两 点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或一元一次）方程，解题的关键是： （1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式； （2）利用两点之间线段最短，找出点 P 的位置； （3）利用两三角形面积相等，找出关于 x 的一元二次方程； （4）分 BQ=BC，CQ=CB 及 QB=QC 三种情况， 找出关于 m 的方程 【变式【变式 3 3- -1 1】如图，
41、抛物线如图，抛物线3 2 bxaxy与与 x 轴交于点轴交于点 A（1，0）和）和 B（3，0） ） （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交）若抛物线的对称轴交 x 轴于点轴于点 E，点，点 F 是位于是位于 x 轴上方对称轴上一点，轴上方对称轴上一点，FCx 轴，与对称轴右侧的抛轴，与对称轴右侧的抛 物线交于点物线交于点 C，且四边形，且四边形 OECF 是平行四边形是平行四边形，求点，求点 C 的坐标；的坐标； （3）在（）在（2）的条件下）的条件下，抛物线的对称轴上是否，抛物线的对称轴上是否存在点存在点 P，使，使 OCP 是等腰三角形？若存在，请直接写出
42、是等腰三角形？若存在，请直接写出 点点 P 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）34 2 xxy；（2） C （4， 3） ；（3） P （2 21，） 或 （2 2 1，） 或 （2 3+ 21，） 或 （2 321，） 【解析】【解析】 试题分析： （1）把点 A、B 的坐标代入函数解析式，解方程组求出 a、b 的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点 C 的横坐标，然后代入函 数解析式计算求出纵坐标，即可得解； （3）设 AC、EF 的交点为 D，根据点 C 的坐标写出点 D 的坐标，然后分O 是顶角，
43、C 是顶角，P 是 顶角三种情况讨论 试题解析： （1）把点 A（1，0）和 B（3，0）代入3 2 bxaxy得， 0339 03 ba ba ，解得 4 1 b a ，所以，抛物线的解析式为34 2 xxy； （2）抛物线的对称轴为直线 x=2， 四边形 OECF 是平行四边形点 C 的横坐标是 4， 点 C 在抛物线上，334442y， 点 C 的坐标为（4，3） ； （3）点 C 的坐标为（4，3） ，OC 的长为 5， 点 O 是顶角顶点时，OP=OC=5， 222 EPOEOP，OE=2 2125 22 EP ， 所以，点 P 的坐标为（2，21）或（2，-21） ； 点 C 是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出 PF=21，所以，PE=213， 所以，点 P 的坐标为（2，3
