1、问题问题 1 1：当同一平面内：当同一平面内 n n 条不重合的直线交于一点时，求对顶角与邻补角的个数条不重合的直线交于一点时，求对顶角与邻补角的个数 （此问有多种求法，在此只阐述三种。 ） 法一：数法一：数 这是一种十分基础且繁杂的方法，无太多技巧性，且出错率较高。不过适用很这是一种十分基础且繁杂的方法，无太多技巧性，且出错率较高。不过适用很 广。这种方法主要是需要先从简单情况讨论起，数出个数，发现数量上之间的广。这种方法主要是需要先从简单情况讨论起，数出个数，发现数量上之间的 关系，从而得解。在此就不赘述。关系，从而得解。在此就不赘述。 法二：法二： （这种方法本质也是数，却又比直接数高一
2、层。首先我们思考一下（这种方法本质也是数，却又比直接数高一层。首先我们思考一下 n n 条直线相条直线相 交于一点，在这里，大家应该有一种平衡思想，正如代数中的一般，几何也类交于一点，在这里，大家应该有一种平衡思想，正如代数中的一般，几何也类 似，这似，这 n n 条直线它们的地位是同等的！这就意味着，我们只需要讨论出一条直条直线它们的地位是同等的！这就意味着，我们只需要讨论出一条直 线代表着多少对对顶角和邻补角，再乘以直线总数，就能得解！平衡！平衡！线代表着多少对对顶角和邻补角，再乘以直线总数，就能得解！平衡！平衡！) ) 例如图例如图 1.11.1，以黑色直线为一边，以上方红色直线为，以黑
3、色直线为一边，以上方红色直线为 另一边，共可在上方数出（另一边，共可在上方数出（n n- -1 1）个角，而下方一定有）个角，而下方一定有 且只有一个角与其对应成一组对顶角，而一共且只有一个角与其对应成一组对顶角，而一共 n n 条直条直 线，所以一共（线，所以一共（n n - -n n）对对顶角；而黑色直线上方有）对对顶角；而黑色直线上方有 （n n- -1 1）对邻补角，共）对邻补角，共 n n 条直线，且每条直线上下方均条直线，且每条直线上下方均 有，所以共（有，所以共（2n2n - -2n2n）对邻补角。）对邻补角。 法三：分离基本图形法三：分离基本图形 这是一个十分简单且好用的方法，
4、只需要找准基本图，并算出基本图的个数即这是一个十分简单且好用的方法，只需要找准基本图，并算出基本图的个数即 可。具体可。具体方法请看解答过程。方法请看解答过程。 本题的基本图应该是“叉子图” ，即图本题的基本图应该是“叉子图” ，即图 1.21.2 在这个基本图中，一共有在这个基本图中，一共有 2 2 对对顶角，对对顶角，4 4 对邻补角。对邻补角。 而这个基本图是怎么构成的呢？而这个基本图是怎么构成的呢？ 是两条直线构成的！于是，问题即可转化成这样：当同一平面是两条直线构成的！于是，问题即可转化成这样：当同一平面 内内 n n 条不重合的直线交于一点时，两两配对，一共有多少对？条不重合的直线
5、交于一点时，两两配对，一共有多少对？ 对于这个问题，同样有三种求法对于这个问题，同样有三种求法 1.1. 以第一条直线为准，有（以第一条直线为准，有（n n- -1 1）个；以第二条直线为准，有（）个；以第二条直线为准，有（n n- -2 2）个）个 于是，一共有于是，一共有 1+2+3+.+1+2+3+.+（n n- -1 1）= =（ 2 nn2 ）个基本图）个基本图 2.2. 每条直线与除它本身以外的（每条直线与除它本身以外的（n n- -1 1）条直线各）条直线各为一对，而又重复一次，故共有为一对，而又重复一次，故共有 （ 2 nn2 ）个基本图）个基本图 3.3. 组合计算，一共有组
6、合计算，一共有c 2 n= =（ （ 2 nn2 ）个基本图）个基本图 于是，一共就有于是，一共就有 2 nn2 *2=*2=（n n - -n n）对对顶角；）对对顶角； 2 nn2 *4=*4=（2n2n - -2n2n）对邻补角。）对邻补角。 问题二：当同一平面内问题二：当同一平面内 n n 条不重合的直线两两相交，且无三线共点时，共组成条不重合的直线两两相交，且无三线共点时，共组成 多少对同位角，邻补角和同旁内角多少对同位角，邻补角和同旁内角? ?（此问有多种解法，在此仅阐述三种） 法一法一: :数数 与前一问相同，发现其中的数量关系即可，在此也不赘述。与前一问相同，发现其中的数量关系
