1、2321341s2=A2s3=A3B1B2B3B4s1=A1供应量供应地供应地运价运价需求量需求地需求地6753842759106B10 xxxxxxxxxxxx13xxx12xxx13xxx22xxx19xxxx27xxxx14xxxxs.t.x6x10 x9x5x7x2x4x8x3x5x7x6zmin343332312423222114131211342414332313322212312111343332312423222114131211343332312423222114131211供应地约束需求地约束mnjinmmn X=(X11，X12，X1n，X21，X22，X2n，Xm1，X
2、m2，Xmn)T C=(C11，C12，C1n，C21，C22，C2n，Cm1，Cm2，Cmn)A=(P11，P12，P1n，P21，P22，P2n，Pm1，Pm2，Pmn)nmij Pij=ei+em+j(i=1，.，m，j=1，n)ei为第为第i个分量为个分量为1其余分量为其余分量为0的的m+n维向量。维向量。em+j为第为第m+j个分量为个分量为1其余分量为其余分量为0的的m+n维分量。维分量。min CX；S.T AX=b （5.1.3）x 0其中其中A为为X11 X12 X1n X21 X22 X2n.Xm1 Xm2 Xmn 1 .1 1 1 1 .1 1 1 1 1 1 1 1 .
3、1 1 1 1 A=na1a2.amb1b1.bn 有有m n列，每列有列，每列有(m+n)个元素，其中有两个个元素，其中有两个1，其，其余为余为0。对于列对于列Pij来说，两个来说，两个1的位置为的位置为i与与m+j个分量个分量 Pij=ei+e m+j ei为第为第i个分量为个分量为1其余分量为其余分量为0的的m+n维单位向量维单位向量 e m+j为第为第m+j分量为分量为1，其余分量为，其余分量为0的的m+j分量为分量为0的的m+n维单位向量。维单位向量。A有有(m+n)行，每行前行，每行前m行有行有n个个1并连并连在一起，其余为零。在一起，其余为零。E 0 .00 E .0 0 0 E
4、 I I IA=E=(1，1，1，.，），）令令Xij=nmijnj=1nj=1nj=1mmmi=1i=1i=1 A是一个（是一个（m+n）（m*n）型矩阵）型矩阵一般来说：一般来说：（m+n）（m*n）因此秩最大为（因此秩最大为（m+n）又前又前m方程与后方程与后n个方程和相等。个方程和相等。故故r（A），实际是等于（，实际是等于（m+n-1）。）。X11 X12 X1n X21 X22 X2n.Xm1 Xm2 Xmn 1 .1 1 1 1 .1 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 1 1 A=na1a2.amb1b1.bnp 11 p 12 p 1n p 21 p 31 p m10 0
5、.0 1 1 .1 1 1.1 1 .1A=p 11 p 12 p 1n p 21 p 31 p m1线性无关，而线性无关，而p ij与与 p ij 只差一个分量。只差一个分量。由向量相关理论可知：由向量相关理论可知：一组线性无关向量组在一组线性无关向量组在相同的位置上加相同多的分量后得到的新向量相同的位置上加相同多的分量后得到的新向量也线性无关。也线性无关。因此因此 p11 p 12 p 1n p 21 p 31 p m1也线性无关。也线性无关。r(A)=(m+n-1)由于运输问题的特殊性，因此求解运输由于运输问题的特殊性，因此求解运输问题往往不用问题往往不用单纯形法单纯形法。而用。而用表上
6、作业表上作业法。法。1、用西北角法或最小元素法确定基本可、用西北角法或最小元素法确定基本可行解。行解。2、用位势法求解检验数、用位势法求解检验数 3、用闭回路调整法求最优解、用闭回路调整法求最优解B1B2Bn发量发量A1a1A2a2Amam收量收量b1b2bn发点收点B1B2B3B4发量发量A17A24A39收量收量3656收点收点发点发点B1B2B3B4A1311310A21928A374105收点收点发点发点(I，j)，从（从（1，1）开始，比较）开始，比较a1，b1。X11=min（a1，b1）=b1=3B1B2B3B4发量发量A17A24A39收量收量3656收点发点B1B2B3B4发
