1、济南市 2019 届高三年级学习质量评估 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 |1, 1,0,1Ax xB ，则AB （ ） A1 B 1,1 C 1,0,1 D |1x x 1答案：B 解析： 2 |1(, 11,), 1,0,1Ax xB ，所以 1,1AB 2已知复数z满足i2zz （其中i为虚数单位） ，则z （ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 2答案：A 解析：由i2zz ，得 22(1
2、 i) 1 i 1 i(1 i)(1 i) z ，所以1 iz 3已知命题p：关于m的不等式 2 log1m 的解集为|2m m ；命题q：函数 32 ( )1f xxx有极 值下列命题为真命题的是（ ） Apq B()pq C()pq D()()pq 3答案：C 解析：由 2 log1m ，得02m，故命题p为假命题； 2 ( )32fxxx，令( )0fx得 2 3 x 或 0x ，所以( )f x在 2 , 3 和(0,)上单调递增，在 2 ,0 3 上单调递减，故( )f x有极值，所以命 题q为真命题所以()pq为真命题 4如图，在ABC中，90 ,2,3CBCAC，三角形内的空白部
3、分是由三个半径均为 1 的扇形 构成，向ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ） A 6 B1 6 C 4 D1 4 4答案：B 解析：三个空白部分的面积之和为一个半径为 1 的圆的面积的一半，即 2 ，ABC的面积为 3，故所求 概率为 2 11 36 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A5 B16 3 C6 D8 5答案：C 解析：该几何体是以左视图为底面的五棱柱，高为 2，底面积为 1 2 12 13 2 ，故其体积为3 26 6若将函数( )cos 2 12 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度，得到函数( )g x的图象，则下列说法正 确的是（
4、） A( )g x的最小正周期为4 B( )g x在区间0, 2 上单调递减 C( )g x图象的一条对称轴为 12 x D( )g x图象的一个对称中心为 7 ,0 12 6答案：D 解析：( )cos 2cos 2,( ) 8123 g xxxg x 的最小正周期为，选项 A 错误； 当0, 2 x 时， 4 2, 333 x ，故( )g x在0, 2 上有增有减，选项 B 错误； cos0 122 g ，故 12 x 不是( )g x图象的一条对称轴，选项 C 错误； 73 cos0 122 g ，所以( )g x的图象关于点 7 ,0 12 对称，选项 D 正确 7函数 2 ln 8
5、 x yx的图象大致为（ ） 7答案：D 解析：令 2 ( )ln 8 x f xyx，则()( )fxf x，故函数为偶函数，排除选项 B； 当0x 且0x 时，y ，排除选项 A，当2 2x 时，1 ln2 21 ln0ye ，排除选项 C， 故选 D 8古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切圆锥得到圆锥曲线的方法如 图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合） ，已知两个圆锥的底面半径均为 1，母线长均为 2， 记过圆锥轴的平面ABCD为平面（与两个圆锥侧面的交线为,AC BD） ，用平行于的平面截圆锥， 该平面与两个圆锥的面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两
6、条渐近线平行于,AC BD，则双曲线 的离心率为（ ） A 2 3 3 B2 C3 D2 8答案：A 解析：设与平面平行的平面为，以,AC BD的交点在平面内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平 面内的射影为x轴，在平面内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系根据题意可设双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 由题意可得双曲线的渐近线方程为 3 3 yx ，即 3 3 b a ， 所以离心率 2 2 3 1 3 cb e aa 9已知 1 202 2 aba bcabdc ，则d 的取值范围是（ ） A0,2 2 B0,2 C0,2 D0,1 9答案：A 解析：不妨令(2,0),
7、(0,2)ab ，则(1,1)c 设( , )dx y ，则 2 22 (1)(1)2dcxy ，所 以点( , )x y在以(1,1)为圆心、2为半径的圆上，d 表示点( , )x y到坐标原点的距离，故d 的取值范围 为0,2 2 10执行如图所示的程序框图，若输入的, ,a b c依次为 sincossin (sin),(sin), (cos) ，其中 , 4 2 ，则输出的x为（ ） A cos (cos) B sin (sin) C cos (sin) D sin (cos) 10答案：C 解析：该程序框图的功能是输出, ,a b c中的最大者当, 4 2 时，0cossin1， 由
