1、福建省五校 20182019 学年高三上学期第二次联考 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设i是虚数单位，若复数 i 1 i z ，则复数z的共轭复数z （ ） A 11 i 22 B 1 1i 2 C 1 1i 2 D 11 i 22 1答案：A 解析： ii(1 i)1 i1111 i,i 1 i(1 i)(1 i)22222 zz 2已知集合 2 | 12, |2 AxxBx yxx ，则AB （ ） A | 10xx B | 10xx C |02xx D |02xx 2答案：B 解析：因为函数
2、2 2yxx有意义，所以 22 20,20xxxx，解得20x ， 所以集合 | 20Bxx 又 | 12Axx ，所以 | 10ABxx 3已知 4 cos 45 ，则sin2（ ） A 1 5 B 1 5 C 7 25 D 7 25 3答案：C 解析： 2 167 sin2cos2cos22cos121 2442525 4在区间0,2上随机取一个数x，使 3 sin 22 x 的概率为（ ） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 4答案：A 解析：当0,2x时，0 2 x ，所以 3224 sin 2232333 xxx ， 故由几何概型的知识可知所求概率 42 1 33 23
3、P 5已知m是 3 与 12 的等比中项，则圆锥曲线 22 1 2 xy m 的离心率是（ ） A2 B 6 3 C 2 4 D2 或 6 3 5答案：D 解析：因为m是 3 与 12 的等比中项，所以 2 3 1236m ，解得6m 若6m ，则曲线的方程为 22 1 26 yx ，离心率 26 2 2 e ； 若6m ，则曲线的方程为 22 1 62 xy ，该曲线是椭圆，其离心率 626 36 e 综上，所求离心率是 2 或 6 3 6已知 1 3 31 3 711 log,log 245 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 6答案：D
4、 解析： 313 3 71 log,loglog 5 25 ac，1ca 1 3 1 (0,1) 4 b ，故cab 7执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t ，则输出的n （ ） A5 B6 C7 D8 7答案：C 解析： 111 1,1 224 Smn ，此时St成立； 1111 ,2 2448 Smn，此时St成立； 1111 ,3 48816 Smn， 此时St成立； 1111 ,4 8161632 Smn， 此时St成立； 1111 ,5 16323264 Smn， 此时St成立； 1111 ,6 326464128 Smn， 此时St 成立； 1111 ,7 64128128
5、256 Smn，此时St不成立从而输出的7n 8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A 39 3 3 4 B 45 3 3 4 C 23 2 D 49 4 8答案：A 解析：由三视图知，该几何体为圆锥挖掉 1 4 圆台后剩余部分，其表面积 22 3131(12)339 212 41 223 3 444422 S 9函数 2 ( )ln()ln()f xxexex的图象大致为（ ） 9答案：A 解析：因为 22 ( )()ln()ln()ln()ln()( )f xxexexxexexf x ，所以函数( )f x是偶函数， 排除选项 C，定义域为(, )e e，当xe时，
6、( )f x ，排除 B，D，故选 A 10已知以圆 22 :(1)4Cxy的圆心为焦点的抛物线 1 C与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线 2 2: 8Cxy上任意一点，BM与直线2y 垂直，垂足为M，则BMAB的最大值为（ ） A1 B2 C1 D8 10答案：A 解析：易知抛物线 1 C的焦点为(1,0)，所以抛物线 1 C的方程为 2 4yx由 2 22 4 (1)4 yx xy 及点A位于 第一象限可得点(1,2)A因为抛物线 2 2: 8Cxy的焦点(0,2)F，准线方程为2y ，所以由抛物线的 定义得BMBF如图，在平面直角坐标系中画出抛物线 2 C及相应的图形，可得 BMAB
7、BFABAF（当且仅当,A B F三点共线， 且点B在第一象限时， 不等式取等号） 故 所求最大值为1AF 2 1 4224 (B) A F O B 11已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 1，点M在线段BC上（点M异于,B C两点） ，点N为线 段 1 CC的中点若平面AMN截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围 为（ ） A 1 0, 3 B 1 0, 2 C 2 ,1 3 D 1 ,1 2 11答案：B 解析：易知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，若M为BC的中点，如图 1，则 1 /MNAD，所以此 时截面为四边形