7、量A1347-3-4A2224-2A3369-3-6收量3-36-4-25-2-36X11=min（a1，b1）=b1=3X12=min（a1，b2）=a1=4X22=min（a2，b2）=b2=2X23=min（a2，b3）=min（2，5）=a2=2X33=min（a3，b 3）=min（9，3）=b3=3X34=min（a3，b4）=6B1B2B3B4发量发量A1347 3-4A2224-2-2A3369-3-6收量收量3-36-4-25-2-36-6Z=3 3+4 11+2 9+2 2+3 10+6 5=133(万万)B1B2B3B4发量发量A13113107-4-3A219284-3
8、A3741059-6-3收量收量3-36-65-1-46-3364133C21=1，X21=min（a2，b1）=b1=3C23=2，X23=min（a2，b3）=min（1，5）=a2=1C13=3，X13=min（a1，b3）=min（7，4）=b3=4 C32=4，X32=min（a2，b2）=b2=6C34=5，X34=min（a3，b 4）=min（3，6）=a3=3C14=10，X14=min（a 1，b 4）=a 1=b 4=3Z=4 3+3 10+3 1+1 2+6 4+3 5=86(元)ij=Cij-Zij=Cij-CBB-1 Pij W=(u1，um，v1，vn）5.2.3
9、Ui=(xi1,xi2,xi3,xi4.xin),vj=(x1j,x2j,xxmj)mI=1j=1nmnjinm0 xxxxxxxxxxxx13xxx12xxx13xxx22xxx19xxxx27xxxx14xxxxs.t.x6x10 x9x5x7x2x4x8x3x5x7x6zmin343332312423222114131211342414332313322212312111343332312423222114131211343332312423222114131211供应地约束需求地约束 ij=Cij-WPij=Cij-(u1，um，v1，vn)(ei+e m+j)=Cij-(ui+vj）
10、5.2.4 A=X11 X12 X1n X21 X22 X2n.Xm1 Xm2 Xmn 1 .1 1 1 1 .1 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 1 1 Cij-(ui+vj）=0 （i，j）JB（5.2.5）因为为已知，而（因为为已知，而（5.2.5）有（）有（m+n）个未知量）个未知量 令令 Vn=0 （5.2.6）非基变量检验数非基变量检验数:ij=Cij-(ui+vj）(i，j）JN （5.2.7）B1B2B3B4发量发量A1347 3-4A2224-2-2A3369-3-6收量收量3-36-4-25-2-36-6Z=3 3+4 11+2 9+2 2+3 10+6 5=133(
11、万万)基变量:X11，X12，X22，X23，X33，X34 C11-(u1+v1）=0 C12-(u1+v2）=0 C22-(u2+v2）=0 C23-(u2+v3）=0 C33-(u3+v3）=0 C34-(u3+v4）=0 V4=0 3-(u1+v1）=0 11-(u1+v2）=0 9-(u2+v2）=0 2-(u2+v3）=0 10-(u3+v3）=0 5-(u3+v4）=0 V4=0 解出：解出：u1=-1，u2=-3，u3=5，v1=4，v2=12，u3=5，ij=Cij-(ui+vj）(i，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=3-(-1+5)=-1 14=C14-
12、(u1+v4）=10-(-1+0)=11 21=C21-(u2+v1）=1-(-3+4)=0 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 24=C24-(u2+v4）=8-(-3+0)=11 31=C31-(u3+v1）=7-(5+4)=-2 32=C32-(u3+v2）=4-(5+12)=-13 ij 0，故不是最优解，故不是最优解 1、作表格（、作表格（3+1)(4+1）的表的表 2、第、第(3+1)行为行为vj行，行，(4+1)列为列为 ui列列 3、右上角标出、右上角标出Cij，其中非基变量用其中非基变量用 框住。框住。B1B2B3B4uiA1 3 11 -1A2 9 2
