1、武昌区 2019 届高三年级元月调研考试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1 1 i 3i 1 i （ ） Ai B2i C1 3i D1 3i 1答案：B 解析： 2 1 i(1 i)2i 3i3i3ii3i2i 1 i(1 i)(1 i)2 2已知集合 2 |log (1)1, |2AxxBx xa，若AB，则实数a的取值范围为（ ） A(1,3) B1,3 C1,) D(,3 2答案：B 解析： 2 |log (1
2、)1 |012 |13Axxxxxx ， |2Bx xa | 22 |22xxax axa ，因为AB，所以 21 23 a a ，解得13a 3已知向量(2,1),(2, )abx 不平行，且满足 2abab ，则x （ ） A 1 2 B 1 2 C1 或 1 2 D1 或 1 2 3答案：A 解析：因为向量(2,1),(2, )abx 不平行，所以1x ，2(6,12 ),(0,1)abxabx ， 因为 2abab ，所以 2(12 )(1)0ababxx ，又因为1x ，所以 1 2 x 4函数 2 ( ) x x e f x x 的图象大致为（ ） 开始开始 1,0ns 2nss
3、2nn n8? 输出输出s 结束结束 是是 否否 4答案：A 解析：函数( )f x的定义域为 |0x x ，且 2 ( )0 x x e f x x 恒成立，排除 C，D， 当0x 时，( ) x f xxe，当0x 时，( )0f x ，排除 B，选 A 5某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s （ ） A26 B102 C410 D512 5答案：B 解析：1,02,3nssn否 3 226,5sn否 5 2626,7sn否 7 226102,9sn是，输出102s 6设, x y满足约束条件 430 290 1 xy xy x ，则2zxy的取值范围为（ ） A2,6 B3,6 C
4、3,12 D6,12 6答案：C 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中(1,4),(1,1),(5,2)ABC，6,3,12 ABC zzz， 所以z的取值范围是3,12 6 4 2 510 C A B O 7已知函数( )3sincos(0)f xxx的最小正周期为2，则( )f x的单调递增区间是（ ） A2,2() 66 kkkZ B 2 2,2() 33 kkkZ C 2 2,2() 33 kkkZ D 5 2,2() 66 kkkZ 7答案：B 解析：( )3sincos2sin 6 f xxxx ，最小正周期 2 2 ,1 T ， ( )2sin 6 f xx ，由22, 262
5、 kxkkZ ，得 2 22, 33 kxkkZ 所以( )f x的单调递增区间是 2 2,2() 33 kkkZ 8已知ab、是区间0,4上的任意实数，则函数 2 ( )1f xaxbx在2,)上单调递增的概率为 （ ） A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 8答案：D 解析：由题意可得0a ，且函数( )f x的对称轴2 2 b x a ，即 0 4 a ba ，点( , )a b取自如图所示的正 方形OABC内部（含边界） ，则符合条件的( , )a b取自梯形OABD内，16,14 OABCOABD SS， 所以所求概率 147 168 P 4 2 5 D B C AO 9如
6、图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A 32 3 B 48 3 C32 D48 9答案：A 解析：该几何体为如图所示的三棱锥DABC，则 1132 4 44 323 D ABC V AB C D 10已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2 3的正三角形，侧棱 长为2 5，则球O的表面积为（ ） A10 B25 C100 D125 10答案：B 解析：正ABC外接圆的半径 3 2 32 3 r ，设ABC的中心为M，则2,2 5MASA， 22 4SMSAMA，设球O的半径为R，在AOM中，由勾股定理得 222
7、AMOMOA， 即 22 4(4)RR，解得 5 2 R ，则球O的表面积为 2 425R S A M O 11已知M为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支上一点，,A F分别为双曲线C的左顶点和右焦 点，线段FA的垂直平分线过点M，60MFA，则C的离心率为（ ） A6 B4 C3 D2 11答案：B 解析：为方便运算，不妨设1a ，则( 1,0),( ,0)AF c，因为AFM是正三角形， 所以 13(1) , 22 cc M ， 将其代入 2 2 2 1 1 y x c ， 得 22 2 (1)3(1) 1 44(1) cc c ， 即 2 (1)3(1) 1
