1、第五章第五章 矩阵的对角化及二次型矩阵的对角化及二次型第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一一.概念概念:1.特征值特征值,特征向量特征向量:设设 A 是是 n 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和 n 维非零列向量维非零列向量 x 使使 关系式关系式 成立，那么，这样的数成立，那么，这样的数 称为方阵称为方阵 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 称为称为 A 的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量。xAx2.特征方程特征方程,特征多项式特征多项式,特征矩阵特征矩阵:xAx0)(xEA齐次线性方程齐次线性方程 有非零解有非零解0)(xEA0 EA 称称
2、 为方阵为方阵 A 的的特征方程特征方程，显然特征方程，显然特征方程的的n个根即为个根即为 A 的的n个特征值个特征值(实根或复根实根或复根)。0 EA记记nnnnnnaaaaaaaaaEAf212222111211)(称为称为 A的的 特征多项式特征多项式。nEAR)(称为称为 A的的 特征矩阵特征矩阵。)(EAi设设 为为 的一个特征值，的一个特征值，为其对应的特征向量，则为其对应的特征向量，则nnAixiiixAx0)(iixEA是是 的解的解0)(xEAiix求求 的特征值的特征值nnA求求 的根的根0 EA求求 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量nnAi求求 的解的解
3、0)(xEAi注注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。例例1：求矩阵：求矩阵 特征值和特征向量。特征值和特征向量。3113A二二.计算方法计算方法:解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为3113EA)2)(4(1)3(2所以所以 A 的特征值为的特征值为4,221当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足210)2(xEA即即0023112321xx002121xxxx11kkkx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为kx 22121xx 当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足420)4(x
4、EA即即0043114321xx021xx11kkkx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为kx 24221xx例例2：求矩阵：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.201034011A解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为201034011EA2)1)(2(所以所以 A 的特征值为的特征值为1,2321当当 时，解方程时，解方程210)2(xEA0021xx100kx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为kx 321由由0010140132EAr000010001当当 时，解方程时，解方程1320)(xEA0203231xxxx由
5、由101024012EAr00021010132312xxxx1212kkkkx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为kx 3132例例3：求矩阵：求矩阵 特征值和特征向量。特征值和特征向量。314020112A3412)2(22)2)(1()2)(2(所以所以 A 的特征值为的特征值为2,1321当当 时，解方程时，解方程110)(xEA314020112EA解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为414030111EAr00001010100231xxx即即0231xxx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为kx 3111010kkkx当
6、当 时，解方程时，解方程2320)2(xEA1140001142EAr00000011404321xxx即即2134xxx令令 ，得到对应于，得到对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为2211,kxkx23221214kkkkx110401040212211kkkkkk三三.特征值的性质特征值的性质：nnijaA)(1.定理定理1:设设 的特征值为的特征值为 ，则，则n,21(1)nnnaaa221121(2)An21推论推论方阵方阵 A 可逆可逆A 有有 n 个非零的特征值个非零的特征值 四四.特征向量的性质：特征向量的性质：1.定理定理2:若若 是是 A 对应于特征值对应于特征值 的两个