13、-3A3 10 55vj 4 12507174非非3108V4=0，基变量基变量:X11，X12，X22，X23，X33，X34 Cij-(ui+vj）=0 （i，j）JB (5.2.5)Cij=(ui+vj）ui=Cij-vj）(5.2.10)因为：因为：V4=0，C34=(u3+v4）=u3=5，V3=C33-u3=10-5=5C23=(u2+v3），），u2=C23-v3=2-5=-3 V4=0，基变量:X11，X12，X22，X23，X33，X34 Cij-(ui+vj）=0（I，j）JB 5.2.5 Cij=(ui+vj）5.2.10 因为：因为：V4=0，C34=(u3+v4）=u
14、3=5，B1B2B3B4uiA1311 -1A292-3A3 1055vj 4 1250717非非43108Cij=(ui+vj）5.2.10 C22=(u2+v2）v2=C22-u2=9-（-3）=12u1=C12-v2=11-12=-1V1=C11-u1=3-（-1）=4B1B2B3B4uiA1311-1 11-1A2092 11-3A3-2-131055vj 4 125071743108 ij=Cij-(ui+vj）(i，j）JN (5.2.7)13=C13-(u1+v3）=3-(-1+5)=-1 14=C14-(u1+v4）=10-(-1+0)=11 21=C21-(u2+v1）=1-
15、(-3+4)=0 24=C24-(u2+v4）=8-(-3+0)=11 31=C31-(u3+v1）=7-(5+4)=-2 32=C32-(u3+v2）=4-(5+12)=-13有有 ij 0，故不是最优解，故不是最优解 以例以例5.2.1的最小元素法求得的基本可行解的最小元素法求得的基本可行解为例。见表为例。见表5.7用位势法计算检验数。用位势法计算检验数。B1B2B3B4发量发量A13113107-4-3A219284-3A3741059-6-3收量收量3-36-65-1-46-33解解64133B1B2B3B4uiA112 3 10 10A2112-1 9A310 4125 5vj -8
16、-1-7077非非8311910定义定义5.2.将变量将变量Xij在调运表中所对应的空格在调运表中所对应的空格记做记做(i，j)称为格点。而称为格点。而Xij系数列向量系数列向量Pij也也称作格点称作格点(i，j)所对应的系数列向量，若所对应的系数列向量，若Xij为基变量，则为基变量，则(i，j)称为基格称为基格，否则为，否则为非基非基格格。表表5.6.7，基格，基格(1，3)，(1，4)(2，1)(2，3)非基格非基格(1，1)，(2，4)(3，1)(2，3)B1B2B3B4发量发量A13113107-4-3A219284-3A3741059-6-3收量收量3-36-65-1-46-3364
17、133定义定义5.2.2若一组格点经过适当的排序后，能若一组格点经过适当的排序后，能写成以下形式：写成以下形式：(I1，j1)，(I1，j2)，(I2，j2)(I2,，j3)，(I3，j3).(Is,，js)，(Is，ji)1则这则这组格点组格点构成了闭回路构成了闭回路。(1)格点数大于格点数大于4 形式形式A：第第1格与第格与第2格行号同，第格行号同，第2与第与第3格列号同，第格列号同，第3、第、第4格行号同，第格行号同，第4、第、第5格列号同格列号同最后一格与第一格最后一格与第一格列号同列号同。形式形式B：第：第1格、第格、第2格列号同。第格列号同。第2格、格、第第3格行号同格行号同最后一
18、格与第一格行号同。最后一格与第一格行号同。连线构成闭回路，一行或一列只包含两个连线构成闭回路，一行或一列只包含两个格点，都处在格点，都处在每条边的端点上每条边的端点上。B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1a1A2a2A3a3A4a4b1b2b3b4b5b6b7b8b9格组格组(1，1)，(1，2)(3，2)(3，1)格组格组(1，3)，(1，4)(2，4)(2，5)(3，5)(3，3)格组格组(1，6)，(1，7)(4，7)(4，9)(2，9)(2，6)格组格组(1，1)，(1，2)(3，2)(3，1)格组格组(1，3)，(1，4)(2，4)(2，5)(3，5)(3，3)格组格组(1，6)
