1、高考高考(o ko)数学总复习数学总复习（第二轮）（第二轮）数数 列列第一页，共33页。一、基本知识归纳一、基本知识归纳(gun)1、一般、一般(ybn)数列数列数列的通项公式数列的通项公式 数列的前数列的前n项和项和 nnaaaaS+=321第二页，共33页。2、等差数列、等差数列(dn ch sh li)等差数列的概念等差数列的概念(ginin)定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母做等差数列
2、的公差，公差通常用字母d表示。表示。等差数列的判定方法等差数列的判定方法(fngf)1 定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若 ，则数列是等差数列，则数列是等差数列 2等差中项：对于数列等差中项：对于数列an，若，若 则数列是等差数列则数列是等差数列 第三页，共33页。等差数列的通项公式等差数列的通项公式如果等差数列的首项是如果等差数列的首项是a1，公差是，公差是d，则等差数列的通项为则等差数列的通项为 说明说明该公式整理后该公式整理后an是关于是关于n的一次函数。的一次函数。dnaan)1(1+=等差数列的前等差数列的前n项和项和 1 2.说明说明对于公式对于公式2整理后整理后an是关
3、于是关于n 的没有常数的没有常数(chngsh)项的二次函数项的二次函数 第四页，共33页。等差中项等差中项如果如果a，A，b成等差数列成等差数列(dn ch sh li)，那么，那么A叫做叫做a与与b的等的等差中项。即：差中项。即：2A=a+b 或或 说明说明：在一个等差数列：在一个等差数列(dn ch sh li)中，从中，从第第2项起，每一项（有穷等差数列项起，每一项（有穷等差数列(dn ch sh li)的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中项；事实上等差数列(dn ch sh li)中某一项中某一项是与其等距离的前后两项
4、的等差中项是与其等距离的前后两项的等差中项 第五页，共33页。等差数列等差数列(dn ch sh li)的性质的性质1等差数列任意两项间的关系等差数列任意两项间的关系：如果：如果 是等差数列是等差数列的第的第 项，项，是等差数列的第是等差数列的第 项，且项，且 ，公差为公差为 ，则有，则有 nanmamnm ddmnaamn)(+=2.对于对于(duy)等差数列等差数列 ，若若 ，则则 naqpmn+=+qpmnaaaa+=+第六页，共33页。3若数列若数列 是等差数列，是等差数列，是其前是其前n项的和，项的和，那么，那么 ，成等差数列成等差数列 nanS*Nk kSkkSS2kkSS234若
5、等差数列若等差数列an的前的前2n-1项的和为项的和为 ，等差，等差数列数列 的前的前2n-1 项的和为项的和为 ，则则 12 nS nb12 nS1212=nnnnSSba第七页，共33页。5设数列设数列 是等差数列，是等差数列，是奇数项的和，是奇数项的和，是偶数项的和，是偶数项的和，是前是前n项的和，则有如下性质：项的和，则有如下性质：na奇S偶SnS1.前前n项的和项的和偶奇SSSn+=2.当当n为偶数时，为偶数时，其中，其中d为公差为公差 d2nS=奇偶S3.当当n为奇数时，则为奇数时，则 ，（其中（其中 是中间一项是中间一项)中偶奇aS=S中奇a21nS+=中偶a21nS=11SS+
6、=nn偶奇中a第八页，共33页。3、等比数列、等比数列(dn b sh li)等比数列的概念等比数列的概念定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数于同一个常数(chngsh)，那么这个数列就叫做等比数列，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数这个常数(chngsh)叫做等比数列的公比，公差通常用字母叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示表示(q0)。等比数列等比数列(dn b sh li)的判定方法的判定方法1 定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若 ，则数列，则数列an是等比数列。是等比数列。2等比中项：对于数列
7、等比中项：对于数列an，若，若 ，则数列，则数列an是等比数列是等比数列)0(1=+qqaann212+=nnnaaa第九页，共33页。等比中项等比中项如果在如果在a与与b之间插入一个数之间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。也就是，如果也就是，如果G是是a,b的等比中项，那么的等比中项，那么 ，即即 。GbaG=abG=2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式如果等比数列如果等比数列an的首项是的首项是a1，公比是，公比是q，则等比数列的通，则等比数列的通项为项为 11=nnqaa 等比数列的前等比数列的前n项和项和 当当
8、时时)1(1)1(1=qqqaSnn)1(11=qqqaaSnn1=q1naSn=第十页，共33页。等比数列的性质等比数列的性质1等比数列任意两项间的关系等比数列任意两项间的关系：如果：如果 是等是等比比数数列的第列的第m项，项，是等比数列的第是等比数列的第n项，且项，且 ，公，公比比为为q，则有，则有2.对于对于等比等比数列，若数列，若 ，则，则 namanm mnmnqaa=vumn+=+vumnaaaa=3若数列若数列an是等是等比比数列，数列，Sn是其前是其前n项的和，那项的和，那么么 ，成等成等比比数列数列 kSkkSS2kkSS23第十一页，共33页。二、基本二、基本(jbn)方法
9、方法总结总结1.1.求数列通项的基本求数列通项的基本(jbn)(jbn)方法方法 (1)求等差，等比数列求等差，等比数列(dn b sh li)的通项的通项(2)求一般数列的通项求一般数列的通项 第十二页，共33页。(3)求递推数列求递推数列(shli)的通项的通项 1。通过适当。通过适当(shdng)化归，转换成等比数列或等化归，转换成等比数列或等差数列差数列 11320nnnaaa+=112()nnnnaaaa+=2。通过选择适当的形式，引入待定的参数。通过选择适当的形式，引入待定的参数(cnsh)，再确定参数，再确定参数(cnsh)的值的值 第十三页，共33页。34第十四页，共33页。5
10、。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳(gun)出一出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳般表达式，形成猜想，然后用数学归纳(gun)法加以证明，法加以证明，得出正确的结论得出正确的结论 已知数列中已知数列中 =，(1)计算计算 （2）猜想通项公式，并且数学归纳法证明）猜想通项公式，并且数学归纳法证明 1a35121nnnaaa+=+34,a a第十五页，共33页。2、数列、数列(shli)求和的基求和的基本方法本方法 一、利用一、利用(lyng)常用求和公式求常用求和公式求和和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本利用下列常用求和公式求和是数列求和