8、指数函数( )(cos)xf x单调递减可得(sin)(cos)ff，即 sincos (cos)(cos) ； 由幂函数 cos ( )g xx 单调递增可得(cos)(sin)gg，即 coscos (cos)(sin) 由指数函数( )(sin)xh x单调递减可得(sin)(cos)hh，即 sincos (sin)(sin) 所以, ,a b c中的最大者为 cos (sin) ，故输出的x为 cos (sin) 11过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作直线l，交抛物线于点,M N，交抛物线的准线于点P，若 2PMPN ，则直线l的斜率为 （ ） A2 B2 C2 2 D4 1
9、1答案：C 解析：如图，设点M在第一象限，分别过,M N作抛物线准线的垂线，垂足为,MN，由2PMPN ， 得N为MP的中点设NNt ，则2MMt ， 根据抛物线的定义，3MNMFNFMMNNt，所以6MPt，在RtPMM中， 4 2PMt ，所以tan2 2PMM，即直线l的斜率为2 2当点N在第一象限时可得直线l的斜 率为2 2综上，直线l的斜率为2 2 12已知函数 2 1,0 ( ) ,0 x xx f x ex ，若对任意 1,1x ，不等式 2 (12 )42 ()afa xaf x 恒 成立，其中0a ，则a的取值范围是（ ） A 1 0, 3 B 1 , 2 C 3 , 7 D
10、 1 3 , 3 7 12答案：B 解析： 2 0x ，当 2 0x 时， 2 ()1f x，当 2 0x 时， 2 2 () x f xe，所以 2 2 () x f xe， 因为0a ，所以 2 22 ()() ax f xef ax ， 所以对任意 1,1x ，不等式 2 (12 )42 ()afa xaf x恒成立， 即对任意 1,1x ， 2 (12 )42()fa xaf ax恒成立 易知( )f x在(,) 上单调递减，所以对任意 1,1x ， 2 (1 2 )42a xaax恒成立， 令 2 ( )(12 )42(1 2 )(2), ( )g xa xaa xh xax，则函数
11、( )g x的图象是过点( 2,0)的直线， ( )h x的图象是顶点在坐标原点，开口向上的抛物线，若 2 (1 2 )42a xaax在 1,1上恒成立，则 420a，即 1 2 a，故a的取值范围是 1 , 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13在 6 2 1 x x 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 13答案：15 解析： 6 2 1 x x 展开式中的常数项为 4 422 6 1 ()15Cx x 14若实数, x y满足约束条件 0 343 0 x xy y ，则43zxy的最大值为 14答案：4 解析：作可行域为如图所示的OA
12、B， 其中 3 (1,0),0, 4 AB ，则 max 9 4,4 4 ABA zzzz 15我国物权法规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光 和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为 45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼 间距不小于 52 m若该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼 O x y A B 楼顶的仰角和楼底的俯角之和为 45，则该小区的住宅楼楼间距实际为 m 15答案：54 解析： 如图， 设两住宅楼楼间距实际为mx 根据题意可得 27452718 tan, tanDCADCB xx
13、x ， 又45DCADCB，所以 2718 tan()1 27 18 1 xx DCADCB xx ，整理得 2 4527 180xx， 解得54x 或9x （舍去） 所以该小区的住宅楼楼间距实际为54 m A B CD 16已知球O的半径为 3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为 1 V，内接正四棱锥的体积最大值为 2 V，则 1 2 V V 的值为 16答案： 3 3 8 解析：设内接正三棱锥底面外接圆的半径为 1 r，高为 1 h，则 22 11 (3)9hr，即 22 111 6rhh， 正三棱锥的体积 2 232 11 1111111 11333 ( )3(6) 33444 V hS
14、hrhr hhh， 2 111 3 ( )( 312 ) 4 V hhh，令 1 ( )0V h，得 1 4h ，易得 1max (4)8 3VVV 设内接正四棱锥底面外接圆的半径为 2 r，高为 2 h，则 22 22 (3)9hr，即 22 222 6rhh， 正四棱锥的体积 2 232 02222222 122 ()2(6) 333 V hrhr hhh， 2 0222 2 ()( 312) 3 V hhh， 令 02 ()0V h，得 2 4h ，易得 20 64 (4) 3 VV，所以 1 2 8 33 3 64 8 3 V V 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或
15、演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是递增的等差数列，满足 234 15aaa， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n S 17解析： （1）设数列 n a的公差为d，由 234 15aaa，得 3 5a ， 由 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，得 2 215 aa a，所以 2 (5)(52 )(52 )ddd，解得0d 或2d 因为数列
