1、石家庄市 2021 届高中毕业班教学质量检测（一） 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A-1，0，1，2，Bx|-1x1，则 AB（ ） A-1，1 B-1，0，1 C0，1 D0，1，2 2若 z（1-2i）2i，则复数 z（ ） A-1 B-i C1 Di 3北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日到 20 日在北京和张家口举行为纪念申奥成功，中国 邮政发行北京申办 2022 年冬奥会成功纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残 奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”现从
2、一套 5 枚邮票中任取 3 枚，则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率为（ ） A 3 10 B 1 2 C 3 5 D 7 10 4 已知过点 （1， 1） 的直线 l 与圆 x2y2-4x0 交于 A， B 两点， 则|AB|的最小值为 （ ） A2 B2 C2 2 D4 5在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，若2BDDC，则AD AB（ ） A 8 3 B2 C10 3 D4 6原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中 产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种 过程称之为“衰变”这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的
3、发展，放射性 同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性 同位素钍 234 的衰变过程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系 24 0 ( )2 t N tN ，其中 N0为 t0 时钍 234 的含量已知 t24 时，钍 234 含量的瞬时变化率 为-8 ln2，则 N（120）（ ） A12 贝克 B12 ln 2 贝克 C6 贝克 D6 ln 2 贝克 7已知 F1、F2分别为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点，点 A 在双曲线 上，且F1AF260 ，若F1AF2的角平分线经过线段 OF2（O
4、 为坐标原点）的中点，则双 曲线的离心率为（ ） A7 B 7 2 C14 D 14 2 8已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球， 则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A251 B125 C15 D51 二、选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9设非零实数 abc，那么下列不等式中一定成立的是（ ） Aa2bc Bac2bc2 C （a-b）c（a-c）c Dln0 ab ac 10记函数 f（x）xlnx 的零点为 x0，则关于 x0的结论正确的为（ ） A 0 1 0 2 x B 0 1 1 2 x c
5、 0 0 0 x ex D 0 0 0 x ex 112020 年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下， 某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况， 更好的提高服务质量， 收集并整理了本超 市 2020 年 1 月份到 8 月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图根据 折线图，下列结论正确的是（ ） A该超市这 8 个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月 C该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后
6、，人们比较愿 意线下消费 12动点 P（x，y）在单位圆 x2y21 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24 秒旋转一 周已知时间 t0 时，点 P 坐标为 31 (,) 22 ，当 t0，24时，记动点 P 的横、纵坐标之 和 xy 为关于 t（单位：秒）的函数 g（t） ，则关于函数 g（t）描述正确的是（ ） A(5)2g Bg（t）在5，17上单调递减 Cg（13）g（21） Dg（t）在区间0，24上有 3 个零点 三、填空题：本题共 4 小题 13已知实数 x，y 满足 1, 20, 20, x xy xy 则 z2x-y 的最大值为_ 14已知 (,) 2 ，2sin21cos2
7、，则 cos_ 15 设抛物线 y22px （p0） 的焦点为 F， 点 A （0， 2） ， 线段 FA 与抛物线交于点B， 且2F BB A， 则|BF|_ 16设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snan1，记 bm为数列an中能使 * 1 () 21 n am m N 成立的最小项，则数列bm的前 99 项之和为_ 四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 21 cos 7 C ，asinCccos () 6 A，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中 的横线处，并完成解答 问题：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 3 B ，D
