1、河北省石家庄市 2019 届高三毕业班模拟考试(一) 数学（理）试题（A 卷） 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合 |10,|1AxxBxx RZ，则AB （ ） A | 11xx B |01xx C0,1 D1 1答案：C 解析： |1,1,0, 1, 2,0,1Ax xBAB 2若复数 i 1i z （i为虚数单位），则z z（ ） A 1 i 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 答案：D 2解析： 2 2 2
2、 2 ii1 = 1i2 1i z zz 3已知cos 2cos() 2 ，则tan 4 （ ） A3 B3 C 1 3 D 1 3 3答案：A 解析：由题意结合诱导公式可得： sin sin2cos ,tan2 cos ， 据此有： tantan 21 4 tan3 412 1 1tantan 4 4下列说法中正确的是（ ） A 若数列 n a为常数列，则 n a既是等差数列也是等比数列； B 若函数( )f x为奇函数，则 (0)0f； C 在ABC中，AB是sin sinAB的充要条件； D 若两个变量 , x y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强 4答案：C 解析：逐一考
3、查所给的说法： A 若0 n a ，则数列 n a为常数列，则 n a是等差数列但不是等比数列，该说法错误； B 函数 1 ( )f x x 为奇函数，但是不满足(0)0f，该说法错误； C 由正弦定理可得在ABC中，sinsinABabAB，所以AB是sinsinAB 的充 要条件，该说法正确； D 两个随机变量相关性越强，则相关系数r绝对值越接近于 1，题中说法错误 5已知平面向量a 与b 的夹角为 2 3 ，且1,22bab ，则a （ ） A1 B2 C3 D2 3 5答案：B 解析： 22 2 22 2 2 2444cos4244 3 abaa bbaabbaa ， 则： 2 20a
4、a ，据此可得：2a 6袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸 到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 5 6答案：B 解析：设两个红球为 12 ,R R，两个白球为 12 ,W W， 则第二次摸到的红球的所有可能结果为： 112121122212 ,W R W R R R W R W RR R共 6 种， 其中第一次摸到红球的事件包括： 2112 ,R R R R共 2 种，所以第一次摸到红球的概率为 21 63 P 7设变量 , x y满足约束条件 220 220 2 xy xy y
5、，则目标函数3zxy的最小值为（ ） A8 B6 C4 D3 7答案：C 解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即： 1 3 yxz ，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值， 联立直线方程： 220 2 xy y ，可得点的坐标为：( 2,2)B ， 据此可知目标函数的最小值为： min 323 24zxy 本题选择 C 选项 8已知( )f x是定义在R上的奇函数，且满足 ( )(2)f xfx，当0,1x时，( )41 x f x ，则在 (1,3)上，( )1f x 的解集是（ ） A 3 1
6、 2 ， B 3 5 , 2 2 C 3 ,3 2 D2,3) 8答案：C 解析： 【详解】函数满足，则函数关于直线对称， 结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示： ( )1f x 的解集即函数位于直线1y 下方点的横坐标， 当0,1x时，由4 1 1 x 可得 1 2 x ， 结合( )(2)f xfx可得函数( )f x与 函数1y 交点的横坐标为 3 2 x ， 据此可得：( )1f x 的解集是 3 ,3 2 9已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线交椭圆于 ,A B 两点，且AB的中点为 1 1 2 M ，则椭圆的离心率为（
7、） A 1 2 B 2 2 C 1 4 D 3 2 9答案：B 解析：(,0),(0,), ABFP b FcPbkk c ，由 2 2 OMAB b kk a ，得 2 2 2 bb ca ， 2 2abc ， 22 2,bcbcbc ，不妨设1bc，则 2a ， 2 2 c e a 10已知函数( )2cos( )0, 2 f xx 的部分函数图像如图所示，点 (0, 3),0 6 AB ， 则函数( )f x图像的一条对称轴方程为（ ） A 3 x B 12 x C 18 x D 24 x 10答案：D 解析： 6 62 ，4，( )2sin 4 6 f xx ，令4, 6 xkk Z，
