1、第9 章 压杆稳定 第9章 压杆稳定 9-1 压杆稳定性的概念 9-2 两端铰支细长压杆的临界力 9-4 欧拉公式的适用范围 9-6 压杆稳定性计算 9-3 不同杆端约束下细长压杆的临界力 9-5 非细长压杆的临界应力 9-7 提高压杆稳定性的措施 第9 章 压杆稳定 压杆稳定的实例 例：如图所示发动机配气机构中的挺杆，在推动摇臂打开气阀时，受到压力作用。9-1 压杆稳定 对于细长杆件，受压开始时轴线为直线，接着被压弯，发生大的弯曲变形，最后折断。摇臂 气阀 挺杆 第9 章 压杆稳定 内燃机的连杆 撑杆跳运动员用的 杆 第9 章 压杆稳定 勃兰登堡门（BRANDENBURGER TOR）：它建
2、于1788年1791年，一直是德国统一的象征。第9 章 压杆稳定 第9 章 压杆稳定 压杆 第9 章 压杆稳定 第9 章 压杆稳定 第9 章 压杆稳定 其它可丧失稳定的结构：第9 章 压杆稳定?历史上发生过桥梁突然倒塌的严重事故，其原因是起初人们对压杆失稳还没有认识，对桥梁桁架中的某些杆件只进行了强度计算，却发生了失稳破坏。失稳破坏失稳破坏典型亊例 第9 章 压杆稳定 桁架结构失稳破坏 第9 章 压杆稳定 第9 章 压杆稳定 第9 章 压杆稳定?在工程实际中，要保证构件或结构物能正常工作，除了要满足强度、刚度条件外，还必须满足稳定性的要求。因此，在设计细长受压构件时，必须保证其有足够的稳定性。
3、?稳定性：稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力。结 论 第9 章 压杆稳定 物体平衡的稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 第9 章 压杆稳定?稳定失效：指构件在某种外力（例如轴向压力）作用下，其平衡形式发生突然转变。压杆稳定性的几个概念?稳定平衡状态：当承受的载荷小于某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线平衡状态。此时给杆加一 横向干扰力，杆便发生微小弯曲，干扰力去掉后，杆件将在平衡位置附近摆动，最终恢复到原来的直线平衡位置。这说明压杆原来的平衡状态是稳定的。第9 章 压杆稳定?临界状态：如图所示，当压力F=Fcr 时，一旦横向干扰力消失，杆件将在被干扰成的微弯状态下，达到新的平衡，既不恢
4、复原状也不继续弯曲。也即当 F=Fcr 时，压杆既可处于直线形式平衡，又可处于微弯形式平衡随遇平衡，是压杆稳定的临界状态 第9 章 压杆稳定?不稳定平衡状态：当压力F Fcr时，平衡状态的性质发生了质的变化。一旦存在微小的横向干扰力，压杆就会在微弯的基础上继续弯曲，再也不能恢复到原来的平衡状态。这说明压杆原来的平衡状态是不稳定的。?临界力或临界载荷：临界状态是压杆从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，一般用Fcr表示，它是判断压杆是否失稳的一个指标。第9 章 压杆稳定 crPcrP)(xMxxyyx y l 由平衡方程得：yPxMcr?)(（a
5、）挠曲线近似微分方程为 EIxMdxyd)(22?（b）将式（a）代入式（b）得 yEIPdxydcr?22（c）令 ，得微分方程：2kEIPcr?0222?ykdxyd9-2 两端铰支细长压杆的临界力 第9 章 压杆稳定 0222?ykdxydcrPxyl 通解为：kxBkxAycossin?由 x=0，y=0；得B=0，于是 kxAysi n?由 x=l，y=0；得:0si n?klA若A=0，则 y0，挠曲线为直线，无意义，只能 0sin?kl于是得：),2,1,0(?nnkl?2kEIPcr?由式 得：222lEInPcr?第9 章 压杆稳定 222lEInPcr?此解最小者为压杆的临
6、界力，但n=0，Pcr=0，无意义，故取n=1。即 22lEIPcr?这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式。第9 章 压杆稳定 xlnAw?sin?n=1 n=2 n=3 l 失稳曲线 第9 章 压杆稳定 0ypyq?20rprq?yC eC erxrx?1212yCCxer x?（）1211,2ri?yeCxCxx?(cossin)12附：求二阶常系数齐次微分方程 的通解 特征方程为 两个不相等的实根r1，r2 通解 两个相等的实根r1r2 通解 一对共轭复根 通解 第9 章 压杆稳定 9-3 不同杆端约束下细长压杆的临界力 22lEIFcr?两端铰支 Fcr?7.022lEIFcr?l 一端
7、固定、一端铰支 拐点 Fcr 拐点 l Fcr 拐点 两端固定?lEIF22cr5.0?Fcr 一端固定、一端自由?lEIF22cr2?第9 章 压杆稳定 各种支承压杆临界载荷公式的统一形式：一端自由，一端固定?2 一端铰支，一端固定?0.7 两端固定?0.5 两端铰支?1.0 其中：?长度系数(?l)2?2EI Fcr=(9-2)第9 章 压杆稳定 讨论：（1）相当长度?l 的物理意义 1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度?l。2?l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 半波正弦曲线的一段长度 第9 章 压杆稳定?为长度系数?l 为相当长度（2）横截面对某一
