1、广东省广东省 2019 届高三六校第一次联考试题届高三六校第一次联考试题 理科数学理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 1 1 Ax x ， |21 x Bx，则 RA B （ ） A 1,0) B( 1,0) C(,0) D(, 1) 1答案：A 解析：由 2 1 1x ，得： 21 10,0 11 x xx ，解得1x或1x ，即(, 1)1,)A ， 则 1,1) RA 由21 x ，得0x ，即(,
2、0)B ，所以 1,0) RA B 2若复数z满足i12iz ，则z的共轭复数的虚部为（ ） A2i Bi C1 D2 2答案：C 解析：由i12iz 可得 2 12i(12i)i 2i ii z ，所以2iz ，故z的共轭复数的虚部为 1 3记 n S为等差数列 n a的前n项和若 54 2SS， 24 8aa，则 5 a （ ） A6 B7 C8 D10 3答案：D 解析：设等差数列 n a的公差为d，由题意，可得 111 11 5102(46 )2 383 adada adadd ， 故 51 42 1210aad 4在区间 ,上随机取两个实数, a b，记向量( ,4 )mab ，(4
3、 , )na b ，则 2 4m n 的 概率为（ ） A 1 8 B 1 4 C 1 2 D 3 1 4 4答案：B 解析：区间 ,上随机取两个实数, a b，则点( , )a b在如图所示的正方形内部及其边界上因为 222 444m nab ，所以 222 ab，满足条件的点( , )a b在以原点为圆心，为半径的圆外部 （含边界），如图中阴影部分所示，所以 2 4m n 的概率 23 2 4 1 44 P O a b 5已知直线l的倾斜角为45，直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右两支分别交于M、 N两点，且 1 MF、 2 NF都垂直于x轴（其中 1
4、 F、 2 F分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心 率为（ ） A3 B5 C51 D 51 2 5答案：D 解析： 由题可知， 22 NFOF， 所以 2 b c a ， 22222 15 ,1,10, 2 baccaac ee eee F1 F2 N M O 6在ABC中，D为AB的中点，点E满足4EBEC ，则ED （ ） A 54 63 ABAC B 45 36 ABAC C 54 63 ABAC D 45 36 ABAC 6答案：A 解析：因为D为AB的中点，点E满足4EBEC ；所以 414154 323263 EDEBBDCBABABACABABAC C D E B A
5、 7某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ） A 3 27 3 cm 2 B 3 9 cm 2 C 3 9 3 cm 2 D 3 27 cm 2 7答案：C 解析：由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥SABCD，其体积 3 1139 (24) 333 (cm ) 3222 V AB C D S 2 4 3 3 3 3 33 2 4 8已知A是函数( )sin 2018cos 2018 63 f xxx 的最大值，若存在实数 12 ,x x使得对任意实 数x总有 12 ()( )()f xf xf x成立，则 12 |A xx的最小值为（ ） A 2018 B 1009
6、C 2 1009 D 4036 8答案：B 解析：( )sin 2018cos 2018sin2018cos 2018 63323 f xxxxx 2cos 2018 3 x ， 故 max ( )2Af x， 1 ()f x是函数( )f x的最小值， 2 ()f x是函数( )f x的最大值， 所以 12min 112 2220182018 xxT ，所以 12 |A xx的最小值为2 20181009 9定义在R上的函数( )f x满足( )(2)f xfx及( )()f xfx ，且在0,1上有 2 ( )f xx，则 1 2019 2 f （ ） A 9 4 B 1 4 C 9 4
7、D 1 4 9答案：D 解析：由( )(2)f xfx可知函数( )f x关于直线1x 对称， 由( )()f xfx 可知函数( )f x关于原点 (0,0)对称，所以函数( )f x是双对称函数，所以是周期函数，周期4T ， 所以 17111 2019 22224 ffff 10抛物线 2 2yx上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为 （ ） A11 8 B 5 4 C 3 2 D1 10答案：A 解析：抛物线的标准方程为 2 1 2 xy，焦点为 1 0, 8 F ，设 112200 ( ,),(,),(,)A x yB xyM xy，则 12 11 ,
8、88 AFyBFy，因为AFBFAB，所以 12 11 4 yy，故 12 0 11 28 yy y ， 当且仅当ABF、 、三点共线时等号成立 11 已知三棱锥PABC中，ABBC，2 2AB ，3BC ，3 2PAPB， 且二面角PABC 的大小为150，则三棱锥PABC外接球的表面积为（ ） A100 B108 C110 D111 11答案：D 解析： 二面角模型，ABC外接圆的圆心为AC中点E， 取AB中点D， 连接,DE PD， 则150PDE， PAB的外接圆的圆心F在PD上，设其半径为r， 22 4PDPAAD，则 22 (4)2rr，解 得 9 4 r ，则 97 , 44 F