8、 得( )f x的对称轴方程为, 424 k xk Z，当0k 时，可得一条对称轴方程为 24 x 11如图，某几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为（ ） 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 A 1 2 B 5 6 C 1 3 D 2 3 11答案：D 解析：如图所示，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥 111 BABC和三棱锥 1 AABD所得的组合体， A B C D D1 A1 B1 C1 其体积为： 3 112 121 11 323 V 12对任意 2 1 ,me e ，都存在 121212 ,(
9、,)x x x xxxR，使得 12 12 ln xx axeaxemmm，其 中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ） A 2 (,)e B(1,) C 2 (1,)e D(0,1) 12答案：A 解析：令 2 2 1 ( )lnf xxxxxe e ，则( )lnfxx， 据此可得函数在区间 1 ,1 e 上单调递减，在区间 2 (1,)e上单调递增， 注意到 22 12 ,(1)1,()fff ee ee ，故函数的值域为 2 1,e 则原问题等价于方程 2 , 1, x axek ke 至少有两个实数根， 即 2 , 1, x eaxkke 至少有两个实数根，考查临界情况，当
10、2 ke 时，直线 2 yaxe与指数函数 x ye相切，由 x ye可得 x ye ，则切点坐标为( ,) t t e，切线斜率为 t e， 切线方程为：() tt yee xt，切线过点 2 (0,)e，故 2 (0) tt eeet，很明显方程的根为2t ， 此时切线的斜率为 2 e据此可得实数a的取值范围是 2 (,)e 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知随机变量X服从正态分布 (2,1)N，若(2)(23)P XaP Xa，则a _ 13答案：1 解析：由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X ， 结合题意有： (2)(23) 21 2 a
11、a a 14已知双曲线 22 :41C xy，过点(2,0)P的直线与C有唯一公共点，则直线的方程为_ 14答案： 1 1 2 yx或 1 1 2 yx 解析：如图所示，点P位于双曲线 22 41xy内部， P O 由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与C有唯一公共点， 由于双曲线的渐近线为 1 2 yx ， 故直线的方程为 1 (2) 2 yx或 1 (2) 2 yx 即 1 1 2 yx或 1 1 2 yx 15在棱长为 1 的透明密闭的正方形容器 1111 ABCDABC D中，装有容器总体积一半的水 （不计容器壁的 厚度） ，将该正方体容器绕 1 BD旋转，并始终保持 1
12、 BD所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中 水的水面面积的最大值为_ 15答案： 2 解析： 【详解】如图所示，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E在 11 AB上，点F在CD上，满足 1 AECF，则原问题等价于求解四边形 1 BFD E面积的最大值 作 1 EGBD于点G，当EG最大时，四边形 1 BFD E面积有最大值 建立如图所示的空间直角坐标系，设( ,0,1) (01)E mm，设( , , )G x y z， 由于 1 (1,0,0),(0,1,1)BD，由 1 BGBD 可得： (1, , )( 1,1,1)xy z，则： 1x y z ，故(1
13、, , )G ， 故： 1 (1,1),( 1,1,1)GEmBD ， 由 1 110GE BDm 可得： 21 ,1 33 mm 故： 222 2 1221 16(1) 3333 mmm GEmmm ， 结合二次函数的性质可知：当0m 或1m 时，GE取得最大值，此时S取得最大值，最大值为： 1 1 max 2 BDD B SS 16已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 1 19 () 2 nn nn SSn N，若 2 4a ，则 n S取最小值时 n _ 16答案：10 解析：由 22 11 19(1)19(1) 22 nnnn nnnn SSSS ， 两式作差可得： 11 10
14、 (2) nn SSnn ，即 1 10 (2) nn aann ， 由 121 109 nnnn aanaan ，两式作差可得： 2 1 (2) nn aan ， 则 322 8,4aaa ，故 23 4aa ，进一步可得： 4567891011 ,aaaaaaaa， 又 1011 0aa，则 1011 0aa，且 11121213 0aaaa，则 n S取最小值时10n 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知ABC的面积为3 3，且内角A BC、 、依次成等差数列 （1）若sin3sinCA，求边AC的长； （2）设D为边AC的中点
