1、2019 年郑州市高中毕业年级第二次质量预测年郑州市高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若复数 i 2i b 为纯虚数，则实数b等于（ ） A3 B 2 1 C 3 1 D1 1答案：B 解析：设 i i () 2i R b aa ，则i(2i)i2 ibaaa ，所以 12 ba a ，解得 1 2 b 2已知全集RU，)1ln(| 2 xyxA，4| 2 x yyB，则(
2、) R AB （ ） A)01(， B0,1) C(0,1) D( 1,0 2答案：D 解析： 22 |ln(1) |10 | 11Ax yxxxxx ， 2 |4(0,) x By y ， (,0,()( 1,0 RR BAB 3南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知 1220182019)( 20172018 xxxxf，程序框图设计的是求)( 0 xf的值，在M处应填的执行语句 是（ ） Ain 2018 Bin 2019 C1 in D2 in 开始开始 输入输入x0 1,2019in 2019S 1ii SSn M i2018 0 SS x
3、 输出输出S 结束结束 是是 否否 3答案：B 解析： 00000 (20192018)2017)2016)1Sxxxxx，所以第一次执行程序时， 0 20192018Sx，所加上去的n是 2018，结合选项，只能选in 2019 4如图，在曲线（曲线C为正态分布( 2 4)N ，的密度曲线）与x轴围成的区域中随机投掷10000个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） （附附： 2 ( ,)XN ，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX） x O y 2 曲线曲线C A906 B2718 C1359 D3413 4答案：C 解析：因为( 2,4)XN ，所以正态曲线关于直线
4、2x 对称，2,2 所以阴影部分的面积为(02)(2 )PXPX 11 (22 )()0.1359 22 PXPX， 曲线C与x轴所围成的区域的面积 为 1，则向该区域中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值为 0.1359 100001359 1 5将函数xxfsin2)(的图象向左平移 6 个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(xg 的图象，下面四个结论正确的是（ ） A函数)(xg在2 ,上的最大值为1 B将函数)(xg的图象向右平移 6 个单位后得到的图象关于原点对称 C点,0 3 是函数)(xg图象的一个对称中心 D函数)(xg在区间 2 0, 3 上
5、为增函数 5答案：D 解析：将函数xxfsin2)(的图象向左平移 6 个单位，得2sin 6 yx ，然后纵坐标不变，横坐标 变为原来的2倍，得到 1 ( )2sin 26 g xx 选项 A，当 ,2 x时， 127 , 2636 x ，则 113 sin, 2622 x ， 1 ( )2sin 1, 3 26 g xx ，即函数)(xg在2 ,上的最大值为3，选项 A 错误； 选项 B，将函数)(xg的图象向右平移 6 个单位，得 11 2sin2sin 266212 yxx ，不关 于原点对称，选项 B 错误； 选项 C，当 3 x 时， 1 263 x ，所以点,0 3 不是函数)(
6、xg图象的对称中心，选项 C 错误； 选项 D，当 2 0, 3 x 时，1, 266 2 x ，所以函数)(xg在区间 2 0, 3 上为增函数，选项 D 正确 6设变量yx,满足约束条件 2 1 1 y xy xy ，则目标函数 3 1 3 x y z 的最大值为（ ） A 11 1 3 B 3 1 3 C3 D4 6答案：C 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中(1,0),( 1,2),(3,2)ABC，设3txy，则 3,1,11 ABC ttt ，故 min 1 B tt ，所以 1 max 1 3 3 z x y O A BC 7在RtABC中，90C，2CB，4CA，P在边AC
7、的中线BD上，则BPCP的最小值为 （ ） A 2 1 B0 C4 D1 7答案：A 解析：以C为原点建立如图所示坐标系，则(0,0),(4,0),(0,2),(2,0)CABD， 线段BD的方程为2(02)yxx，故可设( , 2) (02)P xxx， 则 2 2 11 ( ,2) ( ,)222 22 CP BPxxxxxxx ，当 1 2 x ，即 1 3 , 2 2 P 时，CP BP 取得最 小值 1 2 x C y A B D P 8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为 （ ） A 2 545 B 2 5135 C5180 D