16、n a为递增数列，所以2d 所以21 n an6 分 （2） 1 111 (21)(21)111 (21)(21)2(21)(21)2 2121 n nn nn b a annnnnn ， 所以 11111111 11 2335212122121 n n S nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，E为AD的中点，AC交BE 于点F，G为PCD的重心 （1）求证：/FG平面PAD； （2）若PAPD，点H在线段PD上，且2PHHD，求二面角HFGC的余弦值 P A B C D F E G H 18解析： （1）因
17、为/AEBC，所以AEFCBF，因为E为AD的中点，所以2AEADBC， 所以2CFAF 如图，延长CG，交PD于M，连接AM，因为G为PCD的重心，所以M为PD的中点，且 2CGGM，所以/FGAM， 因为AM 平面PAD，FG 平面PAD，所以/FG平面PAD6 分 （2）以A为坐标原点，分别以,AB AD AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角 坐标系 设3PAAD， 则(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(1,1,0)CDPF 因为2PHHD， 所以(0,2,1)H 因为G为PCD的重心，所以(1,2,1)G(2,2,0),(0,1,1),( 1,1,1)
18、FCFGFH ， 设平面FGC的法向量为 1111 ( ,)nx y z ， 则 111 111 220 0 n FCxy n FGyz ，取 1 1x ，则 11 1,1yz ，所以 1 (1, 1,1)n 设平面FGH的法向量为 2222 (,)nxyz ， 则 2222 22 0 0 nFHxyz n FGyz ，取 2 1y ，则 22 0,1xz ，所以 2 (0,1, 1)n 所以 12 12 12 6 cos, 3 n n n n nn 由图可知，该二面角为钝角， 所以二面角HFGC的余弦值为 6 3 12 分 P A B C D F E G H x y z P A B C D
19、F E G H M 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，右焦点为F，且该椭圆过点 3 1, 2 （1）求椭圆C的方程； （2）当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线 4 3 3 x 相交于点B时，求证：FAB为直角三角形 19解析： （1）由题意得 22 313 ,1 24 c aab ，又 222 abc，所以 22 1,4ba，即椭圆C的方程 为 2 2 1 4 x y4 分 （2）由题意可得直线l的斜率存在，设: l ykxm，联立得 2 2 1 4 ykxm x y ， 得 222 (41)8440kxkmxm，
20、判别式 2222 6416(41)(1)0k mkm ，得 22 41mk6 分 设 11 ( ,)A x y，则 2 111 22 88441 , 2(41)2 kmkmkk xykxmm kmmmm ，即 41 , k A m m 易得 4 3 4 3 ,( 3,0) 33 BkmF ，则 413 4 3 3, 33 k FAFBkm mm ， 3414 34 34 3 3110 3333 kkk FA FBkm mmmm ， 11 分 所以FAFB ，即FAB为直角三角形，得证12 分 A F O B 20 （本小题满分 12 分） 某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽
21、取 200 盒作为样本，测量产品的一项质量指 标值，该指标值越高越好由测量结果得到如下频率分布直方图： （1）求 a，并试估计这 200 盒产品的该项指标值的平均值 （2）由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布 2 ( ,10 )N， 计算该产品该项指标值落在(180,220上的概率； 国家有关部门固定每盒产品该项指标值不低于 150 均为合格， 且按该项指标值从低到高依次分为： 合格、 优良、优秀三个等级，其中(180,220为优良，不高于 180 为合格，高于 220 为优秀，在的条件下，设 该公司生产该产品 1 万盒的成本为 15 万元，市场上各等级每盒
22、该产品的售价（单位：元）如表，求该公 司每万盒的平均利润 等级 合格 优良 优秀 售价 10 20 30 附：若 2 ( ,)N ，则()0.6827,(22 )0.9545PP 20解析： （1）由10 (2 0.0020.0080.0090.0220.024)1a，解得0.033a ，2 分 则平均值 0.02 1700.09 1800.22 1900.33 2000.24 2100.08 2000.02 230200x ， 即这 200 盒产品的该项指标值的平均值为 2005 分 （2）由题意可得200,10x， 则(22 )(180220)0.9545PP8 分 设每盒该产品的售价为X
23、元，由可得X的分布列为 X 10 20 30 P 0.02275 0.9545 0.02275 则每盒该产品的平均售价为()10 0.0227520 0.954530 0.0227520E X 元， 故每万盒的平均利润为20 155（万元） 12 分 21 （本小题满分 12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 xx f xeaeax （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 21 （1） 2 ( )(1)(1)() xxxx fxeaeaeea， （i）若0a， 当(,0)x 时，( )0,( )fxf x单调递减；当(0,)x时，( )0,( )