15、，求线段BD长的最小值 17答案：（1）2 7（2）3 解析：（1）ABC三内角ABC、 、依次成等差数列，60B 设ABC、 、所对的边分别为abc、 、，由 1 sin3 3 2 SacB可得12ac sin3sinCA，由正弦定理知3 ,2,6caac ABC中，由余弦定理可得 222 2cos28,2 7bacacBb 即AC的长为2 7 （2）BD是AC边上的中线， 1 2 BDBCBA 222 2222 1111 2(2cos )()(2)9 4444 BDBCBABC BAacacBacacacac ， 当且仅当a c 时取“”，3BD ，即BD长的最小值为 3 18已知三棱锥P
16、ABC中， ,PCABABC是边长为 2 的正三角形，4,60PBPBC （1）证明：平面PAC 平面ABC； （2）设F为棱PA的中点，求二面角PBCF的余弦值 P A B C F 18答案：（1）见解析（2） 2 5 5 解析：（1）证明：在PBC中，60 ,2,4PBCBCPB，由余弦定理可得 2 3PC ， 222, PCBCPBPCBC， 又,PCABABBCB，PC平面ABC， PC 平面PAC，所以平面PAC 平面ABC （2） 在平面ABC中，过点C作CMCA，以,CA CM CP所在的直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐 标系Cxyz，则(0,0,0),(0,0,2
17、3),(2,0,0),(1, 3,0),(1,0, 3)CPABF， 设平面PBC的一个法向量为 111 ( ,)mx y z 则 11 1 30 2 30 m CBxy m CPz ，取 1 1y ，则 11 3,0xz， 即( 3, 1,0)m ， 设平面BCF的一个法向量为 222 (,)nxy z 则 22 22 30 30 n CBxy n CFxz ，取 2 1y ，则 22 3,1xz 即( 3, 1, 1)n ， 42 5 cos, 52 5 m n m n mn 由图可知二面角PBCF为锐角，所以二面角PBCF的余弦值为 2 5 5 19东方商店欲购进某种食品（保质期两天），
18、此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产 的）根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两 天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区 100 天的销售量如下表： P A B C F x y z 销售量（份） 15 16 17 18 天数 20 30 40 10 （视样本频率为概率） （1）根据该产品 100 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 32 或 33 份，哪一种得到的利 润更大？ 19答案：（1）见解析
19、（2）见解析 解析：（1）根据题意可得： 11113312331 (30),(31)2,(32)2, 5525510255510104 11327312211 (33)22,(34)2, 5101052510105550 212111 (35)2,(36) 510251010100 PPP PP PP 的分布列如下： 30 31 32 33 34 35 36 P 1 25 3 25 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 13171121 ( )3031323334353632.8 25254255025100 E （2）当购进 32 份时，利润的期望值为 2131 324(31
20、48)(30 4 16)107.5213.924.16125.6 252525 当购进 33 份时，利润的期望值为 59131 33 4(3248)(31 4 16)(30 424)77.883012.963.84124.68 10042525 125.6124.68，可见，当购进 32 份时，利润更高 20已知抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点 0 (,2)P x到焦点F的距离 0 2PFx （1）求抛物线C的方程； （2）过点P引圆 222 : (3)(02)Mxyrr 的两条切线PAPB、，切线PAPB、与抛物线C 的另一交点分别为AB、，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范
21、围 20答案：（1） 2 4yx（2）见解析 解析：（1）由抛物线定义，得 0 2 p PFx，由题意得： 00 0 2 2 24 0 p xx px p ，解得 0 2 1 p x ， 所以抛物线的方程为 2 4yx （2）由题意知，过P引圆 222 (3)(02)xyrr 的切线斜率存在，设切线PA的方程为 1( 1)2yk x，则圆心M到切线PA的距离 1 2 1 22 1 k dr k ，整理得， 222 11 (4)840rkkr 设切线PB的方程为 2( 1)2ykx，同理可得 222 22 (4)840rkkr 所以， 12 ,k k是方程 222 (4)840rkkr的两根，
