1、6.1 非线性系统概述非线性系统概述 6.2 描述函数法描述函数法 6.3 非非线性系统分析与应用线性系统分析与应用 6.4 MATLAB应用实例应用实例 第6章 非线性系统分析6.1 非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。v 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。v 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：1.饱和非线性 2.死区特性 3.具有不灵敏区的饱和特性具有不灵敏区的饱和特性 4.继电特性继电特性 5.间隙特性间隙特性 v 饱和非线性 实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输 入
2、量之间的线性关系。当输入量超出该范围时，其输出 量则保持为一个常值。饱和非线性特性如图a所示。BBCCxy()a0死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。具有不灵敏区的饱和特性 在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限 幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范 围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。（霍尔元件霍尔元件继电特性 由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如
3、图所示。a mayMmaaMx00i ma时，触头吸合；时，触头吸合；i 1x01，t lnx0/(x0 1)时，随时，随t增大，增大，x(t)递增；递增；t=lnx0/(x0 1)时，时，x(t)为无穷大。为无穷大。当当x01x0 ma时，触头吸合；（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。当X为变量，由开始增加时，曲线从负无穷处出z=-1/x+j*y;解 将两非线性环节等效合并，结构图化为因此，曲
4、线与 在 处两次相交，两次相交的X值分别为（3）半稳定极限环7时，曲线的端点值为极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。syms z;clear节和一个线性部分相串联的典型形式；设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j)与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极 限环振荡)稳定？不稳定？振幅（A）？频率()？微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。当微小扰动使振幅A减小到 d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，系统稳定；振幅A继续
5、减小；不能返回到a。a点为不稳定自振交点。当微小扰动使振幅A增大到e点 时，e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹 包围，系统稳定；振幅A减小；返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，系统不稳定；振幅A增大；返回到b。b点为稳定自振交点。)(1)(0)()(10)()(10000ANjGKjGANKjGAN基准负倒数描述函数基准负倒数描述函数理想继电器特性)0A(AM4)A(N0NIm01NRe01AA0AMAAN4)(1 0非线性特性的尺度系数非线性特性的尺度系数0K死区继电器特性)aA()Aa(1AM4)A(N22114)(1 AaMAAN2002
6、14)(14)(AaAaaMANKAaAMAN2001141)(1,AaAaANaMK有极值时，当时，当000111NNANaA（极值）时，当即令21 22210100NaAaAAaNAa0NIm01NRe01AAaA2aA 2具有饱和特性的非线性系统Aa时kAN1)(1A 时)(1AN负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-)()(1sin2)(121aAAaAaAakAN一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。1 非线性系统概述常见的典型非线性特征有以下几种：利用非线性特性改造非线性d=conv(conv(1 0,0.具有理想继电器特性的非线性系统譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量
7、范能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。利用非线性特性改造非线性虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。死区继电特性非线性系统的描述函数法分析=N1Asint+N2Asint与系统结构参数、初始条件构，从而大大增加了工程使用的困难。具有理想继电器特性的非线性系统z=solve(-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。t=lnx0/(x0 1)时，x(t)为无穷大。设t=0，系统
8、的初始状态为x0具有死区特性的非线性系统Aa时kAN1)(1A 时)(1AN负倒描述函数轨迹=实轴上（-,-1/k)。)()(1sin22)(121aAAaAaAakAN具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为 G平面上一条曲线。kAN1)(1A 时)180()(11112121BAtgBAAAN具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴MAAN4)(1具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。)sin180(4)(110AhMAAN)(4)(1 )1(44)(N 负实轴，AANMAAMA例6-3：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。
