1、2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学 20194 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数(3 i)(2i)zm在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（ ） A(,1) B 2 , 3 C 2 ,1 3 D 2 ,(1,) 3 1答案：B 解析：(3i)(2i)(32)(1)izmmm对应的点位于第三象限，所以 320 2 103 m m m 2己知集合 8 10 2 Ax x ，则 RA （ ） A |2x x 或6x B |2x x或6x C |2x x 或10x D |2x
2、 x或10x 2答案：D 解析： 8(2)810 10 222 xx xxx ，(10)(2)0xx，解得210x，所以(2,10)A ， |2Ax x R 或10x 3某公司生产,A B C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分 层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少 8 辆，则n （ ） A96 B72 C48 D36 3答案：B 解析：设抽取,A B C三种型号的车的数量分别为2 ,3 , 4xxx，则根据题意可得328,8xxx， 所以234972nxxxx 4执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（ ） A21
3、 B22 C23 D24 4答案：A 解析：1,232,353,58xyzxyzxyz 是是是 5,8138,1321xyzxyz 是是输出21z 5己知点A与点 (1,2)B关于直线30xy对称，则点A的坐标为（ ） A(3,4) B(4,5) C( 4, 3) D( 5, 4) 5答案：D 解析：设 00 (,)A xy，则AB中点 00 12 , 22 xy M 在直线30xy上， 所以 0 000 0 000 00 2 1 105 1 904 12 30 22 AB y k xyx x xyy xy 6从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会
4、实践活动设所选 3 人 中女生人数为，则数学期望E（ ） A 4 5 B1 C 7 5 D2 6答案：B 解析： 2 31 6 E 7已知： 1 sincos 5 ，其中, 2 ，则tan2（ ） A 24 7 B 4 3 C 7 24 D 24 7 7答案：D 解析：由 1 sincos 5 ，其中, 2 ，可得 43sin4 sin, cos,tan 55cos3 ， 2 4 2 2tan243 tan2 16 1tan7 1 9 8过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点F作圆 2 22 9 a xy的切线，切点为E，延长FE交双曲 线右支交于点P，若 2FPFE
5、，则双曲线的离心率为（ ） A 17 3 B 17 6 C 10 5 D 10 2 8答案：A 解析：设右焦点为 2 F，连接 2 PF，由 2FPFE ，可知E为PF的中点，则OE为 2 FPF的中位线，所 以 2 228 2,2 333 PFEOaPFaaa，在 2 RtFPF中， 222 212 PFPFFF， 即 222 644 4 99 aac， 2 222 2 681717 4, 993 c acee a F2 P E F O 9 若曲线 32 22yxx在点A处的切线方程为 46yx ， 且点A在直线10mxny (其中0m， 0n)上，则 12 mn 的最小值为（ ） A4 2
6、 B32 2 C64 2 D8 2 9答案：C 解析：设 32 ( )22f xxx，令 2 ( )344fxxx，得(3 2)(2)0xx ，解得 2 3 x 或2x 又 28822 2 327927 f ，而 226 46 33 ，故 2 3 x 不符合，舍去； (2)24 26f ，所以2x，点A坐标为(2,2)，所以 1 2210, 2 mnmn ， 所以 12122 2()2 32 (32 2)64 2 nm mn mnmnmn 10函数( ) 2sin()0,f xx的部分图像如图所示，先把函数( )yf x图像上各点的横 坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图像向
7、右平移 4 个单位长度，得到函数( )yg x的图 像，则函数( )yg x的图像的一条对称轴为（ ） A 3 4 x B 4 x C 4 x D 3 4 x 10答案：C 解析：由图象可知 1 2 32 7 4 66 ，所以 1 ( )2sin 36 f xx 各点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍，得 2 2sin 36 yx ，再把得到的图像向右平移 4 个单位长度，得 22 ( )2sin2sin 34633 g xxx ，由 2 , 332 xkkZ ， 所以 35 , 24 xkkZ ，当1k 时，得 4 x 11已知点P在直线 210xy 上，点Q在直线230xy上，PQ的中点为