22、121 2 2 8 ,1 4 kkk k r 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy由 1 2 (1)2 4 yk x yx 得， 2 11 4480k yyk， 由韦达定理知， 1 1 1 84 2 k y k ，所以 1 12 11 424 242 k yk kk ，同理可得 21 42yk 中点D的横坐标为t，则 2222 121221 (42)(42) 288 xxyykk t 222 12121212 2()2()12()2()3kkkkkkkk 设 12 kk，则 2 8 4, 2) 4r ， 所以， 2 223t ，对称轴 1 2 2 ，所以937t 21已知函数 1(
23、sin1)2 ( )ln,( ), aax f xxg xa xx R （1）求函数( )f x的极小值； （2）求证：当11a 时，( )( )f xg x 21答案：（1）见解析（2）见解析 解析：（1） 22 11(1) ( ), (0) axa fxx xxx 当10a 时，即1a时，( )0fx ，函数( )f x在(0,)上单调递增，无极小值； 当10a 时，即1a 时，当(0,1)xa时，( )0( )fxf x ， 单调递减；当(1,)xa时， ( )0( )fxf x ，单调递增；( )(1)1ln(1)f xf aa 极小 ， 综上所述，当1a时，( )f x无极小值；当1
24、a 时， ( )1ln(1)f xa 极小 （2）令 1(sin1)2lnsin1 ( )( )( )ln, (0) aaxxxax F xf xg xxx xxx 当11a 时，要证：( )( )f xg x，即证( )0F x ，即证lnsin10xxax ， 解法一：要证lnsin10xxax ，即证lnsin1xxax 当01a时，令 ( )sin ,( )1cos0h xxx h xx ，所以( )h x在(0,)单调递增， 故( )(0)h xh，即sinxx1sin1(*)axax ， 令( )ln1,( )lnq xxxxq xx ， 当(0,1)x时，( )0, ( )q x
25、q x 单调递减；(1,)x时，( )0, ( )q xq x 单调递增，故 ( )(1)0q xq，即ln1xxx当且仅当1x 时取等号， 又01,ln11(*)axxxax 由(*)(*)、可知ln11sin1xxxaxax，所以当01a时，lnsin1xxax 当0a 时，即证ln 1xx 令( )ln ,( )ln1m xxx m xx ，( )m x在 1 0 e ，上单调递减，在 1 , e 上单调递增， min 11 ( )1m xm ee ，故ln1xx 当10a时，当 (0,1x时，sin11ax ，由知 1 ( )lnm xxx e ，而 1 1 e ， 故lnsin1xx
26、ax； 当(1,+x）时，sin10ax ，由知( )ln(1)0m xxxm，故lnsin1xxax； 所以，当(0,)x时，lnsin1xxax 综上可知，当11a 时，( )( )f xg x 解法二：当1x 时，易知ln0,sin10xxax ，故lnsin10xxax 6 分 当1x 时，0sin1 10a 显然成立，故lnsin10xxax 7 分 当01x时，sin0x ，故sinsinsinxaxx， 令( )sin(0)h xxx x， 则( )1cos0h xx ， 所以( )h x在(0,)上单调递增， 故( )(0)0h xh ， 即sin(0)xx x，故sin(0)
27、axxx，9 分 只需证( )ln10,( )lnq xxxxq xx ，当(0,1)x时，( )0, ( )q xq x 单调递减，故当01x 时，( )0q x ，故lnsin10xxax 11 分 结合可知，当11a 时，( )( )f xg x12 分 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos2 sin xr yr （为参数），以坐标原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为 3 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）当02r时，若曲线C与射线l交于,A B两点，求 11 OAOB 的取值范围 22答案：（1） 22 4 cos40r（2）见解析
28、 解析：（1）曲线C的普通方程为： 222 (2)xyr，即 222 440xyxr 令cos ,sinxy，化简得 22 4 cos40r； （2）把 3 代入曲线C的极坐标方程中，得 22 240r， 令 2 44(4)0r ，结合02r，得 2 34r ， 方程的解 12 ,分别为点,A B的极径， 2 1212 2,40r ， 12 2 1212 11112 4OAOBr ， 22 34,041rr ， 11 (2,) OAOB 23设函数( )1 3f xxx （1）求不等式( )1f x 的解集； （2）若函数( )f x的最大值为m，正实数 , p q满足 2pqm，求 21 2pq 的最小值 23答案：（1） 3 2 x x （2） 4 3 解析：（1）不等式可化为 3 131 x xx （1 分） 或 31 131 x xx （2 分） 或 1 131 x xx （3 分）， 解得 3 2 x，( )1f x的解集为 3 2 x x 5 分 （2）13(1)(3)4,4,24,(2)26xxxxmpqpq，6 分 211211421424 =(2)2 442= 26262623 qpqp pq pqpqpqpq （8 分） 当且仅当223pq时，即 1 2 3 p q 时，取“ ”， 21 2pq 的最小值为 4 3 10 分