8、590 8答案：A 解析：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥ABCD，其中底面BCD是等腰直角三角形，侧棱AC 底面BCD，可将其还原成底面边长为3 2，高为 3 的正四棱柱，则正四棱柱的体对角线即为外接球的直 径，即 222 3 5 2(3 2)(3 2)33 5, 2 RR，外接球的体积 3 445 5 32 VR A B C D 9高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯 函数”为：设Rx，用x表示不超过x的最大整数，则xy 称为高斯函数例如：3 1 . 2， 3 1 . 3，已知函数 1 21 32 )( x x xf，则函数)(xfy
9、的值域为（ ） A 1 ,3 2 B2 , 0( C2 , 1 , 0 D3 , 2 , 1 , 0 9答案：C 解析： 111 15 2 2315 22 ( ) 121222(12) x x xxx f x ， 因为 1 2(0,) x ， 所以 1 151 ,3 22(12)2 x ， 所以 ( )yf x的值域为0,1,2 10已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别为 21,F F，若双曲线右支上存在点P使 c a FPF FPF2 sin sin 12 21 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A 2 173 2 173 e B 2 73
10、 2 e C 2 173 1 e D 2 173 2 e 10答案：D 解析：由 12 21 sin2 sin PFFa PF Fc 及正弦定理可得 2 1 2PFa PFc ， 因为点P在双曲线的右支上，则 211 2 2 a PFPFPFa c ，解得 1 2 2 ac PF ca ，又因为 1 PFac， 所以 2 2 ac ac ca ，整理得： 22 320caca，即 2 320ee，解得 317317 22 e ，又 由20ca，得2e ，所以 317 2 2 e ； 11 在ABC中， 已知32AB，62BC，45ABC，D是边AC上的一点， 将ABC沿BD 折叠，得到三棱锥B
11、CDA，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设xBM ， 则x的取值范围是（ ） A)32 , 0( B)6, 3( C)32 ,6( D)62 , 32( 11答案：C 解析： 由余弦定理可得2 3AC ， 所以ABC为等腰直角三角形， 过M作MEBD于点E， 连接 1 AE， 则易证得BD 平面 1 AME，所以 1 BDAE， 设CBD，则 1 45ABDABD ，显然 1 CBDABD ，所以022.5， 1 2 3cos(45) cos(45)2 3cos(45),6(1tan ) coscos BE BEABBM ， 由 2 2tan22.5 tan451 1tan
12、 22.5 ，解得tan22.521 ，因为022.5，所以0tan21， 所以6(1tan )( 6,2 3)BM B C A M D A1 E 解法 2：特值法：当BD为ABC的角平分线时，翻折后 1 A与M重合， 1 2 3BMAB， 当D与C重合时，BCD退化成线段BC，翻折后 1 A的投影为线段BC的中点，此时6BM 12已知抛物线C：xy4 2 的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于BA,两点，且直线l不与 x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点)05( ，T，则 AOB S （ ） A22 B3 C6 D63 12答案：A 解析：(1,0)F，设直线AB的方程为(1)y
13、k x，将其代入抛物线方程， 并整理得： 2222 (24)0k xkxk，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，AB中点 00 (,)M xy， 则 2 1212 2 24 ,1 k xxx x k ， 2 12 0 2 2 2 xxk x k ， 00 2 (1)yk x k ，线段AB的垂直平分线方程 为 2 2 212k yx kkk ，将(5 0)T，代入，得： 2 1,1kk ， 此时 2 12121212 ()44 2yykxxxxx x， 12 1 2 2 2 AOB SOFyy 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13
14、已知等比数列 n a为单调递增数列，设其前n项和为 n S，若2 2 a，7 3 S，则 5 a的值为 13答案：16 解析：设 n a的公比为q，则 21 2 31 2 (1)7 aa q Saqq ，所以 2 2520qq，解得2q 或 1 2 q ，又 因为 n a是单调递增数列，所以2q ， 3 52 16aa q 14已知 4 3 coscos 35 ，则cos 6 14答案： 4 5 解析：coscoscoscos2coscos 3666666 4 3 3cos 65 ，所以 4 cos 65 15二项式 6 3 6 ax 的展开式中 5 x的系数为3，则 dxx a 0 15答案