24、fxf x单调递增 （ii）当0a 时，令( )0fx，则 12 0,lnxxa， 若1a ，则 12, ( )0xxfx恒成立，( )f x在(,) 上单调递增 若01a，则 12 xx，当(,ln )xa 时，( )0,( )fxf x单调递增； 当(ln ,0)xa时，( )0,( )fxf x单调递减；当(0,)x时，( )0,( )fxf x单调递增 若1a ，则 12 xx，当(,0)x 时，( )0,( )fxf x单调递增； 当(0,ln )xa时，( )0,( )fxf x单调递减；当(ln ,)xa时，( )0,( )fxf x单调递增 综上所述，当a0 0时，( )f x
25、在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(,) 上单调递增； 当01a时，( )f x在(,ln )a上单调递增，在(ln ,0)a上单调递减，在(0,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(,0)上单调递增，在(0,ln )a上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增5 分 （2） （i）当0a 时， 2 11 ( )1 22 xxxx f xeeee ，令( )0f x ，得ln2x ，此时只有一个零点， 不合题意 （ii）当0a 时，由（1）可知，( )f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，若( )f x有两个零 点，则 1 (0)0 2 f
26、a ，即 1 2 a 注意到 22 111 (1)(1)(1)(1)0 222 feaaeeeaeeae ， 所以当(0,1)x时，( )f x有一个零点 当0x 时， 1 ( )1()(1) 2 xxx f xaxeeaaxax eaxa ， 取 0 1 10x a ，则 0 ()0f x，所以当 0 (,0)xx时，( )f x有一个零点 所以当 1 0 2 a时，( )f x有两个零点，符合题意 （iii）当1a 时，( )f x在(,) 上单调递增，不可能有两个零点，不合题意 （iv）当01a时，( )f x在(,ln )a上单调递增，在(ln ,0)a上单调递减，在(0,)上单调递增
27、 2lnln22 111 (ln )(1)lnlnln1 222 aa faeaeaaaaaaaaaa ， 因为 1 ln10 2 aa ，所以(ln )0fa ，此时( )f x最多有一个零点，不合题意 （v）当1a 时，( )f x在(,0)上单调递增，在(0,ln )a上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增 因为 1 (0)0 2 fa ，所以此时( )f x最多有一个零点，不合题意 综上所述，若( )f x有两个零点，则a的取值范围是 1 ,0 2 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与
28、参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标 方程为 2 cossin，直线l的参数方程为 3 2 1 2 xt yat （t为参数） ，其中0a ，直线l与曲线C相交 于,M N两点 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若点(0, )Pa满足 11 4 PMPN ，求a的值 22解析： （1）由 2 cossin，得 22 cossin，由cos ,sinxy，得曲线C的直 角坐标方程为 2 yx4 分 （2）将直线l的参数方程 3 2 1 2 xt yat （t为参数）代入 2 yx，得 2 311 0
29、,30 424 ttaa 设,M N对应的参数分别为 12 ,t t，则 121 2 24 , 33 a ttt t ， 所以 2 12121 2 1 21 2 44 4 ()49311 4 4 3 a PMPNttttt t aPMPNPMPNt tt t 化简得： 2 641210aa ，解得 1 4 a 或 1 16 a （舍去） ，所以 1 4 a 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )33f xxxa （1）当2a 时，求不等式( )4f x 的解集； （2）若( )34f xx对任意的( 1,)x 恒成立，求a的取值范围 23解析： （
30、1）当2a 时，( )332f xxx，即 41,1 ( )25,12 41,2 xx f xxx xx ， 当1x时，不等式( )4f x 即414x ，解得 5 4 x ，所以 5 4 x ； 当12x 时，不等式( )4f x 即254x，解得 1 2 x ，所以 1 2 2 x； 当2x时，不等式( )4f x 即414x ，解得 3 4 x ，所以2x 所以不等式( )4f x 的解集为 51 , 42 5 分 （2）由题意知，当1x 时，( )3334f xxxax 恒成立，即1xa在( 1,)x 上恒 成立作出函数yxa的图象，由图易知， 1 11 a a ，解得2a 所以a的取值范围为(, 2 10 分 1 -1 O a