7、即可，在此也不赘述。 法二：与上一问的法三类似，属于分离基本图形，先找基本图形，也就是我们法二：与上一问的法三类似，属于分离基本图形，先找基本图形，也就是我们 的三线八角图，如图的三线八角图，如图 1.31.3。这个基本图的三种角的组数分别是。这个基本图的三种角的组数分别是 4,2,24,2,2。所以，现。所以，现 在再开始在复杂图形中分离基本图。这个三线八角图的标在再开始在复杂图形中分离基本图。这个三线八角图的标 志是什么呢？是两线中间所夹的那条线段！于是，原问题志是什么呢？是两线中间所夹的那条线段！于是，原问题 就被我们转化成了：就被我们转化成了：同一平面内同一平面内 n n 条不重合的直
8、线两两相条不重合的直线两两相 交，且无三线共点时，共组成多少条线段？首先，每条直交，且无三线共点时，共组成多少条线段？首先，每条直 线与除它外的（线与除它外的（n n- -1 1）条直线均有交点，而这（）条直线均有交点，而这（n n- -1 1）个点组成了多少条线段呢？）个点组成了多少条线段呢？ 这（这（n n- -1 1）个点中的每一点均与除自己外的（）个点中的每一点均与除自己外的（n n- -2 2）个点各组成一条线段，又因）个点各组成一条线段，又因 为两两重复一次，所以每条直线上一共有（为两两重复一次，所以每条直线上一共有（ 2 1-n2-n ）条线段（这里用组合也条线段（这里用组合也
9、可以很快算出来，就是可以很快算出来，就是 2 1 -n c= = 2 1-n2-n ） ，于是就一共有（） ，于是就一共有（ 2 2-n1n）（ n ）条）条 线段。所以同位角共线段。所以同位角共 4*4* 2 2-n1n）（ n =2n=2n（n n- -1 1） （） （n n- -2 2）对，内错角共）对，内错角共 2*2* 2 2-n1n）（ n =n=n（n n- -1 1） （） （n n- -2 2）对，同旁内角共）对，同旁内角共 2*2* 2 2-n1n）（ n =n=n（n n- -1 1） （n n- -2 2）对。）对。 法三：这个方法同样也是找基本图，但却更为简略。上个
10、方法我们找的是三线法三：这个方法同样也是找基本图，但却更为简略。上个方法我们找的是三线 八角图，而这个方法同样是找三线八角图，不过却是“变异”的三线八角图。八角图，而这个方法同样是找三线八角图，不过却是“变异”的三线八角图。 即图即图 1.41.4。这个基本图三种角的个数分别是。这个基本图三种角的个数分别是 12,6,612,6,6。而这个基。而这个基 本图的构成就是三条直线本图的构成就是三条直线( (或一个三角形或一个三角形) )，所以，原问题就转，所以，原问题就转 化成了：化成了：同一平面内同一平面内 n n 条不重合的直线两两相交，且无三线共条不重合的直线两两相交，且无三线共 点时， 三
11、点时， 三条直线配为一组， 共有多少组 （或会有多少个三角形） ？条直线配为一组， 共有多少组 （或会有多少个三角形） ？ 首先，三条直线中的第一条直线有首先，三条直线中的第一条直线有 n n 种选择，第二条直线就有（种选择，第二条直线就有（n n- -1 1）种选择，）种选择， 第三条直线就有（第三条直线就有（n n- -2 2）种选择，而会重复）种选择，而会重复 6 6 次（为什么呢？） ，所以一共有次（为什么呢？） ，所以一共有 6 )2-n)(1-n(n 组（这里用组合会十分快捷地算出来，即组（这里用组合会十分快捷地算出来，即 3 n c= = 6 )2-n)(1-n(n 组） ，所组
12、） ，所 以同位角有以同位角有 12*12* 6 )2-n)(1-n(n =2n=2n（n n- -1 1） （） （n n- -2 2）对，内错角有）对，内错角有 6*6* 6 )2-n)(1-n(n =n=n （n n- -1 1） （） （n n- -2 2）对，同旁内角有）对，同旁内角有 6*6* 6 )2-n)(1-n(n =n=n（n n- -1 1） （） （n n- -2 2）对。）对。 注：在第二个问题中，我们找过了线（线段） ，面（三角线） ，那能不能找点呢？注：在第二个问题中，我们找过了线（线段） ，面（三角线） ，那能不能找点呢？ 这是一个很好的问题。不过在找点中，会遇到的问题非常多，也甚至会导致可这是一个很好的问题。不过在找点中，会遇到的问题非常多，也甚至会导致可 能比直接数还要难，可以好好思考。能比直接数还要难，可以好好思考。