15、： 2 3 解析：依题意， 555 6 3 33 6 C aa，所以1a ，则 1 3 1 2 0 0 22 33 xdxx 16 已知函数),( 2 1 )( 2 Rbabxaexf x ， 若函数)(xf有两个极值点 21,x x， 且 2 1 2 x x ， 则实数a的 取值范围是 16答案： ln2 0, 2 解析：令( )0 x fxaex，得 x ax e，设( ) x g xx e，则( )(1) x g xxe，所以当1x 时， ( )0g x，( )g x单调递增，当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减所以当1x 时，( )g x取得最大值 1 e ，且(0)0g，
16、当0x 时，( )0g x ；当x 时，( )0g x ，根据题意，ya与( )yg x的 图象有两个不同的交点，所以 1 0a e ，且 2 1x ， 1 01x，当0a 时， 21 ,0xx ，显然 满足题意；当 21 2xx时，由 12 ( )()g xg x，得 11 ( )(2 )g xgx，即 11 2 11 2 xx x ex e ，解得 1 ln2x ， 此时 ln2 1 ln2 ( )ln2 2 ag xe，所以实数a的取值范围是 ln2 0, 2 0.5 12 O a 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必
17、须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a中，1 1 a，0 n a，前n项和为 n S，若 1nnn aSS ，（nN ，且2n） （）求数列 n a的通项公式； （）记 n a nn ac2，求数列 n c的前n项和 n T 17解析：（1）在数列 n a中， 1( 2) nnn aSSn ， 1nnn aSS 且0 n a ，式式得： 1 1 (2) nn SSn ， 所以数列 n S是以 11 1Sa为首项，公差为 1 的等差数列， 2 1 1(1), nn SnnSn 3 分 当2n时， 22 1 (
18、1)21 nnn aSSnnn ， 当1n 时， 1 1a ，也满足上式，所以数列 n a的通项公式为21 n an6 分 （2）由（1）知，21 n an， 21 (21) 2 n n cn ， 则 352321 1 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn 3572121 41 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ，得： 22 35212121 8(12) 322(222)(21)222(21)2 14 n nnn n Tnn 21 105 22 33 n n 21 (65) 210 9 n n n T 12 分 18（本小题满分 12 分）如图，等腰
19、直角ABC中，90B，平面ABEF平面ABC， BEABAF2，60FAB，BEAF / （）求证：BFBC ； （）求二面角BCEF的正弦值 18解析：（1）等腰直角ABC中90B，即BCAB， 又平面ABC 平面ABEF，平面ABC 平面ABEFAB，BC 平面ABC， BC平面ABEF，又BF 平面ABEF，BCBF4 分 A B C E F x y z A B C E F （2）由（1）知BC 平面ABEF，故建立如图所示空间直角坐标系Bxyz， 设1AF ，则由已知可得 33 (0,0,0),(0,2,0),0,( 1,0, 3) 22 BCFE ， 53 (1,2,3),0,(0,
20、2,0) 22 ECEFBC ， 设平面CEF的一个法向量为( , , )nx y z ，则有 230 53 0 22 n ECxyz n EFxz ， 令3x ，则5,2 3zy，即( 3,2 3,5)n 设平面BCE的一个法向量为 111 ( ,)mx y z ，则有 111 111 1 230, 0,3 20 m ECxyz yxz m BCy ， 令 1 3x ，则( 3,0,1)m ， 设二面角FCEB的平面角为，则 351015 cos,sin 552 2 10 m n mn ， 所以二面角FCEB的正弦值为 15 5 19（本小题满分 12 分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合
