1、2019 年长沙四校高考模拟卷（一） 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数z满足(1 i)i ()Rzaa，且复数z的实部和虚部互为相反数，则实数a的值为（ ） A0 B1 C1 D2 1答案：A 解析：设i ()Rzbbb，则(1 i)(1 i)(i)2 iizbbba ，所以 1 0, 2 ab 2如图，已知集合 2 11 |10,1 42 x Ax xBx ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A0,1) B(
2、 1,0 C( 1,0) D1,2 A B 2答案：C 解析： 20 2 11111 |10( 1,1),10,2 42222 xx Ax xBxx ， 所以0,1)AB ，图中阴影部分表示AB在A中的补集，即( 1,0) 3小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近 11 周的跑步里程（单位：km）的数据，绘制 了下面的折线图 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A剔除第 8 周数据，跑步里程逐周增加 B周跑步里程的极差为 20km C周跑步里程的平均数低于第 7 周对应的里程数 D周跑步里程的中位数为第 6 周对应的里程数 3答案：C 解析：剔除第 8 周数据，周跑步里程逐周有增有
3、减，A 错；周跑步里程的极差比 20 km 小，B 错； 周跑步里程的中位数为第 5 周对应的里程数，D 错； 第 7 周对应的里程数为 15 km，观察数据，知周跑步里程的平均数比 15km 小，C 正确 4已知函数 2 log1, 04 ( ) ,4 2 xx f x x x ，则使不等式 1 ( ) 4 f xf 成立的x的取值范围是（ ） A 1 0, 4 B 1 ,36 4 C 1 ,16 4 D 1 ,4 4 4答案：B 解析： 2 11 log13 44 f ，当3 2 x 时，36x 又( )f x在(0,2)上是减函数，在(2,)上是增 函数，所以使 1 ( ) 4 f xf
4、 成立的x的取值范围是 1 ,36 4 4 3 2 1 1 24681012 O 5 如图， 网格纸上的小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （ ） A142 22 5 B162 22 5 C144 2 D162 5 5答案：A 解析：由三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组合而成，其表面积为 111 2 24 2 12 22 22225142 22 5 222 6已知曲线 12 :2 2sin cos ,:sin2cos2Cyxx Cyxx，则下面结论正确的是（ ） A把曲线 1 C向右平移 8 个单位长度，得到曲线 2 C B把曲线 1 C向左
5、平移 4 个单位长度，得到曲线 2 C C把曲线 2 C向左平移 4 个单位长度，得到曲线 1 C D把曲线 2 C向右平移 8 个单位长度，得到曲线 1 C 6答案：D 解析：曲线 1: 2 2sin cos2sin2Cyxxx， 曲线 2: sin2cos22sin 22sin2 48 Cyxxxx ， 所以把曲线 2 C向右平移 8 个单位长 度，得到曲线 1 C（或把曲线 1 C向左平移 8 个单位长度，得到曲线 2 C） 7某校高三年级为了解学情和教情，在该年级 6 个班中选 10 名学生参加座谈会，要求每班至少派 1 名学 生参加，其中高三（1）班至少派 2 名学生参加，则不同的选
6、派方式有（ ） A72 种 B60 种 C50 种 D56 种 7答案：D 解析：首先需满足高三（1）班选 2 名学生，其余班级各选 1 名学生，然后只需分配剩下的 3 个名额，这 3 个名额可以分到一个班，有 1 6 C种分法，也可以分到两个班，其中一个班 1 名，1 个班 2 名，有 2 6 A种方法， 还可以分到三个班，每班 1 名，有 3 6 C种分法因此不同的选派方式有 123 666 56CAC（种） 解法二：隔板法：十个名额，排成一列，产生 9 个空隙，为保证高三（1）班至少有 2 名学生参加，第一 个空隙不能插入隔板，在剩余的 8 个空隙中插入 5 块隔板，分成 6 组，共有
7、5 8 56C 种方法 8执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A2 B1 C 1 2 D2 8答案：B 解析：1n 时， 11 (2)1 22 af ；2n 时， 1 1 21 2 af ；3n 时，( 1)1 12af ； 4n 时， 11 (2)1 22 af ，则a的取值呈周期为 3 的方式出现，由循环语句，知当8n 时， 1a ，当9n 时跳出循环，执行输出，此时1a 9在正方体 1111 ABCDABC D中，平面过点A，且 1 AC，平面 1 ABCDl，平面过点 1 A， 且 1 AC，平面 112 AAD Dl，则直线 12 ,l l所成角的余弦值为（ ） A 3 3
