1、湖南省四校 2019 届高三摸底调研联考试题 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信1,4;3,8;5,16SaSaSaSa ； 11,32;21,64SaSa 此时退出循环，所以判断框中可以填“64?a ” ，故选 A 8已知函数( )2sin() (0, 0)f xx的部分图象如图所示，则, 的值分别是（ ） A 3 1, 4 B2, 4 C 3 , 4 D2 , 4 8答案：C 解析： 51 22 44 T ，所以 2 T ，当 1 4 x 时， 3 , 44 x 9 在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 异面直线 1 AC与 1 BB所成的角为30， 则 1
2、AA （ ） A3 B3 C5 D6 9答案：D 解析：如图，连接 11 AC，由长方体的性质知 11 /BBAA，即 1 A AC 即为异面直线 1 AC与 1 BB所成的角， 所以 1 30A AC 11 2AC ， 11 1 11 2 6 tantan30 AC AA A AC AB C D D1 C1 B1 10ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 sin 1 sinsin Ab BCac ，则C （ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 10答案：B 解析：由 sin 1 sinsin Ab BCac 及正弦定理可得1 ab bcac ，整理可得 222
3、 abcab由余弦 定理知 222 1 cos 22 abc C ab ，又(0, )C，所以 3 C 11已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的 中点，则FN （ ） A4 B6 C8 D10 11答案：B 解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线:2l x 与x轴交于点K，做MBl于点B， NAl于点A， 则2,4ANFK， 在直角梯形ANFK中， 由中位线定理， 知3 2 ANFK BM ， 由抛物线的定义知3MFMB，所以3MNMF，6FNFMMN B A K M N F O 12已知函数 2 ( )f xax（ 1 ,xe
4、 e e 为自然对数的底数）与( )2lng xx的图象上存在关于x轴 对称的点，则实数a的取值范围是（ ） A 2 1 1,2 e B 2 1,2e C 2 2 1 2,2e e D 2 2,)e 12答案：B 解析：由条件知，方程 2 2lnaxx ，即 2 2lnaxx在 1 ,e e 上有解设 2 ( )2lnh xxx，则 22(1)(1) ( )2 xx h xx xx 当 1 ,1x e 时，( )0, ( )h xh x单调递减；当(1, )xe时， ( )0, ( )h xh x单调递增，所以 min ( )(1)1h xh又 2 2 11 2, ( )2hh ee ee ，
5、所以 1 ( )h eh e ， 所以 2 2lnaxx在 1 ,e e 上有解等价于 2 12ae ，所以实数a的取值范围是 2 1,2e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知向量(1,1)( 3,2)ab ，若向量2kab 与a 垂直，则实数k 13答案：1 解析：2(6,4)kabkk ，又因为 2kaba ， 2640kabakk ，解得1k 14已知实数, x y满足约束条件 20 60 230 xy xy xy ，则23zxy的最小值是 14答案：8 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中( 1, 2),(5,1),(2,4)A
6、BC ，则4,7,8 ABC zzz ， min 8 C zz x y O A B C 15已知定义在R上的奇函数( )f x满足 5 ( )0 2 fxf x ，当 5 0 4 x时，( )2xf xa，则 (16)f 15答案： 1 2 解析：由 5 ( )0 2 fxf x ，得 5 (5)( ) 2 f xfxf x ，所以函数( )f x是以 5 为周期的周期 函数，则(16)(1)ff，又( )f x是奇函数，所以(0)10,1faa ，所以当 5 0 4 x时， ( )21 x f x ，所以 1 ( 1) 2 f ，则 1 (1)( 1) 2 ff ，故 1 (16) 2 f
7、16在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三 角形，若四棱锥SABCD体积的取值范围为 4 3 8 , 33 ，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 16答案： 28 ,20 3 解析：在四棱锥SABCD中，由条件知,ADSA ADSB SAABA，所以AD 平面SAB，所 以是圆柱模型，所以平面SAB 平面ABCD设SAB，则 184 3 8 sin, 3333 SABCDABCD VSSO ，所以 3 sin,1 2 ， 2 , 33 ， 所以 11 cos 22 ，在SAB中，2SAAB，所以2 21 cosSB，所以SAB的外接 圆半
