1、11.2.1 11.2.1 三角形的内角三角形的内角教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.（重点）3.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）4.掌握直角三角形的判定.（难点）5.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180，与三角形
2、的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.一、三角形的内角和定理的证明新知探究l验证结论三角形三个内角的和等于180.求证：A+B+C=180.已知：ABC.证法1：过点A作lBC，B=1.(两直线平行,内错角相等)C=2.(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180
3、，B+C+BAC=180.12新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.CBAED12新知探究CBAEDF证法3：过D作DEAC,作DFAB.C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等)A+AED=180,AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.想一想：同学们还有其他的方法吗？新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.C
4、 A B 12345l A C B 12345l P 6m CBA12新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.u思路总结为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.u作辅助线新知探究例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.ABCD解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得BAD=BAC=20.12在ABD中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.二、三角形的内角和定理的运用新知探究【变式题】如图，CD是ACB的平
5、分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数解：A50，B70，ACB180AB60.CD是ACB的平分线，BCD ACB30.DEBC，EDCBCD30，在BDC中，BDC180BBCD=80.12新知探究例2 如图，在ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又CFDAFE，CFD60.在CDF中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.总结归
6、纳4新知探究例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.解:设B为x，则A为(3x)，C为(x 15)，从而有3x x(x 15)180.解得 x 33.所以 3x 99，x 15 48.答：A，B，C的度数分别为99，33，48.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.新知探究【变式题】在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数1213解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE，即可求得DCE的度数比例关系可考虑用方程思想求角
7、度.新知探究解：A B ACB，设Ax，B2x，ACB3x.ABACB180，x2x3x180，得x30，A30，ACB90.CD是ABC的高，ADC90，ACD180903060.CE是ACB的平分线，ACE 9045，DCEACDACE604515.121312新知探究在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是_三角形.练一练：在ABC中，A=35，B=43，则 C=.在ABC中，A=B+10,C=A+10,则A=，B=，C=.102直角605070新知探究北.AD北.CB.东E例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看
8、A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是_.例3 如图，C=90,1=2，ADE是直角三角形吗？为什么？ACE 9045，出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE，CE是ACB的平分线，还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ABACB180，了解直角三角形两个锐角的关系.了解添加辅助线的方法及其目的我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.CAD=BAC=30，例1 如图
9、，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.【变式题】如图，ABC中，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于F，A与BFC又有什么关系？为什么？=180-（78+60）直角三角形的两个锐角互余如图，AB，CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD=38，则A=_.2+A=90.DFB+BFC=180，解：CAB=BAD-CAD=80-50=30.A+D=90，几何问题借助方程来解.一、三角形的内角和定理的证明新知探究解：CAB=BAD-CAD=80-50=30.由AD/BE,得BAD+ABE=180.所以ABE=180-BAD=180-80=100,ABC
10、=ABE-EBC=100-40=60.在ABC中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90.答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.北.AD北.CB.东E新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.解：如图，由题意得BEAD,BAD=40，CAD=15，EBC=80，EBA=BAD=40，BAC=40+15=55,CBA=EBC-EBA=80-40=40，ACB=180-BAC-ABC =180-55-40=85DE新知探究问题1：如下
11、图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?30+60=9045+45=90问题引导三、直角三角形的两个锐角互余新知探究问题2：如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等于多少呢？在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，得A+B+C=90,即A+B=90.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余u应用格式：在RtABC 中，C=90，A+B=90直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC 可以写成RtABC 总结归纳A=C，想一想：同学们还有其他的方法吗？CED=90，ACE 9045，直角三角形的性质
12、与判定B=2.ABE+A=90，B+C+BAC=180.例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，AACB=180-ABC-CAB在RtBDE中,CED=B=78一、三角形的内角和定理的证明所以ABE=180-BAD=180-802+A=90.由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.二、三角形的内角和定理的运用在BDC中，BDC180BBCD=80.A=DFB.即ADE是直角三角形.解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求例2 如图，C=D=90,AD，BC相交于点E.新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：B=C=90，ABCD，A=D.方法二（利用直角三角形的性质
13、）：B=C=90，A+AOB=90，D+COD=90.AOB=COD，A=D.例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，A与D有什么关系？图典例精析新知探究解：A=C.理由如下：B=D=90，A+AOB=90，C+COD=90.AOB=COD，A=C.（2）如图，B=D=90，AD交BC于点O，A与 C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？新知探究例2 如图，C=D=90,AD，BC相交于点E.CAE与DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在RtACE中，CAE=90-AEC.在RtBDE中,DBE=90-BED.AEC=BED，CAE=DBE.二、三角形的内角和定理的运
14、用从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？=180-55-40=85为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.证法3：过D作DEAC,作DFAB.AOB=COD，BP平分ABC，CP平分ACB，EDCBCD30，CAE=DBE.3x x(x 15)180.了解添加辅助线的方法及其目的CED=90，B=，C=.CD是ABC的高，ADC90，AB BA会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.CED=90，答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.x2x3x180，得x30，PBC+PCB=（ABC+ACB）=
15、60(两直线平行，同旁内角相补)【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.新知探究解：CDAB于D，BEAC于E BEA=BDF=90，ABE+A=90，ABE+DFB=90.A=DFB.DFB+BFC=180，A+BFC=180.【变式题】如图，ABC中，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于F，A与BFC又有什么关系？为什么？新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形A=CA=D总结归纳新知探究问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在ABC中，A+B=
16、90，那么ABC是直角三角形吗？在ABC中，因为 A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.于是ABC是直角三角形.四、有两个角互余的三角形是直角三角形BCA新知探究ABC应用格式：在ABC 中，A+B=90，ABC 是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.总结归纳新知探究典例精析例3 如图，C=90,1=2，ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE(12解：是.理由：在RtABC中，2+A=90.1=2,1+A=90.即ADE是直角三角形.新知探究例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是直角三角形吗？为什么？解：ABD是直角三角形.理由如下：CEAD，CED=90，C+
17、D=90，A=C，A+D=90，ABD是直角三角形.课堂小结三 角 形 的内 角 和 定 理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 直角三角形的性 质 与 判 定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形课堂小测1.求出下列各图中的x值x=70 x=60 x=30 x=50 四、有两个角互余的三角形是直角三角形解：DEAB，FEA90ADC=180-C-CAD=72.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?=180-（78+60）解：DEAB，FEA90一、三角形的内角和定理的证明例3 如图，C=90,1=2，ADE是直角三
18、角形吗？为什么？2+A=90.由题意得BEAD,BAD=40，ABE+A=90，还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？A=EDF.ACB=180-ABC-CAB了解添加辅助线的方法及其目的证法3：过D作DEAC,作DFAB.由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.直角三角形的性质与判定想一想：同学们还有其他的方法吗？B=，C=.=180-（78+60）在ABC中，因为 A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.课堂小测2.如图，则1+2+3+4=_.BACD4132E40（280 课堂小测3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数解
19、：A+ADE=180，ABDE，CED=B=78 又C=60，EDC=180-（CED+C）=180-（78+60）=42课堂小测4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.解：B=42，C=78，BAC=180-B-C=60.AD平分BAC，CAD=BAC=30，ADC=180-C-CAD=72.12课堂小测5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数解：ABC中，A=60，ABC+ACB=120 BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180，BPC=180-60=12012拓 展课堂小测6.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是_.907.如图，AB，CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD=38，则A=_.52第1题图第2题图直角三角形8.在ABC中，若A=43，B=47，则这个三角形是_.课堂小测9.如图所示，ABC为直角三角形，ACB=90，CDAB，与1互余的角有（）AB BA CBCD和A DBCD C