8、 B 2 2 C 3 2 D 1 2 9答案：D 解析： 如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 易得 1 AC 平面 1 ABD， 因为 1 AC， 所以平面 1 /ABD， 又平面 1 ABCDl，平面 1 ABD平面ABCDBD，所以 1/ lBD， 易得 1 AC 平面 11 AB D， 因为 1 AC， 所以平面 11/ AB D， 又平面 112 AAD Dl， 平面 11 AB D 平面 111 AAD DAD，所以 21 /lAD， 所以 1 l与 2 l所成的角就是BD与 1 AD所成的角，又 11 /ADBC，所以 1 DBC就是 1 l与 2 l所成的角 因为
9、 1 DBC是正三角形，所以 11 1 60 , cos 2 DBCDBC，故选 D 开始开始 2a 1 ( )1,1f xn x n9? ( )af a 1nn 输出输出a 结束结束 是是 否否 A B C D D1 A1 B1 C1 10已知点 12 ,F F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，在双曲线的右支上存在一点P，使 2112 ,PFPFFF成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A25,) B4,) C4,25 D23,) 10答案：A 解析：令 12 ,PFm PFn，则由 2112 ,PFPFFF成等比数列，得 2 12 mn FF
10、，又2mna， 12 2FFc， 所以 2 2(2 )mma c， 即 2 240mmcac， 则 2 416cac ， 且 2 4mccac 根据0 ， 得4e 由mca， 得 222 4,4caca caca， 2 410ee ， 所以25e 11在等腰三角形ABC中，2,90ABACB，点P是ABC所在平面内一点，且满足 2 2 BP ， 若APABAC ，则的最小值是（ ） A1 B 1 4 C2 D 1 2 11答案：D 解析：以C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则( 2,0),(0,2)AB，点P在以(0,2)B为 圆心，半径为 2 2 的圆上，故可设 22 cos ,2s
11、in 22 P ，由APABAC ， 得 22 cos2,sin2(2,2)(2,0)(22 ,2 ) 22 ， 所以 2 22cos2 2 ， 11 3 1cos, 22 2 ，所以的最小值是 1 2 B A C P 12 在ABC中， 内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 若,A B是锐角， 且sinsinaAbBc， 则ABC 一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D钝角三角形 12答案：B 解析：由sinsinsinaAbBC及正弦定理可得 22 sinsinsinABC 在ABC中，根据ABC，得()CAB，所以sinsin()CAB，于是原式化为
12、22 sinsinsincoscossinABABAB，即sin(sincos)sin(cossin)AABBAB （*） 若 2 AB ，由,A B是锐角，知0 22 AB ，所以sinsincos 2 ABB ， coscossin 2 ABB ，即sincos0, cossin0ABAB，又sin0,sin0AB， 所以（*）不成立 若 2 AB ，由,A B是锐角，知0 22 AB ，所以sinsincos 2 ABB ， coscossin 2 ABB ，即sincos0, cossin0ABAB，又sin0,sin0AB， 所以（*）不成立 若 2 AB ，则 2 AB ，sins
13、incos 2 ABB ，coscossin 2 ABB ， 所以（*）成立此时() 2 CAB ，所以ABC一定是直角三角形 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，若(3)0.8P X ，则(1)P X 13答案：0.2 解析：(1)(3)1(3)1 0.80.2P XP XP X 14 过点(1,0)F作直线交抛物线 2 4yx于,A B两点， 交直线1x 于点C， 且 3 2 AFBC ， 则线段AB 的长为 14答案：16 3 解析：如图，不妨设点A在x轴上方，显然点(1,0)F是抛物线 2 4