8、1 AMND，所以 1 2 BM 符合题意 若 1 0 2 BM，如图 2，作/BPMN交 1 CC于点P，再作 11 /PQC D交 1 DD于点Q，连接AQ，易知 /MNAQ，所以此时截面为四边形AMNQ，所以 1 0 2 BM符合题意 若 1 1 2 BM，如图 3，作/BPMN交 11 BC于点P，再作 11 /PQC D交 11 AD于点Q，连接AQ，易知 /MNAQ，所以点Q在平面AMN内，设平面AMN与直线 11 C D交于点E，连接,QE NE，则此时截 面为五边形AQENM，显然不符合题意 综上可知， 1 0, 2 BM A B C D A1 B1 C1 D1 P N Q M
9、 A B C D A1 B1 C1 D1 N M A B C D A1 B1 C1 D1 M N P Q E 12设函数( )fx是奇函数( ) ()Rf xx的导函数，当0x 时， 1 ( )ln( )fxxf x x ，则使得 2 (4) ( )0xf x成立的x的取值范围是（ ） A( 2,0)(0,2) B(, 2)(2,) C( 2,0)(2,) D(, 2)(0,2) 12答案：D 解析： 设函数( )( )lng xf xx， 则 1 ( )( )ln( )g xf xxf x x 于是， 当0x 时， 由 1 ( )ln( )fxxf x x 可得( )0g x，所以函数( )
10、g x在(0,)上单调递减 从而，当1x 时，有( )(1)0g xg，即( )ln0f xx ，又ln0x ，所以此时( )0f x ； 当01x时，有( )(1)0g xg，即( )ln0f xx ，又ln0x ，所以此时( )0f x 在题设不等式中取1x ，可得 1 (1)ln1(1) 1 ff ，化简得(1)0f 于是，由上述讨论可知：当0x 时，( )0f x ，故由 2 (4) ( )0xf x，得 2 40x ，结合0x ，解 得02x， 因为( )f x为奇函数，所以当0x 时，( )0f x ，故由 2 (4) ( )0xf x，得 2 40x ，结合0x ， 解得2x 综
11、上，x的取值范围是(, 2)(0,2) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0),1ab ，则2ab 等于 13答案：2 3 解析： 2 2 2 222 2444cos60424 2 1 cos604 112abaa bbaabb ， 所以22 3ab 14已知 5 (1)(1 2 )axx的展开式中， 3 x的系数为20，则实数a 14答案： 3 2 解析：因为 5 (1)(1 2 )axx的展开式中含 3 x的项为 3322 55 ( 2 )( 2 )Cxax Cx，即 3 (4080)ax，所以由 题
12、设得408020a，解得 3 2 a 15在数列 n a中， 1 1 113 , 3(3) nnn an aa a N，且 1 3 n n b a 记 12nn Pbbb， 12nn Sbbb，则 1 3n nn PS 15答案：3 解析：因为 1 1311 (3)3 nnnnn aa aaa ，所以 1 111 3 n nnn b aaa ， 所以 12 1223111 11111111 nn nnn Sbbb aaaaaaaa 因为 1 1 33 n n nn a b aa ，所以 121 12 2311 3333 n nn n nn aaaa Pbbb aaaa 又 1 1 3 a ，故
13、 1 1 1111 3111 33 n nn nn a PS aaaa 16已知函数( ) ()Ryf xx，对函数( ) ()yg xxI，定义( )g x关于( )f x的“对称函数”为 ( ) ()yh xxI，( )yh x满足：对任意xI，两个点( , ( ),( , ( )x h xx g x关于点( ,( )x f x对称 若( )sinh xax 是( )g x关于( )coscos 44 f xxx 的“对称函数” ，且( )g x在, 6 2 上是 减函数，则实数a的取值范围是 16答案：(,2 解析： 11 ( )coscossincossin2cos2 4444222
14、f xxxxxxx ， 所以由题设知对任意xR，两个点( ,sin )xax和( ,( )x g x关于点 1 ,cos2 2 xx 对称， 所以( )sincos2g xaxx，即( )sincos2g xaxx于是，由函数( )g x在, 6 2 上是减函数， 得( )cos2sin20g xaxx，即 2sin2 4sin cos x ax x 在, 6 2 上恒成立 又当, 6 2 x 时，4sin(2,4)x，所以2a故实数a的取值范围是(,2 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，
15、考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且3 cos(23 )cosaCbcA （1）求角A的大小； （2）若2a ，求ABC面积的最大值 17解析： （1）由3 cos(23 )cosaCbcA及正弦定理可得： 3sincos2sincos3sincosACBACA 从而3sin()2sincosACBA，即3sin2sincosBBA4 分 又B为三角形的内角，所以sin0B ，于是 3 cos 2 A ， 又A为三角形的内角，所以 6 A 6 分 （2）由余弦定理 222 2cosabcbc