19、，(1，7)(4，7)(4，9)(2，9)(2，6)B1B2B3B4B5B6B7A1A2A3A4包含包含了闭回路，了闭回路，非构成非构成闭回路成闭回路成格组格组(1，1)，(1，2)(1，4)(3，4)(3，2)格组格组(2，5)，(2，6)(2，7)(3，7)(3，6)(3，5)B1B2B3B4uiA1311-1 11-1A2092 11-3A3-2-131055vj 4 125071743108B1B2B3B4发量发量A1347 3-4A2224-2-2A3369-3-6收量收量3-36-4-25-2-36-6Z=3 3+4 11+2 9+2 2+3 10+6 5=133(万万)B1B2B
20、3B4发量A1347 3-4A22-2+4-2-2A30+3-69-3-6收量3-36-4-25-2-36-6Z=3 3+4 11+2 9+2 2+3 10+6 5=133(元元)32=-13=min Xij|(i，j)为闭回路上所有偶数号格点为闭回路上所有偶数号格点=min(2，3)=2=X22B1B2B3B4发量发量A1347 3-4A2 44-2-2A32 169-3-6收量收量3-36-4-25-2-36-6X(1)=(3，4，0，0，0，0，4，0，0，2，1，6）TZ(1)=3 3+11 4+2 4+4 2+10 1+5 6=109(元元)Z(0)=133(元元)用西北角规则或最小
21、元素法求初始基本可用西北角规则或最小元素法求初始基本可行解。行解。用位势法求非基变量的检验数。若最优准用位势法求非基变量的检验数。若最优准则。则。ij 0 得到满足，则当前基本可行解得到满足，则当前基本可行解就是最优解（当前调运方案就是最优调运就是最优解（当前调运方案就是最优调运方案），计算停止。方案），计算停止。否则转第否则转第3步。步。取一个检验数最小的非基变量作进基变量，其对取一个检验数最小的非基变量作进基变量，其对应的格为应的格为进基格进基格（编号为第（编号为第1格）。格）。以以进基格为起始点进基格为起始点作出一个其余顶点均为基格的作出一个其余顶点均为基格的闭回路，在该闭回路上，从所有
22、偶数号格点的调闭回路，在该闭回路上，从所有偶数号格点的调运量中选出最小值运量中选出最小值 作为作为调整量调整量，该格即为，该格即为离基离基格格，对应的变量为，对应的变量为离基变量离基变量。对闭回路上的运输量作出调整：对闭回路上的运输量作出调整：所有奇数号格的调运量加上调整量所有奇数号格的调运量加上调整量 ；所有偶数号格的调运量减去调整量所有偶数号格的调运量减去调整量 ，其余的其余的Xij取值不变，这样就得到了一个取值不变，这样就得到了一个新的调运方案转第新的调运方案转第2步。步。判断以表判断以表5.15所体现的所体现的X(1)是否为最优解。是否为最优解。若不是，试求出最优解。若不是，试求出最优
23、解。解解:对对X(1)用位势法求其检验数，为此建用位势法求其检验数，为此建立表立表5.16，计算，计算ui，vj及及 ij B1B2B3B4发量发量A1347 3-4A2 44-2-2A32 169-3-6收量收量3-36-4-25-2-36-6X(1)=(3，4，0，0，0，0，4，0，0，2，1，6）TZ(1)=3 3+11 4+2 4+4 2+10 1+5 6=109(元元)Z(0)=133(元元)B1B2B3B4uiA1311-14-2 12A21313 2 11-3A311 4 10 55vj-9-150171731089 ij=min ij|ij0 =13=-14 （i，j）JN非
24、优，建非优，建闭回路。闭回路。B1B2B3B4发量发量A134-10+17 A2 44 A32+1 1-169 收量收量3 6 5 6 X(2)=(3，3，1，0，0，0，4，0，0，3，0，6）TZ(2)=3 3+11 3+3 1+2 4+4 3+5 6=95(元元)Z(1)=109(元元)=min Xij|(I，j)为闭回路上所有偶数号格点为闭回路上所有偶数号格点=min(1，4)=1=X33B1B2B3B4uiA1311 3-2 12A2-1-1 2-311A311 414 5 5vj-9-1-90717108910 不都大于不都大于0,也不是最也不是最 优解优解 ij=min ij|i