14、yx的焦点，直线1x 是抛物线 2 4yx的准线，过点,A B作准线1x 的垂线，垂足分别为 11 ,A B，设准线1x 交x轴于点 1 F， 则 1 2FF 设,AFm BFn BCt， 则 11 ,AAm BBn， 于是 3 2 2 mt nt nt nt mtmn ， 解得 8 3 4 4 3 t m n ， 所以 16 3 ABmn 解法二：如图，不妨设点A在x轴上方，显然点(1,0)F是抛物线 2 4yx的焦点，直线1x 是抛物线 2 4yx的准线，过点,A B作准线1x 的垂线，垂足分别为 11 ,A B，设AFx， 则 1 1 2 222 , 1 cos1coscoscoscos
15、 BB AFBBBFBC ， 由 3 2 AFBC ，得 2 232 1 cos2coscos ，整理得 2 2cos5cos30， 即 2 12416 (2cos1)(cos3)0,cos,60 , 3 2sin3 4 p AB 15若实数, x y满足约束条件 20 412150 10 xy xy xy ，则 22 42zxxy的最小值是 15答案： 19 16 解析：作出可行域如图所示，其中 3 3 , 2 4 A ， 2222 42(2)2zxxyxy的几何意义为可行 域内的点( , )x y到点(2,0)P的距离的平方减去 2过点P作直线20xy的垂线，垂足为D， 则 8 4 , 5
16、 5 D ，由于 38 25 ，所以点 8 4 , 5 5 D 不在可行域内，故点A到点P的距离最小， 于是 22 min 3319 22 2416 z D P C B A O 10xy 412150xy 20xy 16若定义域为R的奇函数( )f x满足(2)( )fxf x，且当01x时，( )f xx，则函数 ( )( ) x g xe f x在区间 1,5上的最小值为 16答案： 3 e 解析：根据( )f x为奇函数，且当01x时，( )f xx，得11x 时，( )f xx 由(2)( )fxf x，得( )f x的图象关于直线1x 对称，所以当13x时，( )2f xx ( )f
17、 x既关于(0,0)对称，又关于直线1x 对称，所以是双对称函数，从而是周期函数，周期为 4， 所以当35x时，141x ，从而( )(4)4f xf xx 于是当11x 时，( ),( )(1),( ) xx g xxeg xxeg x在 1,1上是增函数， 1 ( )g xe e ； 当13x时，( )(2),( )(1),( ) xx g xx eg xx eg x在(1,3上是减函数， 3 ( )eg xe e 当35x时，( )(4),( )(3),( ) xx g xxeg xxeg x在(3,5上是增函数， 35 ( )eg xe 综上，( )g x在区间 1,5上的最小值为 3
18、 (3)ge 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知 n S是等比数列 n a的前n项和， 33 13 , 22 aS （1）求数列 n a的公比； （2）对于数列 n S中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？ 17解析： （1）设等比数列 n a的公比为(0)q q ，由 3 1 2 a ， 得 33 12 22 11 , 22 aa aa qqqq 3 分 所以 2 3123 2 1113 1,
19、210, (21)(1)0 22 Saaaqqqq qq ， 解得1q 或 1 2 q 6 分 （2）当1q 时， 11212 1111 ,(1),(2), 2 2222 nnnnnn aSn SnSnSSS ， 即 12 , nnn SSS 成等差数列 所以当1q 时，数列 n S中任意连续的三项 12 , nnn SSS 成等差数列8 分 当 1 2 q 时， 1 1 2 1 2 41 2,1 1 32 1 2 n n n aS ， 同理 12 12 4141 1,1 3232 nn nn SS ，10 分 所以 1 1 41414111411 1122 32323222322 nnnnn
20、 nn SS 2 2 41411 2222 32322 nn n S 所以 21 2 nnn SSS ，即 21 , nnn SSS 成等差数列， 所以当 1 2 q 时，数列 n S中任意连续三项 12 , nnn SSS ，按照顺序 21 , nnn SSS 排列，成等差数列 18 （本小题满分 12 分） 一微商店对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期一个月的数据统计分析，并得到日销售量的频率分 布直方图如图所示（每组包含最小值，不包含最大值） 假设用频率分布直方图中所得的频率估计相应事 件发生的概率 （1）求在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件的概率；