16、A，得 22 3 4223 2 bcbcbcbc， 所以4(23)bc，所以 1 sin23 2 ABC SbcA ， 故ABC面积的最大值为2312 分 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人去某工地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工其计酬方式有两种， 方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；方式二：雨天每天 120 元，晴天出工每天 200 元三人要选 择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30 天）内的晴天都出工，为此三人做了一些调查，甲以去年此月 的下雨天数（10 天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见 下表）后
17、，乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择 n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 （1）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由 （2）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？ （3）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年此月下雨天数不超过 11 天的概率 18解析： （1）按计酬方式一、二的收入分别记为( )( )f ng n、， (10)250 (30 10)5000,(10)120 10200 (30 10)5200fg，所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的8n ， (8)250 (308)5500,(8
18、)120 8200 (308)5360fg ，所以乙选择计酬方式一； n的平均值为 1 (8 39 1 10 2 12 2 13 1)10 9 ，所以丙选择计酬方式二；6 分 （2）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义9 分 （3）任选一年，此月下雨不超过 11 天的概率为 62 93 ，以此作为概率，则未来三年中恰有两年此月下雨 不超过 11 天的概率为 2 2 3 224 1 339 C 12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
19、 的离心率为 3 2 ，上顶点M到直线340xy的距离为 3 （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线l过点(4, 2)， 且与椭圆C交于,A B两点，l不经过点M， 证明： 直线MA的斜率与直线MB 的斜率之和为定值 19解析： （1）由题意可得， 222 3 2 4 3 2 c e a b abc ，解得 4 2 a b ，所以椭圆C的方程为 22 1 164 xy 4 分 （2） 易知直线l的斜率恒小于 0， 设直线l的方程为2(4)yk x，0k 且1k ， 1122 ( ,),(,)A x yB xy 联立得 22 2(4) 1 164 yk x xy ，得 22 (14)16 (21
20、)64 (1)0kxkkxk k， 则 1212 22 16 (21)64 (1) , 1414 kkk k xxx x kk ， 因为 121221 1212 22(44)(44) MAMB yykxkxkxkx kk xxx x ， 所以 12 12 16 (21) 2(44)2(44)2(21)1 64 (1) MAMB xxkk kkkkkkkk x xk k （为定值） 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图， 是一个半圆柱与多面体 11 ABB AC构成的几何体， 平面ABC与半圆柱的下底面共面， 且ACBC， P为 11 B A上的动点（不与 11 ,BA重合） （1）证
21、明： 1 PA 平面 1 PBB； （2）若四边形 11 ABB A为正方形，且 11 , 4 ACBCPB A ，求二面角 11 PABC的余弦值 A B C A1 P B1 20解析： （1）在半圆柱中， 1 BB 平面 11 PAB，所以 11 BBPA 因为 11 AB是上底面对应圆的直径，所以 11 PAPB 因为 111 PBBBB，所以 1 PA 平面 1 PBB5 分 （2）根据题意，以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，如图所示，设1CB ， 则 11 (0,0,0),(0,1,2),(1,0,2)CAB，所以 11 (0,1,2),(1,0, 2)CACB 平面
22、 11 PAB的一个法向量为 1 (0,0,1)n ，设平面 11 CAB的法向量为 2 ( , , )nx y z ， 则 21 21 20 20 nCAyz nCBxz ，令1z ，则 2 (2,2,1)n ， 所以 12 12 12 15 cos, 515 n n n n nn 由图可知二面角 11 PABC为钝角，所以所求二面角为余弦值为 5 5 12 分 AB C A1 P B1 x y z 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )(21)ln()f xxmxxmR （1）当 1 2 m 时，若函数( )( )(1)lng xf xax恰有一个零点，求a的取值范围； （2