21、试点的“排头兵”，有关其它省份新高 考改革的实施安排， 教育部部长在十九大上做出明确表态： 到 2020 年， 我国将全面建立起新的高考制度 新 高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个 科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生 的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科 目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人 数如下表： 性别
22、选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考方案确定的有 16 人 16 16 8 4 2 2 男生 选考方案待确定的有 12 人 8 6 0 2 0 0 选考方案确定的有 20 人 6 10 20 16 2 6 女生 选考方案待确定的有 12 人 2 8 10 0 0 2 （）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有9 .99把握认为选历史是否与性别有关？ 选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 选考方案确定的女生 总计 （）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量 0,(2 1,(2 名男生选考
23、方案不同) 名男生选考方案相同) ， 求的分布列及数学期望E 附： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd P(K2k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19解析：（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 8 人，选考方案确定的女生中 确定选考生物的学生有 20 人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 2836 840392 3660 人2 分 （2） 选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生 16 4 2
24、0 总计 20 16 36 由列联表可得， 222 2 36 (4 4 12 16)36 16111089 10.8910.828 20 16 20 1620 16 20 16100 K ， 所以有 99.9%的把握认为选历史与性别有关6 分 （3）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择物理、化学和历史； 有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政治由已知得的取值为 0，1 则 2222 8422 2 16 37 (1),(0)1(1) 1010 CCCC PPP C 所以的分布列为： 0 1 P 7 10 3 10 所以 733 01
25、 101010 E 20 （本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中，已知圆 1 C：)0( 222 rryx与直线 0 l：22 xy 相切，点A为圆 1 C上一动点，xAN 轴于点N，且动点M满足OMAMON ，设动点M的轨迹 为曲线C （）求曲线C的方程； （）设QP,是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，OQOP,的斜率分别为 21,k k，且 4 1 21 kk， 求OT的取值范围 20解析：（1）设动点 00 ( , ), (,)M x yA xy，由于ANx轴于点N， 0 (,0)N x 又因为圆 222 1: (0)Cxyrr与直线 0 l：2 2yx即2 20xy相切， 2
26、 2 2 2 r ，所以圆 22 1: 4Cxy， 由题意，OMAMON ，得 00 000 0 2 ( , )(,)(,0), 20 xxx x yxxyyx yy ，即 0 0 2 xx yy ， 又点A为圆 1 C上一动点， 22 44xy，所以曲线C的方程为 2 2 1 4 x y5 分 （2）当PQ的斜率不存在时，设直线OP的方程为： 1 2 yx，不妨取点 2 2, 2 P ， 则 2 2,( 2,0) 2 QT ，2OT 当PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为： 1122 ,( ,),(,)ykxm P x yQ xy， 由 22 44 ykxm xy ，可得 222 (14)8
27、440kxkmxm， 2 1212121212 22 8441 ,40 14144 kmm xxx xk ky yx x kk ， 22 12121212 4()()(41)4()4kxm kxmx xkx xkm xxm 22 22 2 32 4440 14 k m mm k ， 化简得： 222 1 214, 2 mkm 2222222 644(41)(44)16(41)160k mkmkmm ， 设 00 (,)T xy，则 12 000 2 421 , 2142 xxkmk xykxm kmm 2 2 22 00 222 41312 2,2 ,2 4422 k OTxyOT mmm 综