21、（2）若该微商店某天的销售量不低于 27 件，则上级商企当天会给该微商店送 100 元的礼金，设 X 表示该 微商店一年内得到礼金的次数，求 X 的数学期望以及一年内得到的礼金数（一年按 365 天计算） 18解析： （1）设事件 A：日销售量不低于 25 件，则( )(0.040.02) 50.3P A ，2 分 设事件 B：在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件， 则 22 ( )3 0.30.70.1323P B 5 分 （2）设事件 C：日销售量不低于 27 件， 则( )0.04 (3027)0.02 50.120.10.22P C 7 分 因为(365,
22、 0.22)XB，所以()365 0.2280.3E X ，10 分 一年内得到的礼金数为80.3 1008030（元） 12 分 19 （本小题满分 12 分） 如图， 在三棱锥ABCD中，BCD是边长为 4 的正三角形，E为BC的中点， 平面ADE 平面BCD， 二面角ABCD的余弦值为 7 7 ，三棱锥ABCD的体积为4 6 （1）求证：平面ADE 平面ABC； （2）求二面角CADB的余弦值 A B C D E 19解析： （1）因为BCD是正三角形，BC的中点为E，所以BCDE又平面ADE 平面BCD， 平面ADE平面BCDDE，BC 平面BCD，所以BC 平面ADE， 又BC 平面
23、ABC，所以平面ADE 平面ABC4 分 （2）由（1）知,BCAE BCDE，所以AED 是二面角ABCD的平面角， 即 742 cos,sin, tan6 77 AEDAEDAED5 分 过点A作AODE于点O，BC 平面ADE，AO 平面ADE，所以AOBC， 又因为DEBCE，所以AO 平面BCD， 2 3 44 3 4 BCD S ， 11 4 34 6 33 A BCDBCD VSAOAO ，所以3 2AO 所以3 tan AO EO AED ，又2 3DE ，所以3OD ， 解法一：以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为z轴，过点O与BC平行的直线为y轴， 建立如图所
24、示空间直角坐标系，则( 3, 2,0),( 3,2,0),(3,0,0),(0,0,3 2)BCDA 所以( 3,0,3 2),(2 3,2,0),(2 3, 2,0)DADCDB 设平面ACD的法向量为( , , )ma b c ，则 33 20 2 320 m DAac m DCab ，可取( 6, 3 2, 1)m ， 设平面ABD的法向量为( , , )nx y z ，则 33 20 2 320 n DAxz n DBxy ，可取( 6,3 2, 1)n 10 分 由图易知二面角CADB为锐二面角，设其大小为， 则 11 cos 25 m n mn 故二面角CADB的余弦值为 11 2
25、5 12 分 A B C D E O x y z A B D E O F C 解法二：易求得21AEAD，5ABAC，又4BDCD，AD为公共边， 所以ABDACD过点C作CFAD于F，连接BF，则BFAD，所以BFC是二面角 CADB的平面角9 分 在ACD中，由余弦定理得 25 16211 cos 402 ACD ，所以60ACD 由 11 sin60 22 AC CDAD CF ，得 131 5 421 222 CF ，得 10 7 7 CF ， 所以 10 7 7 BF 10 分 在BCF中， 10 7 4, 7 BCCFBF，由余弦定理得 100100 16 11 77 cos 10
26、0 25 2 7 BFC 故二面角CADB的余弦值为 11 25 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图，已知点(1,0)N，点,E F均在圆 22 (1)16xy上，且0EF EN ，过点N作MF的平行线分 别交,ME EF于点,P Q （1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹为曲线C，过点M作斜率为 1 k的直线 1 l交曲线C于,A B两点，过点N作斜率为 2 k的 直线 2 l交曲线C于,G H两点，且 12 1k k ，求证： 11 ABGH 是定值 OMN E F P Q x y 20解析： （1）由/NPMF，得MFENQE 由MEMF，得MFEMEQ ， 所以NQE
27、MEQ ，由0EF EN ，知90QEN，所以PNEPEN ，即PNPE， 所以4PMPNPMPEME，且24MN ， 所以点P的轨迹是以,M N为焦点的椭圆3 分 这里24, 22ac，所以 2 2,1,3acb，故点P的轨迹方程为 22 1 43 xy 5 分 （2）设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，由题意得直线 11 :(1)lyk x，代入 22 34120xy，得 2222 111 (43)84120kxk xk，所以 22 11 1212 22 11 8412 , 4343 kk xxx x kk ，7 分 所以 2 2 1222 1 112121 22 11 12