8、径为 2 1 cos 2sinsin SB r 外接球半径 2 1Rr，所以该四棱锥外接球的表面积 22 228 44 (1)41,20 1 cos3 SRr S A O BC D 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T 17解析： （1）22 nn Sa， 11 22(
9、2) nn San ， 得， 11 22 nnnnn SSaaa ， 1 2(2,) nn aann N， 在式中，令1n ，得 1 2a ， 所以数列 n a是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2n n a5 分 （2）由（1）得，2n n bn， 231 2341 1 22 23 2(1) 22 21 22 23 2(1) 22 nn n nn n Tnn Tnn 得， 2311111 222222222(1) 22 nnnnnn n Tnnn ， 1 (1) 22 n n Tn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名销售员都有
10、 1 400 万元的年度销售任务已知这 200 名销售员的销售额都在区间2, 22（单位：百万元）内，现将其分成 5 组，第 1 组、第 2 组、第 3 组、 第 4 组、第 5 组对应的区间分别为2, 6)，6, 10)，10,14)，14,18)，18, 22，并绘制如下的频率分布直方 图 （1）求 a 的值，并计算完成年度任务的人数； （2）用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求这 5 组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的 2 名销 售员在同一组的概率 18解析： （1）(0.02
11、0.080.092 ) 41,0.03aa， 完成年度任务的人数为2 0.03 4 20048 4 分 （2）第 1 组应抽取的人数为0.02 4 252 ，第 2 组应抽取的人数为0.08 4 258 ， 第 3 组应抽取的人数为0.09 4 259 ，第 4 组应抽取的人数为0.03 4 253 ， 第 5 组应抽取的人数为0.03 4 253 8 分 （3） 在（2）中完成年度任务的销售员中，第 4 组有 3 人，第 5 组有 3 人， 从这 6 人中随机选取 2 名， 共有 2 6 15C 个基本事件， 其中 2 名销售员来自同一组的事件数为 22 33 6CC， 所以所求概率 62
12、155 P 12 分 19 （本小题满分 12 分） 如图，正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为 2，D为 1 CC的中点 （1）求证： 1 AB 平面 1 ABD； （2）求锐二面角 1 AADB的余弦值 A B C D A1 B1 C1 19解析： （1）取BC的中点O，连接 1 ,AO BO，ABC为正三角形，AOBC， 在正三棱柱 111 ABCABC中，平面ABC 平面 11 BCC B，平面ABC 平面 11 BCC BBC AO 平面ABC，且AOBC，AO平面 11 BCC B，而BD 平面 11 BCC B，AOBD， 在正方形 11 BCC B中，易证得 11 ,B
13、CDB BOCBDBBO ， 111 90CBDBOBBBOBOB ， 1 BDOB，又 1 AOOBO， BD平面 1 AOB， 1 BDAB，在正方形 11 ABB A中，有 11 ABAB，又 1 BDABB， 1 AB平面 1 ABD6 分 （2）取 1 BC的中点 1 O，连接 1 OO，以O为原点， 1 ,OB OO OA 的方向分别为, ,x y z轴的正方向建立空 间直角坐标系Oxyz，如图所示，则 11 (0,0, 3),( 1,0,0),( 1,2,0),(1,2,0)ACCB， 1 (1,0, 3),(0,2,0)ACCC ，设平面 1 A AD的法向量( , , )nx
14、 y z ， 则 1 30 20 n ACxz n CCy ，令1z ，得3x ，( 3,0, 1)n ， 由（1）知 1 AB 平面 1 ABD， 1 (1,2,3)AB 为平面 1 ABD的一个法向量， 1 1 1 2 36 cos, 42 2 2 n AB n AB nAB ，锐二面角 1 AADB的余弦值为 6 4 12 分 A B C O C1 A1 B1 D O1 x y z 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点是双曲线 2 2 2: 1 3 x Cy的顶点，且椭圆 1 C的上顶点 到双曲线 2 C的渐近线的距离为
15、3 2 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）若直线l与椭圆 1 C相交于不同的两点 12 ,MM，与双曲线 2 C相交于不同的两点 12 ,Q Q，且 12 5OQ OQ （O为坐标原点） ，求 12 M M的取值范围 20解析： （1）由题意可知 2 3a ，椭圆 1 C的上顶点为(0, )b，双曲线 2 C的渐近线方程为30xy， 由点到直线的距离公式得， 33 22 b ，得1b ，所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 3 x y3 分 （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，将其代入 2 2 1 3 x y，消去y并整理得： 222 (1 3)6330kxkmxm，因为直