11、的最基本(jbn)最重最重要的方法要的方法.1、等差数列求和公式：、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式：3、第十六页，共33页。二、错位相减法求和二、错位相减法求和(qi h)这种方法是在推导等比数列的前这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列法，这种方法主要用于求数列bncn的前的前n项和，其项和，其中中 bn、cn 分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列 所以所以(suy)有有 nnnnncbcbcbcbS+=1122111 22111nnnnnnnqSbcbcbcb c+=+13211)()1(+=nn
12、nncbdccccbSq第十七页，共33页。三、反序相加法求和三、反序相加法求和这是推导等差数列这是推导等差数列(dn ch sh li)的前的前n项和公项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到序），再把它与原数列相加，就可以得到n个个 第十八页，共33页。四、分组法求和四、分组法求和有一类有一类(y li)数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分
13、别求和，再将其合并即可别求和，再将其合并即可 求数列求数列(shli)的前的前n项和：项和：求数列求数列(shli)(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和 第十九页，共33页。五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后实质是将数列中的每项（通项）分解，然后(rnhu)重重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 第二十页，共33页。六、合并法求和六、合并法求和针对一些特殊的数列针对一些特殊的数列(shli)，将某些项合并在一
14、起就，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列具有某种特殊的性质，因此，在求数列(shli)的和时，的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.求求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值的值.数列数列(shli)an：，求，求S2005 第二十一页，共33页。七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行先根据数列的结构及特征进行(jnxng)分析，找出分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前示的规律来求数列的前n项和项和
15、1111.111111111个n+.+)110(919999.91111191=kkk个个第二十二页，共33页。若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本基本(jbn)量量”.设设an是公比为是公比为q的无穷等比数列的无穷等比数列,下列下列an的四组量中的四组量中,一定能成为该数列一定能成为该数列“基本基本(jbn)量量”的是第的是第 组组.(写出所有写出所有符合要求的组号符合要求的组号)S1与与S2;a2与与S3;a1与与an;q与与an.其中其中n为大于为大于1的的整数整数,Sn为为an的前的前n项和项和.（、）例例1三、基本三、基本(jbn)问
16、问题练习题练习第二十三页，共33页。定义定义“等和数列等和数列(shli)”：在一个数列：在一个数列(shli)中，如果每一项中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列(shli)叫做叫做等和数列等和数列(shli)，这个常数叫做该数列，这个常数叫做该数列(shli)的公和。已知的公和。已知数列数列(shli)是等和数列是等和数列(shli)，且且 ，公和为，公和为5，这个数列，这个数列(shli)的前的前21项和的值为项和的值为 _这个数列这个数列(shli)的前的前n项和的计算公式为项和的计算公式为_ _ 当当n为偶数时，为偶数时
17、，当当n为奇数时，为奇数时，Snn=52Snn=5212例例2第二十四页，共33页。例例3第二十五页，共33页。例例4第二十六页，共33页。已知数列已知数列(shli)an(shli)an的前的前n n项和项和SnSn满足：满足：Sn=2an+(-1)n,Sn=2an+(-1)n,写出求数列写出求数列(shli)an(shli)an的前的前3 3项项a1,a2,a3a1,a2,a3；求数列求数列(shli)an(shli)an的通项公式；的通项公式；例例5第二十七页，共33页。已知数列已知数列 ，且，且a2k=a2k1+(1)k,a2k+1=a2k+3k,其其中中(qzhng)k=1,2,3,
18、（I）求）求a3,a5；（；（II）求）求 an的通项公式的通项公式 例例6所以所以(suy)(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1)由此得由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是于是a2k+1=2321.1)1(21231+kkan的通项公式的通项公式(gngsh)（略）（略）()a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k所以所以 a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k同理同理 a2k-1-a2k-3=(-1)k-1+3k-1 a3-a1=3+(-1)第二十八页，共33页。四、综合四、综合(zngh)问问题选讲题选讲在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点数列在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在一起一起(yq)，成为高考命题的热点，成为高考命题的热点 第二十九页，共33页。第三十页，共33页。第三十一页，共33页。由（）可知：恒成立 21=+mnmfmnf第三十二页，共33页。第三十三页，共33页。