8、 是边 BC 上一点，BD5， AD7，且_，试判断 CD 和 BD 的大小关系_ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18公差不为 0 的等差数列an中，前 n 项和记为 Sn若 a11，且 S1，2S2，4S4成等比数 列， （1）求an的通项公式； （2）求数列 1 1 n nn a S S 的前项 n 项和 Tn 19中共中央、国务院印发关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见 ，这是 中共中央、 国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件， 是新时代我国 深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件意见强调，坚持“五育”并举， 全面发展素质教育其
9、中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一 某校为贯彻落实意见精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班为了解 学生对开设课程的满意程度， 设置了满分为 10 分的满意度调查表， 统计了 1000 名学生的调 查结果，得到如下频率分布直方图： （1） 求这 1000 名学生满意度打分的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （2）如果认为打分 6 分及以上为满意，6 分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否 有关，现从上述 1000 名学生的满意度打分中按照“打分组别” 用分层抽样的方法抽取容量为 200 的样本，得到如下 22 列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有
10、 99 的把握认为满意度与学生性别有关 打分 性别 不满意 满意 总计 男生 100 女生 60 总计 200 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ， P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 20在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABCD 为平行四边形，M 为 AA1的中点，BC BD1， 1 2ABAA （1）求证：MD平面 BDC1； （2）求二面角 M-BC1-D 的余弦值 21已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 过点（0，1） ，离心率 e 为 2 2
11、（1）求椭圆方程； （2）已知不过原点的直线 l：ykxt（k0）与椭圆 E 相交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴 的对称点为 M，直线 AB，MB 分别与 x 轴相交于点 P，Q，求|OP| |OQ|的值 22已知函数 f（x）x2（a-1）x1ex，其中 e 为自然对数的底数 （1）若 a2，求函数 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）e20 恒成立，求实数 a 的取值范围； 2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测 （一）届石家庄市高中毕业班教学质量检测 （一） 数学答案数学答案 一、单选题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C
12、 A A B D 二、多选题 题目 9 10 11 12 答案 BD BC ABD ABC 三、填空题： （本答案提供了一种或两种给分标准，其他解法请各校教研组参照给分标准研 究商定） 13. 1 14. 5 5 14. 8 3 9 16. 105 32 四、解答题 17解：设 AB=x，在ABD中由余弦定理可得： 22 492525 cos255 3 xxxx 2 分 即 2 524=0 xx，解得=8x， 4 分 方案一：方案一：选条件 由 7 21 cosC得 7 72 sinC ，5 分 CBA , 14 75 7 72 2 1 7 21 2 3 )sin(sinCBA 7 分 在 A
13、BC 中由正弦定理可得： , 7 72 8 14 75 BC 解得： 10BC ， 9 分 . 5BDCD 10 分 方案二：方案二：选条件 由正弦定理可得：=2 sin , =2 sin ,aRA cRC 代入条件 sincos() 6 aCcA 得： 31 sinsinsin(cossin) 22 ACCAA 31 cossinsinsin 22 ACAC ，6 分 13 sinsincossin 22 ACAC ， 7 分 因为 A 为三角形内角，所以 3tanA ，故 3 A ， 8 分 所以 ABC 为等边三角形， 9 分 所以 8BC ， ，3CD 所以CD 6.635，所以有99