28、 112(1) 1()41 4343 kk ABkxxx xk kk 同理， 2 2 2 2 12(1) 43 k GH k 10 分 因为 12 1k k ，所以 222222 121221 2222 1212 4343(43)(1)(43)(1)111 12(1)12(1)12(1)(1) kkkkkk ABGHkkkk 2222222222 1122221112 222222 121212 434343437714117 12112212 kk kkkk kkkk kkk kkk 为定值12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )ln(1)2()Rf xxaxxa （1
29、）讨论( )f x的单调性； （2）若对任意的10x ，都有( )(2)f xax，求a的取值范围 21解析： （1）由题意知，( )f x的定义域是( 1,) ， 2 22 ( )22 11 axa fxx xx 1 分 当2a时，( )0fx，所以( )f x在( 1,) 上单调递增2 分 当2a 时，方程 2 220xa的两根分别为 1212 1,1, 22 aa xxxx ， 若02a，则11 2 a ，令( )0fx，得11 2 a x 或1 2 a x ， 令( )0fx，得11 22 aa x；4 分 若0a，则111 22 aa ， 令( )0fx，得1 2 a x ，令( )
30、0fx，得11 2 a x 5 分 综上，当2a时， ( )f x在( 1,) 上单调递增； 当02a时，( )f x在1,1,1, 22 aa 上单调递增，在1, 1 22 aa 上单调递减； 当0a时，( )f x在1, 1 2 a 上单调递减，在1, 2 a 上单调递增6 分 （2）令 2 ( )( )(2)ln(1)g xf xaxxaxax，因为对任意的10x ，( )(2)f xax恒成 立，所以对任意的10x ，( )0g x 恒成立7 分 2 21 2(2)2 (1)2 ( )2 1111 a x x axa xx xax g xxa xxxx ，8 分 当2a时，20a，又1
31、0x ，所以(2)0a x，所以( )0,( )g xg x在( 1,0)上是增函数， ( )(0)0g xg，符合题意9 分 当0a时，因为10x ，所以0, 2 (1)0axx x，于是 2 (1) ( )0 1 x xax g x x ， ( )g x在( 1,0)上是减函数，( )(0)0g xg，不符合题意10 分 当02a时，011 2 a ，令 21 2 ( )0 1 a x x g x x ，得10,( ) 2 a xg x 在1,0 2 a 上 是减函数，所以当10 2 a x 时，( )(0)0g xg，不符合题意11 分 综上，a的取值范围是2,)12 分 （二）选考题：
32、共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 31 22 xt ymt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin 6 （1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C相切，求m的值 22解析： （1）直线l的普通方程为230xym，2 分 由4sin 6 ，得2cos2 3sin，即 2 2cos2 3 sin， 由 222, cos,sinxyxy，得 22 22 3xyxy，
33、所以圆C的直角坐标方程为 22 (1)(3)4xy5 分 （2）因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离 233 2 5 m d ，所以22 5m， 所以22 5m ，所以m的值为22 5 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )1f xax （1）当1a 时，解不等式( )21f xx； （2）若(1),(2)fMfM，求证： 1 3 M 23解析： （1）当1a 时，不等式( )21f xx即121xx， 当1x时，121,2xxx，所以1x； 当1x 时，121,0xxx，所以01x 因此，所求不等式的解集为0,)5 分 （2）由(1),(2)fMfM，得1, 1 2aMaM， 33211 2221 2(22 )(1 2 )1MMMaaaaaa， 当且仅当1,1 2 ,(22 )(1 2 )0Ma Maaa，即 2 3 a 时，等号成立，故 1 3 M （10 分）