25、j0 =24=-3 （i，j）JN非优，建闭回路。非优，建闭回路。B1B2B3B4发量发量A133-31+37 A2 4-3 0+3 4 A33+3 6-39 收量收量3 6 5 6 X(3)=(3，0，4，0，0，0，1，3，0，6，0，3）TZ(3)=3 3+3 4+2 1+8 3+4 6+5 3=86(元元)Z(2)=95(元元)=min Xij|(i，j)为闭回路上所有偶数号格点为闭回路上所有偶数号格点=min(6，3，4)=3=X12再判断再判断 X(3)是否为最优解建立表是否为最优解建立表 5.20，计算，计算ui，vj及及 ij B1B2B3B4uiA133 3 1 9A2-12
26、 2 88A38 411 5 5vj-6-1-607171091110 不都大于不都大于0,也不是最也不是最 优解优解 ij=min ij|ij0 =21=-1 （i，j）JN非优，建闭回路。非优，建闭回路。B1B2B3B4发量发量A13-1 4+17 A20+1 1-1 34 A36 39 收量收量3 6 5 6 X(4)=(2，0，5，0，1，0，0，3，0，6，0，3）TZ(4)=3 2+3 5+1 1+8 3+4 6+5 3=85(元元)0，故是最优解，故是最优解1095B1B2B3B4发量发量A1043 7A26 208A30 3 0 3收量收量6633X(1)=(0，4，0，0，6
27、，2，0，0，0，0，3，0）TZ(1)=8 4+3 3+6 4+9 2+3 2=89 B1B2B3B4B5发量发量A12525 50-25-25A2106030100-60-30-10A380 7050-70-80收量收量25-2511525-10-8060-6030-3070-701234567B1B2B3B4B5uiA1 10 15 1 1 5A2 4015 30030A3 35 2525vj 5 10-15002030 2040203040 55 V5=0，基变量基变量:X11，X12，X22，X23，X24，X32，X35 Cij-(ui+vj）=0 （I，j）JB 5.2.5 Ci
28、j=(ui+vj）ui=Cij-vj）5.2.10 因为：因为：V5=0，C35=(u3+v4）u3=25，V2=C32-u3=35-25=10C22=(u2+v2），），u2=C22-v2=40-10=30V3=C23-u2=15-30=-15B1B2B3B4B5uiA1 1015 301535 5A2-15 4015 30030A30 3530302525vj 5 10-15002030 2040 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=20-(-15+5)=30 14=C14-(u1+v4）=20-(5+0)=15 15=C15-(u1+v5
29、）=40-(5+0)=35 21=C21-(u2+v1）=20-(5+30)=-15 25=C25-(u2+v5）=30-(30+0)=0 31=C31-(u3+v1）=30-(25+5)=0 33=C33-(u3+v3）=40-(25-15)=30 34=C34-(u3+v4）=55-(25+0)=30有有 ij 0，故不是最优解，故不是最优解203040 55 B1B2B3B4B5发量A125-1525+10 50A20+1010-106030100A380 70150收量25115603070 ij=min ij|ij0 =21=-15 （I，j）JN非优，建闭回路非优，建闭回路X(1)
30、=(15，35，0，0，0，10，0，60，30，0，0，80，0，0，70）TZ(1)=15 10+35 15+10 25+60 15+30 30+80 35+70 25=7225 B1B2B3B4B5uiA1 1015 15035 5A2201515 301515A30 3515152525vj 5 1001504030 2040 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=20-(0+5)=15 14=C14-(u1+v4）=20-(5+15)=0 15=C15-(u1+v5）=40-(5+0)=35 22=C22-(u2+v2）=40-(15+