16、线l与双曲线 2 C相交于不同的两点， 所以 22 222222 1 301 30 364(1 3)( 33)013 kk k mkmmk 设 111222 ( ,),(,)Q x yQ xy，则有 2 1212 22 633 , 1 31 3 kmm xxx x kk 又 22 12121212121212 ()()(1)()5OQ OQx xy yx xkxm kxmkx xkm xxm ， 所以 222222 2 1 (1)( 33)6(1 3)5 1 3 kmk mmk k ，得 22 1 9mk 将ykxm代入 2 2 1 3 x y，消去y并整理得： 222 (1 3)6330kx
17、kmxm， 易知 222222 364(1 3)(33)031k mkmkm ， 由得， 2 1 0 9 k 6 分 设 133244 (,),(,)M xyMxy，则 2 3434 22 633 , 1 31 3 kmm xxx x kk 2222 222 123434 22 22 2 22 364(33)(1 3) 1()41 (1 3) 4(339) 1 (1 3) k mmk M Mkxxx xk k mk k k 8 分 将 22 1 9mk 代入，得 222 2 12 2222 144(1) 112 (1 3)(1 3) kkk M Mk kk ，令 2 1 3tk ，则 4 1,
18、 3 t ， 则 2 22 2 2222 1(1)(1)(2)1212 1115 ,10, 3(1 3)9994872 tkktt k ktttt ， 所以 12 (0, 10M M 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )ln 1 x f xax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当(0,1)x时， 2 4 1 axax x ee x ，求实数a的取值范围 21 （1） 2 22 122 0,11,( ),11 111 xaxa xfxax xxx ，易知( )2fxa 当2a时，( )0,( )fxf x在( 1,1)上单调递增 当2a 时， 22 ( )0
19、11fxx aa ， 2 ( )011fxx a 或 2 11x a ( )f x在 22 1, 1 aa 上单调递减，在 2 1,1 a ， 2 1,1 a 上单调递增5 分 （2）当2a时，由（1）知( )f x在( 1,1)上单调递增， 当(0,1)x时，( )(0)0()f xffx，即 11 ln, ln 11 xx axax xx ， 从而可得1 1 , 11 axax xx ee xx ， 2 114 111 axax xxx ee xxx 当2a 时，由（1）知( )f x在 22 1, 1 aa 上单调递减， 当 2 0, 1x a 时，( )(0)0()f xffx，即 1
20、1 ln, ln 11 xx axax xx ， 从而可得1 1 , 11 axax xx ee xx ， 2 114 111 axax xxx ee xxx ，不合题意，舍去 综上所示，实数a的取值范围为(,212 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程是 3 2 1 2 xtm yt （0,mt为参数） ，曲线C的极坐标方程为2cos （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程
21、； （2）若直线l与x轴交于点P，与曲线C交于不同的两点,A B，且1PAPB，求实数m的值 22 （1）由题意知，直线l的参数方程是 3 2 1 2 xtm yt （0,mt为参数） ，消去参数t，可得直线l的普 通方程是3xym 由2cos， 得 2 2 cos， 222, cos,xyx曲线C的直角坐标方程为 22 2xyx 5 分 （2）把 3 2 1 2 xtm yt 代入 22 2xyx，得 22 ( 33)20tmtmm 则 222 3(21)4(2 )23(1)(3)0mmmmmmmm ，又0m ，03m 设点,A B对应的参数分别为 12 ,t t，则 2 1 2 2t tm
22、m， 2 1 2 ,21PAPBt tmm ，解得12m 或1m 又03,12mm 或1m 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 设函数( )f xxaxa （1）当1a 时，解不等式( )4f x ； （2）若( )6f x 在Rx上恒成立，求实数a的取值范围 23解析： （1）当1a 时，不等式( )4114f xxx， 当1x 时，( )24f xx，得2x； 当11x 时，( )24f x ，原不等式无解； 当1x 时，( )24f xx ，解得2x 综上所述，不等式( )4f x 的解集为(, 22,) 5 分 （2）( )()()2f xxaxaxaxaa，所以26a ，解得3a或3a， 所以实数a的取值范围是(, 33,) 10 分