8、44(1) cc c ， 所以 32 (1)3(1)4(1),(1)(23)3(1)cccccxc，(1)(3)3cc， 2 40,4ccc ，所以离心率4 c e a M N F A O 12已知函数 32 11 ( )2 32 f xxaxx ，则( )f x的零点个数可能有（ ） A1 个 B1 个或 2 个 C1 个或 2 个或 3 个 D2 个或 3 个 12答案：A 解析：当0a 时，函数( )f x只有 1 个零点； 当0a 时，由 32 11 ( )20 32 f xxaxx ，显然0x ，则 2 32 3 1 2 1633 2 1 2 3 xx axxx x ， 设 1 t
9、x ，则 32 13 ( )63 2 g tttt a ， 2 3 ( )186,36 108720 2 g ttt ，则( )0g t恒成 立，所以函数( )g t单调递增，且( )g t可取遍(,) ，所以 1 ( )g t a 有且只有 1 个解，即( )f x只有 1 个零点 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13 3 (1)(2)xx的展开式中 2 x的系数为 （用数字填写答案） 13答案：6 解析： 332 (1)(2)(1)(6128)xxxxxx，所以展开式中 2 x的系数为1266 14已知( )f x是定义域为R的奇函数，且函
10、数(1)yf x为偶函数，当01x时， 3 ( )f xx，则 5 2 f 14答案： 1 8 解析：( )f x关于(0,0)对称，关于直线1x 对称，所以 3 55111 22228 fff 15 设 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和 已知 124 ,S SS成等比数列， 且 3 5a ， 则数列 n a 的通项公式为 15答案：21 n an 解析： 设等差数列 n a的公差为(0)d d ， 则 124 52 ,103 ,202Sd Sd Sd， 因为 2 214 SSS， 所以 2 (103 )(52 )(202 )ddd，整理得 2 5100,0,2dddd， 3
11、 (3)52(3)21 n aandnn 16 过点( ,0)M m作直线 12 ll、与抛物线 2 :4E yx相交， 其中 1 l与E交于AB、两点，2l与E交于CD、 两点，AD过E的焦点F若ADBC、的斜率 12 kk、满足 12 2kk，则实数m的值为 16答案：2 解析：设 2222 11223344 ( ,2 ),( ,2 ),( ,2 ),( ,2 )A ttB ttC ttD tt，则 41 1 22 4114 2()2tt k tttt ，同理 2 23 2 k tt ， 因为 12 2kk，所以 2314 2()tttt 直线 2 11 14 2 :2()AD ytxt
12、tt ，将(1,0)F代入得 1 4 1t t ， 直线 2 11 12 2 :2()AB ytxt tt ，将( ,0)M m代入得 1 2 t tm ， 同理可得 3 4 t tm 由可得 1324 44 1 , m tttmt tt ，将其代入，得 44 44 11 2,2m ttm tt 6 4 2 2 510 C B D MO F A 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角ABC、 、的对边分
13、别为abc、 、，且 2 sinsincos 2 C AB ， (3 )sin()(sinsin)cbCabAB （1）求A和B的大小； （2）若ABC的面积为3，求BC边上中线AM的长 17 （1）因为(3 )sin()(sinsin)cbCabAB，所以(3 )()()cb cab ab， 所以 222 3abcbc，即 3 cos 2 A ，所以30A ， 因为 2 sinsincos 2 C AB ，所以 1 cos sinsin 2 C AB ，即sin1cosBC ， 因为150BC，所以sin1 cos(150)1cos150 cossin150 sinBBBB ， 即 13 s
14、incossin601 22 BBB ，所以30B 6 分 （2）,120ab C，因为 2 13 sin3 24 ABC SabCa ，所以2ab， 在ACM中， 222 1 2cos1204 12 1 27 2 AMACCMACCM ， 所以7AM 12 分 A B C M 18 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 111 ABCABC中， 111 2,30 ,6ABACAABCACABC （1）求证：平面 1 ABC 平面 11 AAC C； （2）求二面角 11 BACC的余弦值 （1）记 11 ACACO，连结BO因为 1 ABBC，所以 1 BOAC 由题意知 1 ACC为正三