8、 00 (,)M xy，且 00 17yx，则 0 0 y x 的取值范围为（ ） A 12 2, 5 B 2 ,0 5 C 51 , 16 4 D 2 2, 5 11答案：B 解析：( , )M x y在直线210xy 上，所以 00 210xy ， 00 11 22 yx ，由 00 17yx， 得 0 31 17 22 x，解得 0 51x，所以 0 00 112 ,0 225 y xx 12若点( ,0)A t与曲线 x ye上点P的距离的最小值为2 3，则实数t的值为（ ） A ln2 4 3 B ln2 4 2 C ln3 3 3 D ln3 3 2 12答案：D 解析：设( ,)
9、 x P x e，则 2 22222 ()2 xx APextextxt，设 222 ( )2 x f xextxt， 则 2 ( )2220 x fxext，令 ( )0fx ，得 2x etx ，此时 ( )f x取得最小值，所以 2222 ( )2()12 x f xextxttxtx ，显然0tx，所以 3,3txtx ， 又因为 2x tex，所以 2 3 x exx，所以 2 ln3 3, 2ln3, 2 x exx，此时 ln3 33 2 tx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 12 ,ee是夹角为60的两个单位向量，向量 12 2aee，则a
10、13答案：7 解析： 2222 22 2 1211221122 24444cos6042 17aaeeee eeeeee ， 所以7a 14若 5 (1)ax的展开式中 3 x的系数是 80，则实数a的值是 14答案：2 解析： 5 (1)ax的展开式中含 3 x的项为 23233 5( )( 1)10Caxa x ，所以 33 1080,8,2aaa 15秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平 方得积”如果把以上这段文字写成公式就是 2 222 22 1
11、 42 acb Sa c 其中, ,a b c是ABC的 内角, ,A B C的对边若sin2sincosCAB，且 22 ,1,bc成等差数列，则ABC面积S的最大值 为 15答案： 5 5 解析： 因为(),sinsin()sincoscossinCABCABABAB， 又因为sin2sincosCAB，所以sincoscossin0ABAB，即sin()0,ABABab， 因为 22 ,1,bc成等差数列，所以 22 2bc， 所以 2 2224 222242 1115 (2)2 424444 acbc Sa cc ccc 2 2 1544145 4455455 c ，当且仅当 222
12、46 , 55 cab时等号成立故ABC面积 S的最大值为 5 5 16有一个底面半径为R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且 四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为 16答案： 2 2 3 R 解析：要使得四面体在纸盒内可以任意转动，且a最大，则四面体的外接球就是圆锥的内切球，设该球的 半径为r，则 6 4 ra，且 3 3 rR，所以 63 43 aR，解得 2 2 3 aR P A B C O O1 S T E D O F 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须做答第 22、2
13、3 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 己知 n a是递增的等比数列， 2314 4,3aaa a （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn bna，求数列 n b的前n项和 n S 17解法解法 1： （： （1）设等比数列 n a的公比为q，因为 23 4aa， 14 3a a ， 所以 2 11 3 11 4, 3. a qa q a a q 2 分 解得 1 9, 1 , 3 a q 或 1 1 , 3 3. a q 4 分 因为 n a是递增的等比数列，所以 1 1 3 a ，3q 5 分 所以数列 n a的通项公式为 2
14、3n n a 6 分 解法解法 2： （： （1）设等比数列 n a的公比为q，因为 23 4aa， 1423 3a aa a， 所以 2 a， 3 a是方程 2 430xx的两个根2 分 解得 2 3 1, 3, a a 或 2 3 3, 1. a a 4 分 因为 n a是递增的等比数列， 所以 2 1a ， 3 3a ，则3q 5 分 所以数列 n a的通项公式为 2 3n n a 6 分 （2）由（1）知 2 3n n bn 7 分 则 10132 1 32 33 3(1) 33 nn n Snn ， 8 分 在式两边同时乘以3得， 01221 31 32 33 3(1) 33 nn