7、特征向量则的两个特征向量则 也是也是 A 对应于对应于 的特征向量。的特征向量。2.定理定理3:矩阵矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.五五:说明说明:1.对数值矩阵对数值矩阵,一般用一般用 ,求其特征值求其特征值.2.求非数值矩阵的特征值求非数值矩阵的特征值,则需用定义求解则需用定义求解.3.重根只对应一组线性无关的特征向量重根只对应一组线性无关的特征向量.例例:设设n阶方阵阶方阵A满足满足 ,证明证明A的特征值为的特征值为1或或0.0|AIAA 221,xx2211xkxk六六.补充定理补充定理定理定理:设设 是方阵是方阵A对应于特征向量对应
8、于特征向量x的特征值的特征值,则则:1.对数值对数值k,则则 是矩阵是矩阵kA对应于特征向量对应于特征向量x的特的特征值征值.2.对于正整数对于正整数 (2),则则 是矩阵是矩阵 对应于对应于特征向量特征向量x的特征值的特征值.3.若若A为可逆阵为可逆阵.则则 是矩阵是矩阵 对应于特征向对应于特征向量量x的特征值的特征值.4.是是 的特征值的特征值.llA11Allk)()(A例例:设三阶方阵设三阶方阵A的三个特征值为的三个特征值为1.2.-1,(1)求矩阵求矩阵 的特征值的特征值;(2)求矩阵求矩阵 的特征值的特征值;IAC21IAAB232第二节第二节 矩阵相似于对角阵矩阵相似于对角阵一一
9、.矩阵相似矩阵相似1.定义定义:设设 A、B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使，使 称称 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵,记为记为AB 矩阵矩阵P称为称为相似变换矩阵相似变换矩阵2.性质性质:(1)相似关系是等价关系相似关系是等价关系(自反性自反性,对称性对称性,传递性传递性),(2)定理定理4：若：若 A 与与 B 相似，则相似，则 (1)r(A)=r(B)(2)|A|=|B|(3)A 与与 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,则则 A 与与 B特征值也相同。特征值也相同。BAPP1例例1.设三阶矩阵设三阶矩阵 与与B相似相似,求求 的特征值的特征值.例例
10、2.设设n阶方阵阶方阵A与与B相似相似,且且 是是A对应于特征值对应于特征值 的特的特征向量征向量,证明证明:为为B对应于对应于 的特征向量的特征向量.230320002A1B0 x001xP01.概念概念:若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角阵与对角阵n21相似，则相似，则 称称 A 可对角化。可对角化。二二.方阵相似对角阵的条件方阵相似对角阵的条件:注注：设：设 A 的的 n 个线性无关的特征向量为个线性无关的特征向量为 ，nxxx,21记矩阵记矩阵 ，则，则 P 即为相似变换即为相似变换矩阵，使矩阵，使 为对角阵。为对角阵。),(21nxxxPAPP1 即即 P 为为 A的的n个线性无关的
11、特征向量构成的矩阵个线性无关的特征向量构成的矩阵证证:2.条件条件:(1)定理定理5:n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角阵相似与对角阵相似(即即 A 能对角化能对角化)A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量(3)推论推论2:若若A的每一个的每一个 重特征值有重特征值有 个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量,则则A可对角化可对角化(2)推论推论1:若若 n 阶矩阵阶矩阵 A有有 n 个相异的特征值个相异的特征值,则则 A可对角阵化。可对角阵化。注注:1)其逆命题不成立其逆命题不成立.2)若若 为单根为单根,必对应一个线性无关的特征向量必对应一个线性无关的特征向量.若若 为重根为重根
12、,当当 对应线性无关向量个数对应线性无关向量个数n,A不能对不能对 角化角化.3)对角阵主对角线元素可由对角阵主对角线元素可由 构成构成,其顺序同其顺序同P阵阵.ik ik例例3.判别下面矩阵能否相似于对角阵判别下面矩阵能否相似于对角阵.若能相似于对角矩阵若能相似于对角矩阵,求出求出P和对角阵和对角阵.264157113)2(,314020112)1(AA121PPAknkkk三三.可对角化矩阵的幂可对角化矩阵的幂:结论结论:求求 转化为求特征值及特征向量转化为求特征值及特征向量.kA例例4.设三阶矩阵设三阶矩阵A的特征值的特征值 对对应的特征向量为应的特征向量为,求求A.,1,4321T)1