9、解：.66.11830)(,2)(202 0)()45()2(104530 )2)(1(10)(224224jGRjGIjjjjjGem时当自振荡率得令.(1.2 .66.1466.11 b1)(自振幅值）于是令持振荡。自持振荡，且为稳定自点，相交与与由图知，AANNjG2非线性环节：例6-4：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。7.0,7.1 aM)()(14)(2aAAaAMAN线性环节：)10025.0)(101.0(460)(jjjjW)(1)(0)()(10)()(10000ANjWKjWANKjWAN7.0,7.1 aM)aA()Aa(1AM4)A(N20NIm01NR
10、e01AAaA2aA 22001141)(1,43.2 AaAaANaMK（极值）时，当即令21 22210100NaAaAAaNAa有极值时，当时，当000111NNANaA)10025.0)(101.0(460)(jjjjW ,43.2 0aMK001800025.0arctan01.0arctan90)(srad/200 )(0jWK0NIm01NRe01AAaA2aA 2自振频率：srad/200 84.1A23.21141)(120AaAaAN自振振幅：84.1,757.038.0,92.0AAa23.20025.0101.0146043.2)(220jWK 二、非线性特性的应用非线
11、性阻尼控制非线性阻尼控制非线性阻尼下的阶跃响应K试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特性，死区继电器特性M M3 3，a al l。不能返回到a。（5）在此应用相对描述函数的概念。100*2(1/2)系统稳定；将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统的运动规律的全部信息。当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，n=0 0 0 460;（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极
12、限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。第6章 非线性系统分析这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的z=solve(-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.=N1Asint+N2Asint稳定？不稳定？当N1和N2是复数时，该结论仍成立。设非线性元件的输出为奇对称函数间隙特性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。掌握非线性环节描述函数的求法及用描述函数法分析非线性系统的稳定性方法；必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性
13、特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。Aa=1A)A(N1)A(N12a2A)3613()6(j5K)3j)(2j(jK)j(G242G(jG(j)轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值0)3613()6(K)j(GIm2426524.0667.032|)3613()5(K|)j(GRe6246G(jG(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：aa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点22)A1(112A)Aa(1M4A)A(N1524.06M2a|)A(N1max32)A1(112A)A(N12a a不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳
14、定自振交点稳定自振交点A11.11A22.366max6|)A(N1|)j(GRe如要求稳定如要求稳定1 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K KK6|)3613()5(K|)j(GRe624672.15K max6|)A(N1|)j(GRe2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M Ma2A M2a|)A(N1maxM2a32|)j(GRe636.2aM取取a=1a=1、M=2M=2785.04|)A(N1max自振分析(定量)自振必要条件：例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。解 作图分析，系统一定自振。
15、1)()(jGAN由自振条件：1)2)(1(104 jjjA)2(3)2)(1(4022 jjjjA2340 A122.2640 A得：比较实/虚部：0)2(2 2 1)()(jGAN分析：可以调节K,t 实现要求的自振运动。1)()(jGAN1)2)(1(4 t tjjjKeAMj)2(3422 t t jAMKej)32arctan(54242 141 AM 322.031arctan93.910t t K解代入比较模和相角得例6-5 系统如右，欲产生 的周期信号,试确定K、t 的值。41A 例6-6 非线性系统结构图如右图所示，已知：(1)自振时,调整K使 。求此时的K值和自振参数(A,
16、)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。)1(818)(1,2222AAjAAANhM 135)1(2)(ssKsG jAAAN 18)(22 jAAN 18)(12 881112)1(2)(2 jjKjjKjG 解(1)(2)依图分析：,AK2 A 6.3283927.081 cAK88 j 例6-7 非线性系统结构图如右图所示，已知：(1)时，系统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。(2)G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。)(14)()(,)1(1)(221hAAhAMANsKsGsssG 1)(3 sG解 先将系统结构图化为典型结构
17、解法II 特征方程法 32111)(GGGGsG 解法I 等效变换法132111)(GNGGGGs 01)(1321 GNGGGsD111321 GGGGN13211)(GGGGsG 例6-8 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)0)()()(1)(11 sGsGANsD)(1)()(11sGsGAN 1)(1)()(11 sGsGAN5.05.0)1(5.0)(1)()(*211 ssssGsGsGG*(j):QQAA 0 3601)0(*jG5.05.0)1(5.0)(1)()(*211 ss