23、）当1x 时， 2 ( )(1)f xm x恒成立，求m的取值范围 21解析： （1）函数( )g x的定义域为(0,) 当 1 2 m 时， 2 ( )lng xaxx，当0a 时， 2 ( )(0)g xxx没有零点，不符合题意； 当0a 时， 由( )0g x ， 得 2 1ln x ax ， 设 2 ln ( ) x h x x ， 则 3 2ln1 ( ) x h x x ， 令( )0h x， 得xe， 当0xe时，( )0, ( )h xh x单调递减；当xe时，( )0,( )h xh x单调递增 所以当xe时，( )h x取得最小值 1 () 2 he e ，且(1)0h，当
24、0x 时，( )h x ； 当x 时，( )0h x ，作出函数( )h x的图象如图所示，根据题意，直线 1 y a 的图象与函数( )h x的 图象有一个交点，所以 1 0 a 或 11 2ae ，所以0a 或2ae 6 分 （1）解法 2：函数( )g x的定义域为(0,) 当 1 2 m 时， 2 ( )lng xaxx，所以 2 2 ( )2 axa g xx xx （i）当0a 时， 2 ( )(0)g xxx没有零点，不符合题意； （ii）当0a 时，( )0g x，所以( )g x在(0,)上单调递增， 取 1 0 a xe ，则 2 11 0 ()10 aa g xg ee
25、，因为(1)1g，所以 0 ()(1)0g xg，此时函数( )g x 恰有一个零点 （iii）当0a 时，令( )0g x，解得 2 a x 当0 2 a x时，( )0g x，所以( )g x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时，( )0g x，所以( )g x在, 2 a 上单调递增 要使函数( )g x恰有一个零点，则ln0 222 aaa ga ，即2ae 综上所述，若函数( )g x恰有一个零点，则0a 或2ae 6 分 （2）令 22 ( )( )(1)(21)lnh xf xm xmxmxx， 根据题意，当(1,)x时，( )0h x 恒成立， 2 12(21)1(
26、1)(21) ( )2(21) mxmxxmx h xmxm xxx ， （i）若 1 0 2 m，则 1 , 2 x m 时，( )0h x恒成立，所以( )h x在 1 , 2m 上是增函数， 且 1 ( ), 2 h xh m ，所以不符合题意； （ii）若 1 2 m，则(1,)x时，( )0h x恒成立，所以( )h x在(1,)上是增函数，且 ( )(1),h xh，所以不符合题意； （iii）若0m，则(1,)x时，恒有( )0h x，故( )h x在(1,)上是减函数，于是( )0h x 对任意 (1,)x都成立的充要条件是(1)0h，即(21)0mm，解得1m，故10m 综上
27、，m的取值范围是 1,012 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 13 1 xt yt （t为参数） 在以原点O为极点，x轴正半 轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos （1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于,P Q两点，求POQ 22解析： （1）由 13 1 xt yt ，得直线l的普通方程为313xy 又cos ,sinxy，所以直线l的极坐标方程为(cos3s
28、in )13 （或2 sin13 6 ） 由2cos，得 2 2 cos，即 22 2xyx， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 20xyx5 分 （2）解法一 设,P Q的极坐标分别为 11 (,) ， 22 (,) ，则 12 POQ， 由 (cos3sin )13 2cos ，消去，得2cos (cos3sin )13 ， 化简得：cos23sin23，即 3 sin 2 62 ， 因为 2 2 ，所以 57 2 666 ，所以2 63 或 2 2 63 ， 即 1 2 12 4 或 1 2 4 12 ，所以 12 6 POQ 10 分 解法二：曲线C是以(1,0)C为圆心，半径1r 的
29、圆，圆心C到直线:3130l xy 的距离 3 2 d ，所以 22 21PQrd，所以CPQ是等边三角形， 3 PCQ ， 而点O是圆上的点，所以 1 26 POQPCQ 10 分 Q P O C 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知( )22f xaxx （1）当2a 时，解不等式( )1f x ； （2）若关于x的不等式4( )4f x 对xR恒成立，求实数a的取值 23解析： （1）当2a 时，( )1f x 即2221xx， 当1x时，(22)(2)1xx，解得5x，所以15x； 当21x 时，(22)(2)1xx，解得 1 3 x，所以 1 1 3 x； 当2x时，(22)(2)1xx，解得3x，所以无解 综上可知，不等式( )1f x 的解集为 1 5 3 xx 5 分 （2）224xax恒成立， 而22(1)xaxa x或22(1)4xaxa x， 故只需(1)4a x或(1)44a x恒成立，1a 或1a a的取值为 1 或110 分