13、,0,1(3T)0,1,1(2T)1,1,1(1第三节第三节 二次型的标准形二次型的标准形一一.二次型及其矩阵二次型及其矩阵:1.定义定义:1)含有含有 n 个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数nxxx,2122222211121),(nnnnxaxaxaxxxfnnnnxxaxxaxxa1,131132112222称为称为二次型二次型。当。当 为复数时，为复数时，称为称为复二次型复二次型；当当 为实数时，为实数时，称为称为实二次型实二次型。ijafijaf 2)：只含平方项的二次型，称为二次型的：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形标准形（或（或法式法式）若标准形的系数若标准形的系数
14、 只在只在 1，1，0 中取值，中取值，则称为二次型的则称为二次型的规范形规范形。nkkk,21nnxxaxxaxa1121122111取取 ，则，则jiijaa ijjijiijjiijxxaxxaxxa2此时此时22222211121),(nnnnxaxaxaxxxfnnnnxxaxxaxxa1,131132112222nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxanjijiijxxa1,)(12121111nnxaxaxax)(22221212nnxaxaxax)(2211nnnnnnxaxaxax2.二次型与矩阵关系二次型与矩阵关系:)(1212111
15、1nnxaxaxax)(22221212nnxaxaxax)(2211nnnnnnxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121,nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,AxxT其中其中nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21即二次型即二次型 可记作可记作 ,其中其中 A 为对称阵。为对称阵。fAxxfT二次型二次型对称阵对称阵一一对应一一对应故称对称阵故称对称阵 A 为为二次型二次型 的矩阵的矩阵，为为对称阵对称阵 A 的二次型的二次型，对称阵对称阵 A
16、 的秩叫做的秩叫做二次型二次型 的秩的秩。fff结论结论:3.二次型与对称阵互表方法二次型与对称阵互表方法1)已知二次型求对称阵已知二次型求对称阵A:A的主对角线元素的主对角线元素 为为 项系数项系数,其它元素其它元素 为为 项系数的一半项系数的一半.2)已知对称阵已知对称阵A求二次型求二次型:上述步骤的逆过程上述步骤的逆过程.ija2ixjiijaa jixx例例1：二次型：二次型4332214321222),(xxxxxxxxxxf的矩阵为的矩阵为0100101001010010二次型二次型yzxyzxzyxf43),(22的矩阵为的矩阵为32102102021例例2.求求12122010
17、3A的二次型的二次型32312322213214223),(xxxxxxxxxxf二二.可逆变换化二次型为标准型可逆变换化二次型为标准型1.概念概念:(1)可逆线性变换可逆线性变换:设一组变量设一组变量 与另一组变量与另一组变量 的变换式为的变换式为简记为简记为x=Py,其中其中 ,为可逆阵为可逆阵,称上式为称上式为可逆线性变换可逆线性变换.nyyy,.,21nxxx,.,21nnnnnnnnnnypypypxypypypxypypypx22112222121212121111Tnxxxx),.,(21Tnyyyy),.,(21nnijpP)(2)合同合同 定义定义3：设：设 A 和和 B 是
18、是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 C 使使 ，则称矩阵，则称矩阵 A 和和 B 合同合同。ACCBT性质性质:1)A 与与 B 合同合同,则则 A 为对称阵为对称阵 2)合同不改变矩阵的秩合同不改变矩阵的秩.3)合同是方阵之间又一等价关系合同是方阵之间又一等价关系.B 为对称阵为对称阵2.化标准型方法化标准型方法:1)定理定理2:任给二次型任给二次型 ,有可逆变换有可逆变换 使使 化成标准形化成标准形 其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值。的特征值。等价于对任一实对称阵等价于对任一实对称阵A,总存在可逆阵总存在可逆阵P,使使A合同于对角阵合同于对角阵2)方法方法:(1)拉格朗