9、PFD，过点E作平面ABC的垂线，过点F作平面PAB的垂线，两条垂线的交 点即为外接球的球心O，连接,OF OP，过点F作FGPE于点G，过点D作DHFG于点H， 则 1337 311 311 3 ,2 222884 GHDEBCFHDFFGFHGHOFFG， 设外接球半径为R，则 2222 36381444111 1616164 ROPOFPF， 所以外接球的表面积 2 4111SR A B C E D P F O G HF P AB D HG O P F ED 12 已知数列 n a满足 123 23(21) 3n n aaanan 设 4 n n n b a ， n S为数列 n b的前
10、n项和 若 n S（常数），*Nn，则的最小值是（ ） A 3 2 B 9 4 C 31 12 D 31 18 12答案：C 解析：数列 n na的前n项和(21) 3nn，当1n 时， 1 3a ， 当2n时， 111 (21) 3(23) 3(63)(23) 343 nnnn n nannnnn ， 1 4 3n n a ， 1 3,1 4 3,2 n n n a n ， 1 4 ,1 4 3 ,2 3 n n n n n b na n ，所以 2321 22341 42341 333333 142341 3333333 n nn n nn nn S nn S ， 两式相减，得： 22 2
11、31 11 1 21411114312333 1 39333393182 3 1 3 n n nnnn nnn S , 所以 316931 124 312 n n n S ，所以的最小值是 31 12 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若,x y满足约束条件 250, 350, 250. xy xy xy 则 22 zxy的最大值为 13答案：25 解析： 作可行域为如图所示的ABC， 其中(4,3),(1,2),(3,1)ABC， 22 zxy表示可行域内的点( , )x y 与原点连线的距离的平方，由图可知， 22 zxy在点(4,3)A处取得最大值，最大值
12、为 25 4 3 2 1 1 246 C A B O 14若 0 (2sincos )axx dx ，则 6 a x x 的展开式中常数项为 14答案：240 解析： 0 0 (2sincos )( 2cossin )4axx dxxx ，所以 6 4 x x 的展开式中常数项为 2 44 6 4 ()240Cx x 15已知点( 1, 2)P 及圆 22 (3)(4)4xy，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于 点T，则PQQT的值为 15答案：4 3 解析： 点P关于x轴的对称点为( 1, 2)P ， 如图， 连接,PP P Q， 由对称性可知，P Q与圆相切于点T， 则PQQ
13、T P T 圆 22 (3)(4)4xy的圆心为(3,4)A，半径2r ，连接,APAT，则 2 22 ( 1 3)( 24)52,2APATr ，所以 22 4 3PQQTP TA PAT 6 5 4 3 2 1 1 2 2246 Q T P P A O 16已知函数 32 ( )f xxaxbx满足(1)(1)220fxfx，则( )f x的单调递减区间是 16答案：( 1,3)（注意：写闭区间也给分） 知识点：若( )f x关于点( , )a b对称，则()()2f axf axb； 三次函数都是中心对称图形，其对称中心的横坐标为其导函数的对称轴 解析：由(1)(1)220fxfx，得(
14、1)(1)22fxfx ，所以( )f x关于点(1,11)对称， 由 32 ( )f xxaxbx，得 2 ( )32fxxaxb，所以对称中心的横坐标为1,3 3 a a ， 且(1)211fb ，得9b ， 令 2 ( )3690fxxx，得 2 23(1)(3)0xxxx，解得13x ， 所以( )f x的单调递减区间是( 1,3) 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b
15、，c，且 2222 coscosacbabAaB （1）求角B； （2）若2 7b ， 3 tan 2 C ，求ABC的面积 17解解析析：（1）因为 2222 coscosacbabAaB，由余弦定理，得 2 2coscoscosacBabAaB，所以 2 分 2 coscoscoscBbAaB，由正弦定理，得 2sincossincossincossin()sinCBBAABABC， 4 分 又(0, )C，sin0C ，所以 1 cos 2 B ，(0, )B， 5 分 所以 3 B 6 分 （2）由 3 tan 2 C ，(0, )C，得 21 sin 7 C ， 2 7 cos 7
16、C ， 7 分 所以 3 2 71213 21 sinsin()sincoscossin 272714 ABCBCBC， 8 分 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin2 7 3 21 6 sin143 2 bA a B ， 10 分 所以ABC的面积为 1121 sin6 2 76 3 227 abC 12 分 18（12 分） 如图甲， 设正方形ABCD的边长为 3， 点E、F分别在AB、CD上， 且满足2AEEB，2CFFD 如 图乙， 将直角梯形AEFD沿EF折到 11 A EFD的位置， 使得点 1 A在平面BEFC上的射影G恰好在BC上 （1）证明： 1 /A E平面