18、ssGsGsG 900)(*jG121145.05.0)1(5.04)()(212 jjAjjAMjGANM从稳定区穿到不稳定区的点 不是自振点分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为令 jjA 221)1(41)(4 A 1122 273.1 QA1 解 将两非线性环节等效合并，结构图化为1)41)(1(5.2)(142 jjjAhAM例6-9 非线性系统如图所示，分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。,2,1 KhMa依自振条件1)()(jGAN)541(5.0102222 jjAA )41(522 j比较虚实部5.0 25.15.055.0102222 AA
19、 分析可知：系统存在自振5.0 25.15.055.0102222 AA 0621.1486.624 AA 2241.62605.02A 495.25104.021AA 495.25.02AA 894.025.11115.02 cAAcx79.2894.0294.2894.0 AAc 79.25.0cA 利用线性部分改造非线性例2 用局部反馈消弱非线性特性的影响例1 改变线性部分的参数利用非线性特性改造非线性例4 间隙特性的改造例3 饱和+死区 非线性特性的利用例5 为特定目的引入非线性环节例6 在测速反馈中引入死区 演示 演示 演示小小 结结、非线性系统的基本概念、非线性系统的基本概念、典型
20、非线性、典型非线性、描述函数的概念和典型非线性的描述函数、描述函数的概念和典型非线性的描述函数、描述函数分析方法、描述函数分析方法描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的稳定性和自持振荡。稳定性和自持振荡。、非线性的应用和非线性校正。、非线性的应用和非线性校正。相平面法 适用于一、二阶非线性系统的分析，是时域分析法在非线性系统 中的推广。方法的重点 将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两 个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变 量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时
21、间响应进行判别。6.3 相平面法相平面法相平面法所得结果比较精确和全面。但是对于高 于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结 构，从而大大增加了工程使用的困难。相平面法的实质：将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统的运动规律的全部信息。即对一瞬间，系统处于一定状态时，可用几个变量来表示，如二阶系统，可用两个变量 来描述相应的状态，在平面上可定出一个点，随时间变化，就形成一轨线，称相轨迹，这个平面称为相平面。),(xx 相轨迹的绘制：二阶系统：),(xxfx 是非线性函数fxxxfdxxddxxdxdtdxdxxddtxdx),(.).(xfxxx 作曲线为横
22、轴，为纵轴，取1.解析法2.等倾线法等倾线法：xxxfdxxd),(c :dxxd令cxxfx),(有：等倾线dxxd 即为相轨迹上切线的斜率切线方向场切线方向场解解例例3 3 系统方程系统方程 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。0 xxx)(xxxdxdxx xxx)(1xx 等倾斜线方程等倾斜线方程xx )1(xx)1(根与相轨迹根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点j0j0j0相轨迹的特征：2.通过x轴时，相轨迹与x轴垂直 v xxxfdxxd),(xxxfc),(cx则0 0 x时，相轨迹：从左 右（随x增加）0 x时，相轨迹：从右
23、 左（随x减小）1.4.奇点只可能出现在x轴上，对线性系统而言，奇点就是原点（平衡点）00),(xxxfdxxd交不定，相轨迹在此处相则dxxdc 轴对称轴对称，相轨迹关于，相轨迹关于若若x),(),(xxfxxf轴对称轴对称，相轨迹关于，相轨迹关于若若yxxfxxf),(),(，相轨迹关于原点对称，相轨迹关于原点对称若若),(),(xxfxxf3.奇点和奇线 实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内。虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。
24、极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1）稳定极限环（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。非线性系统相平面分析随动系统分段线性化0 ,0 ,)()()()(1.1.).(esignTeKeeJxxxexxex
25、xRtxxsignTxTeJxJTeKsEsxsxsJsTKsEcyccrcrrrrcccfrfyrcfy于是设又则 ,0e决定。类型由奇点为0)0,(0000eKeeJKTeJeKeTdeedTeKeeJyyceKTeyccyyc稳定节点两个负实根稳定焦点一对实部为负的复根则设奇点类型奇点为110 0,0,00 :)0,(:0000yyyceKTeyccyKJeKeeJKTeJeeKTdeedTeKeeJyc则 ,0eeeABycKTycKT 10对于则 ,0e),(0KTyc奇点为),(:0KT yc奇点为则 ,0e8.4 用MATLAB进行非线性控制系统分析通过具体例子，介绍MATLAB
26、在描述函数法分析中的应用。在计算机辅助分析中用到了相对描述函数的概念。非线性系统自振时 001()()k GjNX 死区继电特性的非线性控制系统例：已知死区继电特性的非线性控制系统如图所示，其中继电特性参数为M1.7，死区特性参数为0.7，应用描述函数法作系统分析系统是否存在自振？若有自振须求出自振的振幅x与角频率。解：1.方法一（1）带死区的继电型非线性环节的描述函数为 其负倒数函数为 24()1()MN XXX21()41()XN XMX MXN2)(1)(1XN 当X为变量，由开始增加时，曲线从负无穷处出)(1XN 发沿负实轴增加，相角始终为，所以 曲线位于)(0 jG)(1XN 平面