28、上，OT的取值范围是 2 ,2 2 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数ax x xxxf 1 ln)()( 2 ，baxxaxxg2)1 ( 3 2 )( 23 ，Rba, （）求函数)(xg的单调区间； （）若( )( )f xg x恒成立，求ab2的最小值 21解析：（1）函数定义域为(,) 2 ( )22(1)22(1)()g xxa xaxxa，由( )0g x，得1x 或xa 当1a 时，当(, )xa 时，( )0,( )g xg x在(, )a上为增函数， 当( , 1)xa时，( )0,( )g xg x在( , 1)a 上为减函数， 当( 1,)x 时，( )
29、0,( )g xg x在( 1,) 上为增函数 当1a 时，( )0g x恒成立，所以( )g x在(,) 上为增函数 当1a 时，当(, 1)x 时，( )0,( )g xg x在(, 1) 上为增函数， 当( 1, )xa 时，( )0,( )g xg x在( 1, )a上为减函数， 当( ,)xa时，( )0,( )g xg x在( ,)a 上为增函数5 分 （2）( )( )( )( )0f xg xg xf x，设( )( )( )F xg xf x，则 22 1 ( )(21)ln()22(1)(21)(ln1)F xxxxxxa xaxxxa x ， 因为(0,)x，令( )0F
30、 x，得ln10xxa 设( )ln1h xxxa ，由于( )h x在(0,)上单调递增，当0x 时，( )h x ；当x 时， ( )h x ，所以存在唯一 0 (0,)x ，使得 0 ()0h x，即 00 ln1axx 当 0 0xx时，( )0F x，所以( )F x在 0 (0,)x上单调递减； 当 0 xx时， 0 ()0F x，所以( )F x在 0 (,)x 上单调递增 当(0,)x时， 232 min0000000 2 ( )()()ln(1) 3 F xF xxxxxa xaxb 232 0000000000 2 ()ln(ln)(ln1) 3 xxxxxx xxxxb
31、32 000 1 3 xxxb 因为( )( )f xg x恒成立， 所以 32 min000 1 ( )0 3 F xxxxb ，即 32 000 1 3 bxxx 3232 0000000 11 222ln2 33 baxxxaxxxx 设 32 1 ( )2ln2,(0,) 3 xxxxxx， 则 322 2 222(1)(32) ( )21 xxxxxx xxx xxx ， 当01x时，( )0x，所以( )x在(0,1)上单调递减； 当1x 时，( )0x，所以( )x在(1,)上单调递增 当(0,)x时， min 5 ( )(1) 3 x 所以当 0 1x 时， min 5 (2
32、) 3 ba 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程 为12sin3cos 2222 ，直线l的参数方程为t ty tx ( 2 2 2 2 2 为参数)直线l与曲线C分别交 于NM,两点 （）若点P的极坐标为), 2(，求PNPM 的值； （）求曲线C的内接矩形周长的最大值 22解析：（1）曲线C的标准方程为 22 1 124 xy ，P的坐标为( 2,0)， 将直线l的
33、参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt 代入曲线C的标准方程，得： 2 240tt， 则 1 2 4PAPBt t5 分 （2）由曲线C的标准方程 22 1 124 xy ，可设曲线C上的动点(2 3cos , 2sin )A， 则以A为顶点的内接矩形周长为4(2 3cos2sin )16sin, 0 32 因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当 6 时等号成立10 分 23【选修 45：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 设函数)0(1)(aaxaxxf，xxxg 2 )( （）当1a时，求不等式( )( )g xf x的解集； （）已知( )2f x 恒成立，求a的取值范围 23解析：（1）当1a 时， 2 ,1 ( )112,11 2 ,1 xx f xxxx xx ， 当1x时， 2 2xxx，解得1x； 当11x 时， 2 2xx ，解得1x或2x，舍去； 当1x时， 2 2xxx ，解得3x 综上，原不等式的解集为 |1x x或3x （2） 1 (1)1, 1 ( )1(1)1, (1)1, axax a f xaxxaaxaxa a axaxa 当01a时， 2 min( ) ( )12,1fxf aaa； 当1a 时， min 11 ( )2,1fxfaa aa ， 综上，1,)a10 分