31、10)=15 25=C25-(u2+v5）=30-(15+0)=15 31=C31-(u3+v1）=30-(25+5)=0 33=C33-(u3+v3）=40-(25+0)=15 34=C34-(u3+v4）=55-(25+15)=15有有 ij 0，故是最优解，故是最优解203040 55 B1B2B3B4发量A1610*a 17-6-1A2（0*）53 0*8-5-3A3 0*3 3-3收量6-66-1-53-33B1B2B3B4uiA1 5 8 6A2 910 77A3 299vj-1 2307484非732V4=0，基变量:X11，X12，X22，X23，X33，X34 Cij-(ui
32、+vj）=0 （I，j）JB 5.2.5 Cij=(ui+vj）ui=Cij-vj）5.2.10 因为：因为：V4=0，C34=(u3+v4）=u3=9，u2=C24-V4=7-0=7C23=(u2+v3），），u2=C23-v3=10-(-7)=17B1B2B3B4uiA1 5 8 7 6A2 9107A3 299vj-1 2307484非732V4=0，基变量:X11，X12，X22，X23，X33，X34 Cij-(ui+vj）=0 （I，j）JB 5.2.5 Cij=(ui+vj）ui=Cij-vj）5.2.10 因为：因为：V4=0，C34=(u3+v4）=u3=9，u2=C24-V
33、4=7-0=7C23=(u2+v3），），u2=C23-v3=10-(-7)=17B1B2B3B4uiA1 5 8-2-3 6A2-2 910 77A30-7-1099vj-1 2307484非732 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=7-(6+3)=-2 14=C14-(u1+v4）=3-(6+0)=-3 21=C21-(u2+v1）=4-(-1+7)=-2 33=C24-(u2+v4）=2-(9+3)=-10 31=C31-(u3+v1）=8-(9-1)=0 32=C32-(u3+v2）=4-(9+2)=-7有有 ij 0，故不是最优解，
34、故不是最优解B1B2B3B4发量A161a 17-6-1A253-30*+38-5-3A30+33-33-3收量6-66-1-53-33Z(1)=6 5+1 8+5 9+3 10+0*7+3 9=140Z(2)=6 5+1 8+5 9+3 0+3*7+3 2=109B1B2B3B4uiA1 5 8 8-3 6A2-2 9-10 77A30-7 299vj-1 2-707484非7310 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=7-(6+3)=-2 14=C14-(u1+v4）=3-(6+0)=-3 21=C21-(u2+v1）=4-(-1+7)=-
35、2 33=C24-(u2+v4）=2-(9+3)=-10 31=C31-(u3+v1）=8-(9-1)=0 32=C32-(u3+v2）=4-(9+2)=-7有有 ij 0，故不是最优解，故不是最优解B1B2B3B4uiA1 5 8-2-13 16A2-2 910-1017A310-3 299vj-11-8-707484非737 ij=Cij-(ui+vj）(I，j）JN 5.2.7 13=C13-(u1+v3）=7-(-7+16)=-2 14=C14-(u1+v4）=3-(-16+0)=19 21=C21-(u2+v1）=4-(-11+17)=-2 24=C24-(u2+v4）=7-(-17+0)=24 31=C31-(u3+v1）=8-(9-11)=10 32=C32-(u3+v2）=4-(9-8)=-3有有 ij 0，故不是最优解，故不是最优解B1B2B3B4发量A161a 17-6-1A2538-5-3A30*33-3收量6-66-1-53-33Z=33+411+29+22+310+65=133(元)32=-13=min Xij|(I，j)为闭回路上所有偶数号格点为闭回路上所有偶数号格点=min(2，3)=2=X22docin/sanshengshiyuandoc88/sanshenglu 更多精品资源请访问更多精品资源请访问