27、的负实轴上，幅值大小 随着X的增加先 2X减后增，在X增加到 时，有极大值56.1)(140jG0.71.710.646()mN X 1()N X作 曲线。)(jG)(jG（2）在图上作 曲线，当140时，曲线穿过实轴。)(1XN（3）当M1.7，0.7时，曲线的端点值为018056.1)(1XN因此，曲线与 在 处两次相交，两次相交的X值分别为0.7163.3ABXX死区继电特性非线性系统的描述函数法分析扰动作用使得系统的运动脱离A点。而在B点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自持振荡。振荡频率与振荡幅值如图可知分别为3.3140BBXX)(jGX)(jG对于A点邻域，被 曲线包围的段
28、上，是增幅的，不被 曲线包围的段上，是减幅的。因此在A点邻，2.方法二：MATLAB软件辅助分析（1）线性部分的频率特性为：（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：)1005.0)(101.0(460|)()(jjjsGjGjs)(1414)(0022XNKXXMXXMXN 2014)(XXXN43.27.07.10MK（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程 序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的 相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。%MATLABPROGRAMOK1.m clear syms t x y z c m x;m=1.7;c=0.7;for x=0.71
29、:0.1:7 x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)2);y=0;z=-1/x+j*y;plot(-1/x,y,k*)hold on end n=0 0 0 460;d=conv(conv(1 0,0.01 1),0.005 1);g=1.7/0.7*tf(n,d);for w=50:1:400 nyquist(g,w,w+1)hold on end 运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。相对负倒描述函数与Nyquist曲线 由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振幅X的实函数，其虚
30、部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求 syms w n;n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w)02460(1 0.01)(1 0.005)()2.43(0.011)(1 0.01)(0.0051)(1 0.005)jjjK G jjjjjj（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率)(0jGK与交点的 交点的角频率运行结果为 n=i+3/200*w-1/20000*i*w2 交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率 w=solve(1-1/20000*w2=0)
31、运行结果为 w=100*2(1/2)-100*2(1/2)即交点的角频率141.4rad/s。运行以下程序，将141.4rad/s代入线性部分的频率特 syms w;w=141.4;g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1);A=abs(g)程序运行结果：A=3.7271 即交点的 0(141.4)3.7271K G j)4.141(0jGK性计算交点的（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自振时有 syms z;z=solve(-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271);c=0.7;x=sqrt(z)*c;x=vpa(x,3)(1)(
32、000XNjGk3.7271)(10XN运行以下程序，由 ，求自振的振幅X。程序运行结果：x=.717 3.24 (6)所得结果与方法一非常近似。本章小结v 本章介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面分析法。v 描述函数法主要用于分析非线性系统的自持振荡。利用本方法时，首先应检查系统是否满足应用描述函数法的限制条件，参阅。v 描述函数法的一个很大的特点是：分析不受系统阶数的限制。在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。v 相平面分析法是研究一、二阶非线性系统的一种
33、图解方法。相平面图清楚地表示了系统在不同初始条件下的自由运动。v 本章基本要求：了解非线性系统的特点；掌握非线性环节描述函数的求法及用描述函数法分析非线性系统的稳定性方法；熟悉相轨迹的概念和性质，掌握相轨迹的绘制方法。典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：1.饱和非线性 2.死区特性 3.具有不灵敏区的饱和特性具有不灵敏区的饱和特性 4.继电特性继电特性 5.间隙特性间隙特性 v 具有不灵敏区的饱和特性 在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限 幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范 围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。继电特性 由于继电器吸合电压与释放电
34、压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。a mayMmaaMx00i ma时，触头吸合；时，触头吸合；i ma时，触头释放。时，触头释放。微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。分析可知：系统存在自振5.0 25.15.055.0102222 AA 0621.1486.624 AA 2241.62605.02A 495.25104.021AA 495.25.02AA 894.025.11115.02 cAAcx79.2894.0294.2894.0 AAc 79.25.0cA（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。相对负倒描述函数与Nyquist曲线 由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振幅X的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。