15、角形，求得3CO ，在 1 ABC中求得3BO ，又6BC ， 所以 222 BCCOBO，所以BOCO因为 1 COACO，所以BO 平面 11 AAC C 因为BO 平面 1 ABC，所以平面 1 ABC 平面 11 AAC C6 分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 11 (0,1,0),(0, 1,0),(3,0,0),( 3, 1, 3)ACCB， 1 (0, 2,0),( 3, 2, 3)ACAB 因为BO 平面 11 AAC C，所以平面 11 AAC C的法向量为(0,0, 3)m 设平面 11 ABC的法向量为( , , )nx y z ，则 1 20 3230 n A
16、Cy n ABxyz ，取1x ，则0,1yz ， 所以(1,0, 1)n 所以 32 cos, 232 m n m n mn ，因为所求二面角的平面角为钝角， 所以所求二面角 11 BACC的余弦值为 2 2 12 分 A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 O x y z 19 （本小题满分 12 分） 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度” （记为 l，单位：cm） ，先从中随机抽取 100 件，测量 发现全部介于 85cm 和 155cm 之间，得到如下频数分布表： 分组 85，95) 95，105) 105，115) 115，125) 125，135) 1
17、35，145) 145，155 频数 2 9 22 33 24 8 2 已知该批产品的质量指标值服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中近似为样本的平均数x， 2 近似为样本方差 2 s（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） （1）求(132.2144.4)Pl ； （2）公司规定：当115l时，产品为正品；当115l 时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若 是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布 列和数学期望 参考数据：15012.2 若 2 ( ,)XN ，则()0.6826,(22 )0.9544PXPX， (33 )0.997
18、4PX 19解析： （1）抽取产频质量指标值的样本平均数为： 90 0.02 100 0.09 110 0.22 120 0.33 130 0.24 140 0.08 150 0.02120x ， 抽取产品质量指标值的方差为： 2 900 0.02400 0.09 100 0.220 0.33 100 0.24400 0.08900 0.02150 ， 因为(120,150),15012.2lN， 1 ()(120132.2)0.68260.3413, 2 1 (2 )(120144.4)0.95440.4772, 2 PlPl PlPl (132.2144.4)(120144.4)(1201
19、32.2)0.1359PlPlPl 6 分 （2）由频数分布表得：(115)0.020.090.220.33,(115)1 0.330.67P lp l 随机变量的取值为90,30，且(90)0.67,(30)0.33PP 则随机变量的分布列为： 90 30 P 0.67 0.33 所以90 0.6730 0.3350.4E 12 分 20 （本小题满分 12 分） 设 12 FF、分别为椭圆 2 2 :1 2 x Ey的左、右焦点，动点 0000 (,) (0,1)P xyyy 在E上 12 FPF的 平分线交x轴于点( ,0)M m，交y轴于点N，过 1 FN、的直线l交E于CD、两点 （
20、1）若 1 2 m ，求 0 x的值； （2）研究发现 0 x m 始终为定值，写出该定值（不需要过程） ，并利用该结论求 2 F CD面积的取值范围 20解析： （1）由题意知 12 ( 1,0),(1,0)FF 直线 1 PF的方程为 0 0 0 0(1) 1 y yx x ，即 000 (1)0y xxyy， 直线 2 PF的方程为 0 0 0 0(1) 1 y yx x ，即 000 (1)0y xxyy 由点 1 ,0 2 M 到 1 PF和 2 PF的距离相等，得 0000 2222 0000 11 22 (1)(1) yyyy yxyx （*） 其中 2222 00000 12
21、(1)1(1)2 22 yxxxx， 2222 00000 12 (1)1(1)2 22 yxxxx，且 0 22x 所以（*）式可化为 00 31 22xx ，解得 0 1x 4 分 （2）定值为 2，即 0 2 x m 直线PM的方程为 0 0 0 0() y yxm xm ，令0x ，并考虑 0 2xm，得 0 yy 所以点N的坐标为 0 (0,)y，从而过 1 FN、的直线l的方程为 0 0 0(1) 1 0 y yx ，即 0( 1)yyx ， 代入 2 2 1 2 x y，消去x，得 222 000 (12)20yyy yy设 1122 ( ,),(,)C x yD xy， 则 2