15、n Snn ， 9 分 -得 10121 233333 nn n Sn ，10 分 即 1 1 1 3 3 23 1 3 n n n Sn ，11 分 所以 1 11 213 412 n n Sn 12 分 18（本小题满分 12 分） 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据， 如下表： x （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 根据上表的数据得到如下的散点图 （1）根据上表中的样本数据及其
16、散点图： （i）求x； （ii）计算样本相关系数（精确到 0. 01），并刻画它们的相关程度 （2）若y关于x的线性回归方程为 1.56ybx，求 b的值（精确到 0.01），并根据回归方程估计年龄 为 50 岁时人体的脂肪含量。 附： 参考数据： 101010 22 111 27,13527.8,23638,7759.6,436.56,293554.18 iiii iii yx yxy 参考公式：相关系数 11 222222 1111 ()() ()() nn iiii ii nnnn iiii iiii xxyyx ynx y r xxyyxnxyny 回归方程 yabx中斜率和截距的最小
17、二乘估计公式分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i xxyy yaybx xx 18解：解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （） 26273941495356586061 47 10 x 2 分 （）r 1 22 22 11 n ii i nn ii ii x ynxy xn xyn y 22 13527.8 10 47 27 23638 10 477759.6 10 27 3 分 13527.8 12690 2363822090 7759.67290 837.8 1548469.6 4 分 8378 6 434 2935 5 分 因为436.56，29355
18、4.18， 所以0.98r 6 分 由样本相关系数0.98r ，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强7 分 （2）因为回归方程为 1.56ybx，即1.56a 所以 27 1.56 0.54 47 ya b x 【或利用 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xn x 837.8 0.54 1548 】10 分 所以y关于x的线性回归方程为0.541.56yx 将50x代入线性回归方程得0.54 50 1.5628.56y 11 分 所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%12 分 19（本小题
19、满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60 ,90BADAPD ，且ADPB （1）求证：平面PAD 平面ABCD； （2）若ADPB，求二面角DPB C的余弦值 P AB CD 19 （1）证明：）证明：取AD中点O，连结OP，OB，BD ， 因为底面ABCD为菱形，60BAD， 所以AD ABBD 因为O为AD的中点， 所以OBAD1 分 在APD中，90APD， O为AD的中点， 所以 1 2 POADAO 设2ADPBa,则 3OBa ，PO OAa ， 因为 222222 34POOBaaaPB ，所以OPOB2 分 【2 分分段另证段另证：在APD中，9
20、0APD ，O为AD的中点，所以 1 2 POADAO 在 BOP和 BOA中，因为PO AO，PBADAB，BOBO，所以 BOP BOA 所以90BOPBOA 所以OP OB 】 因为OP ADO ，OP平面PAD，AD 平面PAD， 所以OB平面PAD3 分 因为OB平面ABCD， 所以平面PAD 平面ABCD4 分 D C BA P O （2）解法）解法 1：因为ADPB，ADOB，OBPBB ， PB 平面POB，OB平面POB， 所以AD 平面POB 所以POAD 由（1）得POOB，ADOB， 所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直 5 分 以O为坐标原点，分别以OA，OB，
21、OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标 系6 分 设2AD ，则(1,0,0)A，( 1,0,0)D ， (0, 3,0)B ，(0,0,1)P，7 分 所以 ( 1,0, 1)PD ， (0, 3, 1)PB ， ( 2,0,0)BCAD ，8 分 设平面PBD的法向量为 111 ( ,)nx y z， 则 11 11 0, 30, n PDxz n PByz 令 1 1y ，则 1 3x ， 1 3z ， 所以(3,1, 3)n 9 分 设平面PBC的法向量为 222 (,)mxy z， 则 2 22 20, 30, m BCx m PByz 令2 1y ，则 2 0x