19、日配方法拉格朗日配方法;(2)正交变换法正交变换法.n,21f2222211nnyyyfnjijiijxxaf1,Pyx f)(ijaA3).拉格朗日方法步骤拉格朗日方法步骤:(1)f中含有某变量平方项中含有某变量平方项:把含有此变量的项归并把含有此变量的项归并,配方配方;再对其它变量进行配方再对其它变量进行配方,直至完全配为平方项直至完全配为平方项.(2)f中不含变量的平方项中不含变量的平方项:用一简单逆变换使用一简单逆变换使f中含有新变量平方项中含有新变量平方项,按第一种方法进行按第一种方法进行.例例1：用配方法把二次型：用配方法把二次型:23312221216432xxxxxxxf化为标
20、准形。化为标准形。例例2：用配方法把二次型：用配方法把二次型:3231213 xxxxxxf化为标准形。化为标准形。3.注注:(1)二次型化标准型不是惟一的二次型化标准型不是惟一的.(2)标准型中非平方项的个数是惟一的标准型中非平方项的个数是惟一的.4.惯性定理惯性定理:(1)定理定理:设秩为的二次型设秩为的二次型,经可逆线性变换化为标准型时经可逆线性变换化为标准型时,正的平方项的个数正的平方项的个数p一定一定,负的平地方项的个数负的平地方项的个数q一定一定.(2)概念概念:正惯性指数正惯性指数:正的平方项数正的平方项数p.负惯性指数负惯性指数:负的平方项数负的平方项数q.符号差符号差:p-q
21、 第四节第四节 正交变换化二次型为标准形正交变换化二次型为标准形一一.正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换:1.正交矩阵正交矩阵:(1)定义定义:若若 称称C为正交阵为正交阵.(2)性质性质:正交阵的行列式等于是或正交阵的行列式等于是或-1,正交阵的逆阵等于其转置阵正交阵的逆阵等于其转置阵,两正交阵的乘积仍是正交阵两正交阵的乘积仍是正交阵.2.正交变换正交变换:(1)定义定义:设设C为为n阶正交阵阶正交阵.X,Y为为n维向量维向量,称线性变换称线性变换 X=CY为正交变换为正交变换.(2)性质性质:保持向量长度保持向量长度,内积内积,不变不变,因而两向量之间的夹因而两向量之间的夹角及正交性不变
22、角及正交性不变.ICCCCTT二二.正交变换化二次型为标准形正交变换化二次型为标准形:1.实对称阵的性质实对称阵的性质:n21 (1)实对称矩阵的特征值为实数。实对称矩阵的特征值为实数。(2)：设：设 是对称阵是对称阵 A 的两个特征值，的两个特征值，是对应是对应 的特征向量。若的特征向量。若 ，则，则 与与 正交。正交。21,pp21,1p212p2.定理定理3:实二次型必存在正交变换实二次型必存在正交变换X=CY化为标准型化为标准型,等价等价于对于对n阶实对称阵阶实对称阵A,必存在正交阵必存在正交阵C.使使A合同相似于对角阵。合同相似于对角阵。其中其中 为为A的特征值的特征值,C的的n个列
23、向量是个列向量是A对对应于特征值应于特征值 的标准正交的特征向量的标准正交的特征向量.3211000000ACCACCTi3.化标准形步骤：化标准形步骤：(1)写出写出f的矩阵的矩阵A,(2)由特征方程求的由特征方程求的n个特征值个特征值,(3)求关于求关于 的特征向量的特征向量 1)当当 为单根时为单根时,取一非零特征向量取一非零特征向量,单位化单位化,2)对每个重特征值对每个重特征值 ，求方程，求方程 的基的基 础解系，得础解系，得 个线性无关的特征向量。再把它们正个线性无关的特征向量。再把它们正 交化、单位化，得交化、单位化，得 个两两正交的单位特征向量。个两两正交的单位特征向量。i0)
24、(xEAiikik（4）把这）把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便，便 有有 。其中。其中 中对角元的排列次中对角元的排列次 序应与序应与 P 中列向量的排列次序相对应。中列向量的排列次序相对应。APPAPPT1 i i例例1：设：设 ，求一个正交阵，求一个正交阵 P，使，使011101110A为对角阵。为对角阵。APP1解解:111111EA21rr 111101121cc 21111001)2)(1(2)2()1(2于是于是 A 的特征值为：的特征值为：1,2321对于对于 ，解方程，解方程210)2(xEA2111211122EAr000
25、110101003231xxxx3231xxxx令令 ，得基础解系，得基础解系 ，将，将 单位化单位化13x11111111311p对于对于 ，解方程，解方程1320)(xEA111111111EAr0000001110321xxx321xxx令令10,0132xx，得基础解系，得基础解系011210132223233,2112101121101将将 正交化：正交化：32,22取取再将再将 单位化，得单位化，得32,21161,0112132pp将将 构成正交矩阵构成正交矩阵321,ppp62031612131612131),(321pppP1000100021APPAPPT则有则有例例2：用正交变换把：用正交变换把 化化为二次型为二次型。212221222xxxxf