17、1 CD F； （2）求平面BEFC与平面 11 A EFD所成二面角的余弦值 A BC D E F 1 A 1 D C BG E F 图甲图乙 R持续里程 (公里) 频率 组距 0150 200 250 300 350 400 450 0.001 0.002 0.003 0.004 0.006 0.005 18解解析析：（1）在图甲中，易知/ /AEDF，从而在图乙中有 11 / /AED F， 1 AE 平面 1 CD F， 1 D F 平面 1 CD F， 1 /A E平面 1 CD F 4 分 （2）法一：（传统几何法）略解如下： 过点G作GHEF于H，连接 1 AH， 易证（略），
18、1 AHG即为所求二面角的平面角， 易求得：110BGAG， 3 10 5 AH ， 2 10 5 GHAGAH， 在 1 RtAGH中， 1 2 cos 3 AHG 12 分 法二：（向量法） 如图，在图乙中作GHEF,垂足为H, 连接 1 AH,由于 1 AG 平面EBCF，则 1 AGEF, EF平面 1 AGH,则 1 EFAH，图甲中有EFAH， 又EFGH，则A、G、H三点共线 设CF的中点为M,则1MF ,可证ABGEMF， 1BGMF，则10AG ， 又由ABGAHE，得 1 6 10 AB AE AHAH AG ， 于是, 4 10 HGAGAH， 在 1 RtAGH中, 2
19、2 11 2AGAHHG， 8 分 作/ /GTBE交EF于点T，则TGGC 以点G为原点,分别以GC、GT、 1 GA所在直线为x、y、z轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)G,( 1,1,0)E , (2,2,0)F , 1(0,0, 2)A ， 则(1,3,0)EF , 1 ( 1,1, 2)EA , 1 GA 是平面BEFC的一个法向量， 易求得平面 11 AEFD的一个法向量(3, 1,2 2)n , 10 分 设平面BEFC与平面 11 AEFD所成二面角为，可以看出，为锐角， 1 2 coscos, 3 n GA ， 所以，平面BEFC与平面 11 AEFD所成
20、二面角的余弦值为 2 3 12 分 19（12 分） 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 R 的行业标准，予以地方财政补贴其补贴 标准如下表： 丙图 出厂续航里程 R/千米 补贴/（万元/辆） 150R250 3 250R0ga ，与题设矛盾，0a 不符合要求； 7 分 若2a，则由（1）可知，( )0g x，( )g x在1,)上单调递减， ( )(1)240g xga ，2a 符合要求； 8 分 若02a，则 0 (1,)x，使得 0 0 ln2x a x ， 且( )g x在 0 (1,)x上单调递增，在 0 (,)x 上单调递减， max0000 ( )()ln(l
21、n4)24g xg xxxax， 9 分 00 ln2xax， max000000 ( )()=(2)(2)24(2)(4)g xg xaxaxaxaxax 由题： max ( )0g x，即 00 (2)(4)0axax， 0 24ax ， 即 2 00 2ln24 1exx 10 分 0 0 ln2x a x ，且由（1）可知 ln2x y x 在(1,)上单调递减， 2 4 2 e a 11 分 综上， 2 4 e a 12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直
22、角坐标系中，将曲线 1 C向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵 坐标缩短为原来的 1 2 ，得到曲线 2 C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 1 C的 极坐标方程为4cos （1）求曲线 2 C的参数方程； （2）已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线 2 C的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值， 并求周长最大时点M的坐标 22解解析析：（1）4cos的普通方程为 22 (2)4xy， 2 分 经过变换后的方程为 2 2 1 4 x y，此即为曲线 2 C的普通方程， 4 分 曲线 2 C的参数方程为 2cos sin x y (
23、为参数). 5 分 （2）设四边形MNPQ的周长为l，设点(2cos ,sin )0 2 M ， 21 8cos4sin4 5cossin4 5sin() 55 l ， 6 分 且 1 cos 5 ， 2 sin 5 ， 7 分 0 2 + 2 sin()sin()1 2 ， max 4 5l 9 分 且当 2 时，l取最大值，此时 2 ， 所以， 4 2cos2sin 5 ， 1 sincos 5 ，此时 4 55 , 55 M . 10 分 23选修 4 5：不等式选讲（10 分） 已知( )22f xxaxa，( )23g xx （1）当1a 时，求不等式( )4f x 的解集； （2）
24、若03a，且当,1 2 a x 时，( )( )f xg x恒成立，求a的取值范围 23解解析析：（1）当1a 时，不等式( )4f x 即为2214xx， 1 分 当 1 2 x 时，不等式化为(2)(21)4xx，解得 1 1 2 x ； 2 分 当 1 2 2 x时，不等式化为(2)(21)4xx，解得 1 1 2 x； 3 分 当2x 时，不等式化为(2)(21)4xx，无解； 4 分 综上，不等式( )4f x 的解集为 | 11xx 5 分 （2）当,1 2 a x 时，( )22f xxaxa， 6 分 ( )( )f xg x即为23xaa， 7 分 而30a，所以323axaa在,1 2 a x 上恒成立， 即333axa，所以，只需 8 分 33 2 a a ，解得 6 7 a ， 9 分 所以a的取值范围为 6 0, 7 10 分