22、， 2 3z ， 所以(0,1, 3)m 10 分 z y x O P AB C D 设二面角DPB C为，由于为锐角， 所以coscos,m n11 分 42 7 727 所以二面角DPB C的余弦值为 2 7 7 12 分 解法解法 2：因为ADPB，ADOB，OBPBB，PB 平面POB，OB平面POB， 所以AD 平面POB 所以POAD5 分 所以POa，2PDa 过点D作DHPB，H为垂足， 过点H作/HGBC交PC于点G，连接DG，6 分 因为ADPB，/BCAD， 所以BCPB，即HGPB 所以DHG为二面角DPB C的平面角7 分 在等腰BDP中，2BDBPa，2PDa， 根
23、据等面积法可以求得 7 2 DHa8 分 进而可以求得 1 2 PHa， 所以 1 2 HGa， 2 2 PGa9 分 在PDC中，2PDa，2DCa，2 2PCa， 所以 222 3 cos 24 PDPCDC DPC PDPC 在PDG中，2PDa， 2 2 PGa， 3 cos 4 DPC， 所以 2222 2cosDGPDPGPDPGDPGa，即DGa10 分 在DHG中， 7 2 DHa， 1 2 HGa，DGa， 所以 222 cos 2 DHHGDG DHG DHHG 11 分 2 7 7 所以二面角DPB C的余弦值为 2 7 7 12 分 20（本小题满分 12 分） 在平面
24、直角坐标系中，动点M分别与两个定点( 2,0),(2,0)AB的连线的斜率之积为 1 2 (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)设过点( 1,0)的直线与轨迹C交于 ,P Q两点，判断直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆的位置关系， 并说明理由 20解： （解： （1）设动点M的坐标为, x y， 因为 2 MA y k x (2)x ， 2 MB y k x (2)x ，1 分 所以 1 222 MAMB yy kk xx 2 分 整理得 22 1 42 xy 3 分 所以动点M的轨迹C的方程 22 1 42 xy 20xy 或4 分 （2）解法）解法 1：过点( 1,0)的直线为x轴时
25、，显然不合题意5 分 所以可设过点( 1,0)的直线方程为1xmy， 设直线1xmy与轨迹C的交点坐标为 1122 ( ,),(,)P x yQ xy， 由 22 1, 1, 42 xmy xy 得 22 (2)230mymy 6 分 因为 22 ( 2 )12(2)0mm ， 由韦达定理得 1 y 2 y= 2 2 2 m m ， 1 y 2 y= 2 3 2m 7 分 注意到 1 x 2 x= 12 2 4 ()2 2 m yy m 所以PQ的中点坐标为 22 2 , 22 m N mm 8 分 因为 2 12 1PQmyy 2 2 22 212 1 22 m m mm 22 2 2 (1
26、)(46) 2 mm m 9 分 点N到直线 5 2 x 的距离为 2 22 5256 222(2) m d mm 10 分 因为 2 42 2 22 92012 0 44(2) PQmm d m ，11 分 即d 2 PQ ， 所以直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离12 分 解法解法 2：当过点1,0的直线斜率不存在时，直线方程为1x，与 22 1 42 xy 交于 6 1, 2 P 和 6 1, 2 Q 两点，此时直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离5 分 当过点1,0的直线斜率存在时，设其方程为1yk x， 设直线1yk x与轨迹C的交点坐标为P 11 ,x y， 22
27、 ,Q x y， 由 22 1 , 1, 42 yk x xy 得 2222 214240kxk xk6 分 因为 2 2222 44 21 2424160kkkk ， 由韦达定理得 12 xx 2 2 4 21 k k ， 12 x x 2 2 24 21 k k 7 分 注意到 1212 2 2 2 21 k yyk xxk k 所以PQ的中点坐标为 2 22 2 , 21 21 kk N kk 8 分 因为 2 12 1PQkxx 2 2 2 2 22 4 24 4 1 2121 k k k kk 22 2 2164 21 kk k 9 分 点N到直线 5 2 x 的距离为 22 2 2
28、 5265 2212 21 kk d kk 10 分 因为 2 d 2 4 PQ 42 2 2 12209 0 4 21 kk k ，11 分 即d 2 PQ ， 所以直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离12 分 21（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )ln() k f xxk x R （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，求k的取值范围，并证明 12 22xxk 21 （1）解：解：因为 2 ( )ln k f xx x ，函数( )f x的定义域为(0,)， 所以 2 33 122 ( ),0 kxk fxx xxx 1