14、%的把握认为满意度与性别有关. .12 分 20. 证明： （1）因为 BC=BD=1，CD=AB=2.可得 BC2+BD2=CD2, BDBC, 又 ADBC， BDAD . 又ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱, DD1平面 ABCD . DD1BD . 1 DDADD ， BD平面 ADD1A1, BDMD . .2 分 取 BB1中点 N，连接 NC ，MN， /MNDC且MN DC ， MNCD为平行四边形，/MDNC, = 1= 2 2 , NBCBC1, 1 + BCN = 900 , BC1CN, 又 MDNC , MDBC1 . 4 分 又 BC1 BD=B , MD平面
15、 BDC1. .5 分 （2）解法一： 以 DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立如图所示的坐标系，则 B(0,1,0), C1(-1 , 1, 2) , M(1,0, 2 2 ) , =(1, -1, 2 2 ), 1 =(-1 , 0, 2) 6 分 由（1）可知 为平面 BDC1的一个法向量， =(1,0, 2 2 ) 8 分 设平面 C1BM 的一个法向量为n=（x,y,z） 1 0, 0, BC BM n n 20, 2 0, 2 xz xyz 可取n=（2, 32 2 , 1）.10 分 设二面角 M-BC1- D 为 所以 10 cos 5 DM DM n n
16、 即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 10 5 .12 分 解法二： 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 CC1平面 ABCD ， BD平面 ABCD， CC1BD ， 又BDBC ， CC1 BC=C ， BD平面 BCC1B1 ， BDBC1 7 分 又MD平面 BDC1， MDBC1 ， MD BD=D ， BC1平面 MBD， MB平面 MBD ， MBBC1 9分 MBD 为二面角 M-BC1- D 的平面角 10 分 在Rt MBD 中，cosMBD= = 1 (2)2+( 2 2 )2 = 10 5 即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 10 5 .12 分 21.解：
17、（I）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 过点（0，1） ，所以1b； 2 分 又 222 2 , 2 c eabc a ，所以 2 2a . . 4 分 即椭圆方程为 2 2 1 2 x y. 5 分 （II）法一：设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 11 ( ,)M xy 由 2 2 1 2 x y ykxt ，得 222 (1 2)4220kxktxt， 6 分 所以 2 222 12 2 2 12 2 164(12)(22)0 4 12 22 12 k tkt kt xx k t xx k ， 7 分 在直线:(0)l ykxt k中，令0y ，则
18、 t x k ，即(,0) t P k ， 9 分 直线 21 22 21 :() MB yy lyyxx xx ，令0y ， 则 12211212 1212 2()42 ()22 x yx ykxxt xxkk x yyk xxttt ，即 2 (,0) k Q t ，11 分 所以 2 ()2 tk OPOQ kt ， 即2OP OQ 12 分 （II）法二：设( , ), ( , ),( ,), ( ,0),( ,0)A m n B s t M mn P pQ q， 则 (,),(,)ABsm tn APpmn=-=- ， (s m,t n),(, )MBMQqm n=-+=- 6 分
19、由 A,B,P 三点共线，则有 / /ABAP ，即 ntn msmp 所以 ()n msnsmt pm ntnt ； 7 分 由 B,M,Q 三点共线，则有 / /MBMQ ，即 tnn smqm 所以 ()n smmtns qm tntn 8 分 所以 222 2 22 (1) nsmt mtnsn sm t OP OQp q nttnnt 9 分 因为 A，B 在椭圆 E 上， 所以 2 2 1 2 m n，所以 22 22mn，同理 22 22st，10 分 代入（1）中，得 222 22222 2222 (22 )(22) 2 n sm tntn t OP OQ ntnt 即2OP
20、OQ 12 分 22.（1）解：由已知得 2 ( )(1) x f xxxe=+ +，(0)1f=，.2 分 22 ( )(21)(1)(32)(1)(2) xxxx fxxexxexxexxe =+ +=+=+， 由 02 f , 则函数在（0，1）处的切线斜率为 2，切线方程为21yx=+；.4 分 （2） ()() 2 1(1)() xx fxxaxa exxa e 轾 =+=+ 臌 .5 分 当1a =时， ( )0fx，( )f x单调递增，且 2 ( )(1)0 x f xxe=+恒成立， 2 ( )0f xe恒成立，符合题意；.6 分 当1a 时 当xa 时， 2 (1)1()
21、10 xaxx xax+-+ =+ -恒成立， 2 ( )0f xe恒成立，符合题意； 当xa-时， 1 min ( )( 1)(3)f xfa e-=-=-，即 12 (3)a ee ，即 3 3ae， 3 13ae ；.8 分 当1a -时， min ( )()(1) a f xfaae-=-=+，即 2 ( +1) a aee ，.10 分 令 , h( )(1),(1),( ) aa aaeah aae - =+恒成立；当0a 时， 2 h( 2)e-=-； 即 2 ( +1)2 a aeea 21a ；.11 分 综上:实数a的取值范围是 3 23ae .12 分 x (, 1) 1- ( 1,)a- a- (,)a ( )fx 正 0 负 0 正 ( )f x 单增 极大值 单减 极小值 单增