22、 00 1212 22 00 2 , 1212 yy yyy y yy 所以 2 222 2 0000 121212 2222 000 248(1) ()4 1212(12) yyyy yyyyy y yyy ， 所以 2 22 00 1212 22 0 8(1)1 2(12) F CD yy SFFyy y 因为 2222 000 222222 000 8(1)2(12)11 2 1 (12)(12)(12) yyy yyy ，其中 00 0,1yy ， 所以 22 00 22 0 116 01,1 123, 02 1 (12)9 yy y ，所以 2 4 0 3 F CD S ， 所以 2
23、 F CD面积的取值范围为 4 0, 3 12 分 D C N M F1OF2 P 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 113 ( )ln 424 f xxaxx （1）当1a 时，求( )f x的单调区间； （2）若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，且 12 xx，证明： 12 12 ()()1 2 4 f xf x a xx 21解析：当1a 时， 2 113 ( )ln 424 f xxxx，(1)0f 2 1112(2)(1) ( ) 2222 xxxx fxx xxx 当1x 时，( )0fx；当01x时，( )0fx 在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减4
24、分 （2）因为 2 113 ( )ln 424 f xxaxx，所以 2 1112 ( ) 222 axx fxax xx 因为( )f x存在两个极值点，所以 2 20axx在(0,)有两根 所以 0 1 80 a a ，所以 1 0 8 a，且 1212 12 ,xxx x aa 因为 22 121212 1212 121212 11 (lnln)()() ()()lnln1 42 4 xxa xxxx f xf xxx xxxxxx 要证 12 12 ()()1 2 4 f xf x a xx ，只需证 12 1212 lnln2 2 xx a xxxx ，即证 1 2 1 1 2 2
25、21 ln 1 x xx x x x 令 1 2 1 x t x ，只需证 2(1) ln 1 t t t 令 2(1) ( )ln,(1)0 1 t g ttg t ，所以 2 2 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t ， 所以( )g t在(1,)单调递增，因为1t ，所以( )(1)g tg，即 2(1) ln0 1 t t t 所以， 12 12 ()()1 2 4 f xf x a xx （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系
26、xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 xt yt （t为参数） 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴的极坐标系中，曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C相交于AB、两点，求OAB的面积 22解析： （1） 1 C的普通方程为30xy，由4cos，得 2 4 cos， 又因为 222, cosxyx，所以 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx4 分 （2）原点O到直线30xy的距离 3 2 d ， 2 C的标准方程为 22 (2)4xy，表示圆心为 2(2,0) C，半径2r 的圆 2 C到直线30xy的距离
27、 2 3 2 2 d ，所以 22 2 214ABrd 所以 1133 7 14 2222 OAB SAB d 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知( )11f xxaxa （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若1x时，不等式( )2f xx恒成立，求a的取值范围 23解析： （1）当1a 时，不等式( )3f x 化为13xx 当1x 时，13xx ，解得2x，所以2x； 当10x 时，13,13xx ，无解； 当0x时，13xx ，解得1x，所以1x 所以，不等式( )3f x 的解集为(, 21,) 4 分 （2）当1x时，不等式( )2f xx化为112xaxax ，即11axa 由11axa ，得11axa或11axa ，即(1)2a x或(1)0a x 当x1 1时，不等式(1)2a x不恒成立； 当1x时，若不等式(1)0a x恒成立，则0a 所以，所求a的取值范围为0,)10 分 3 2 1 1 2 24 B A C2 O