29、 分 当0k时，( )0fx， 所以函数( )f x在(0,)上单调递增2 分 当0k 时，由( )0fx，得2xk（负根舍去） ， 当(0,2 )xk时，( )0fx，当(2 ,)xk时，( )0fx， 所以函数 f x在(0,2 )k上单调递减；在(2 ,)k上单调递增3 分 综上所述，当0k时，函数( )f x在(0,)上单调递增；当0k 时，函数( )f x在(0,2 )k上单 调递减，在(2 ,)k上单调递增4 分 （2）先先求求k的的取值范围：取值范围： 【方法【方法 1】由（1）知，当0k时，( )f x在(0,)上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件 5 分 当0k 时，函数
30、( )f x在(0,2 )k上单调递减，在(2 ,)k上单调递增， 所以 min 1 ( )2ln2 2 f xfkk， 要使函数( )f x有两个零点，首先 min 1 ( )ln20 2 f xk，解得 1 0 2e k6 分 因为221kk，且(1)0fk ， 下面证明 1 ( 2 )ln( 2 )0 4 fkk k 设 1 ( )ln( 2 ) 4 g kk k ，则 22 1141 ( ) 44 k g k kkk 因为 1 2e k ，所以 222 2 1 1141 e ( )0 444 k g k kkkk 所以( )g k在 1 ,0 2e 上单调递增， 所以2fk 11e (
31、 )ln0 2ee2 g kg 【若考生【若考生书写为：书写为：因为当0x 时， f x ，且 10fk 此处此处不扣分不扣分】 所以k的取值范围是 1 ,0 2e 7 分 【方法【方法 2】由 2 ( )ln0 k f xx x ，得到 2 lnkxx5 分 设 2 lng xxx，则 2ln1g xxx 当 1 2 0ex 时， 0gx，当 1 2 ex 时， 0g x， 所以函数 g x在 1 2 0,e 上单调递减，在 1 2 e, 上单调递增 所以由 min g x 1 2 1 e 2e g 6 分 因为0x 时， 0g x ，且 10g， 要使函数( )f x有两个零点，必有 1
32、0 2e k 所以k的取值范围是 1 ,0 2e 7 分 再再证明证明 12 22xxk： 【方法【方法 1】因为 1 x， 2 x是函数( )f x的两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 21 lnln kk xx xx 8 分 所以 222 11 ln kk t t xx ，即 2 1 2 1 1 ln k x tt ， 1 0 2e k，1t 要证 12 22xxk，即证 2 12 ()8xxk 9 分 即证 22 1(1 )8xtk ，即证 2 2 1 1 (1)8 ln k t
33、k tt 因为 1 0 2e k，所以即证 2 2 1 1 (1)8lntt t ， 或证 2 2 1 8ln1 (1)0tt t 1t 10 分 设 2 2 1 ( )8ln1 (1)h ttt t ，1t 即 2 2 21 ( )8ln2h tttt tt ，1t 所以 222 233 8222(1)2 (1) ( )220 tt t h tt tttt 【用其他方法判断用其他方法判断 0h t均可，均可，如令分子为如令分子为 u t，通过多次求导判断】通过多次求导判断】 所以( )h t在(1,)上单调递减，11 分 所以 2 2 1 ( )8ln1 (1)(1)0, 1h tttht
34、t 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 2】因为 1 x， 2 x是函数( )f x有两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 21 lnln kk xx xx 8 分 所以 222 11 ln kk t t xx ，即 2 1 2 1 1 ln k x tt ， 1 0 2e k，1t 要证 12 22xxk，需证 12 2x xk9 分 即证 2 1 2txk ，即证 2 1 12 ln k tk tt 因为 1 0 2e k，所以即证 1 2lntt t 1t 10 分 设 1 ( )2lnh ttt t ， 则 2 22 121 ( )10 t h t ttt ，1t 所以( )h t在 1, 上单调递减，11 分 所以 1 ( )2lnh ttt t 10h 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 3】因为 1 x， 2 x是函数( )f x有两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1