8、形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。?22lEIFcr?第9 章 压杆稳定 2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。第9 章 压杆稳定 其他杆端约束临界力计算 方法1：同欧拉公式，微分方程+边界条件 方法2：相当长度法 在压杆中找出长度相当于两端铰支的一 段（即两端曲率为零或弯矩为零），该段失 稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力即压杆 的临界力。第9 章 压杆稳定 l A B 1.一端固定一端自由?222lEIFcr?Fcr l C 相当于长度 为
9、 2l 两端铰支压杆的临界力 第9 章 压杆稳定 l B A C 2.一端固定一端铰支?227.0 lEIFcr?Fcr 0.7l 相当于长度为0.7l 两端铰支压杆的临界力。第9 章 压杆稳定 D A B C 3.两端固定?225.0 lEIFcr?Fcr 0.5l 0.25l 0.25l 相当于长度为0.5l 两端铰支压杆的临界力。第9 章 压杆稳定 l 1.3l 1.7l 2l（a）（b）（c）【例9-3-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。解：,2)(llaa?,3.1)(llbb?,19.17.17.0)(lllcc?,25.0)(llldd?（d）杆临界
10、力最大。第9 章 压杆稳定 9-4 欧拉公式的适用范围 临界应力与柔度：(?l)2?2EI Fcr=?22AlEIAFcrcr?欧拉公式：临界应力:AIi?2il?柔度:22?Ecr?(9-3)第9 章 压杆稳定 欧拉公式的适用范围：22?Ecr?该方程是建立在材料服从虎克定律基础上的 利用了挠曲线近似微分方程?22ddEIM xvx?Ep?22crPE?PpE?令：当 时，这时才能应用欧拉公式来计算压杆的临界力或临界应力。pcr?p?满足的 压杆称为细长杆或大柔度杆 p?第9 章 压杆稳定【例9-4-1】图示压杆的E=70GPa，?P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多
11、少。1.5m P y z 100 40【解】yIII?m inmmAIiy3204010012401003?9.90203105.17.03?il?8.6217510703?PPE因?P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：kNlEIPcr2.3341012)5.17.0(10401001070)(321239222?第9 章 压杆稳定【例9-4-2】图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，?P=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。l P d【解】3.99200102003?PPEdlddlIAlil464/4/42?Pdl?4mdlP48.241.03.994
12、?第9 章 压杆稳定【例9-4-3】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，?P=200MPa。试求此压杆的临界力。1m z y 20 60 P z x o【解】3.99200102003?PPEmmAIizz32.1760201260203?mmAIiyy77.560201220603?第9 章 压杆稳定 1m z y 20 60 P z x o,32.17mmiz?mmiy77.5?5.11532.1710002?zyyil?7.8677.510005.0?yzzil?压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。
13、MPaEycr1485.1151020023222?压杆临界力为 kNAPcrcr1781010602010148366?第9 章 压杆稳定 9-5 非细长压杆的临界应力 直线型经验公式：?bacra、b与材料性质有关的系数 scrba?bas?bass?令：Ps?只有,临界应力才能用直线公式计算，这样的压杆被称为中柔度杆或中长杆 s?当 时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。scr?此时，强度问题而非稳定性问题！第9 章 压杆稳定 临界应力总图 cr?il?22?Ecr?bacr?P?S?b a s s?P P E?2?s?cr第9 章 压杆稳定 9-6 压杆稳定性计算 工作压力：F 临界（压
14、）力：Fcr 工作应力：AF?临界应力：?stAF?工作安全系数：n 稳定安全系数：nst AFcrcr?稳定许用应力：?stcrstn?稳定校核方法：stcrnFFn?第9 章 压杆稳定 例9-6-1 两端铰支中心受压直杆，材料、截面形状 、求：4410306mmIz?4410235mmIy?解：1.计算截面的惯性半径 i (取最小)查表算得组合截面对其形心主轴 y、z的惯性矩?st?第9 章 压杆稳定?MPa8.97st?3.计算稳定许用应力st 根据=97，查表得=0.575，代 入公式可得压杆的稳定许用应力为 zyII?mm9.30AIiiyymin?zyii?且为等截面，故 2.计算
15、杆件柔度 (取最大)97ilminmax?第9 章 压杆稳定 例9-6-2 一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力 为 P=120KN，取稳定安全系数 nw=2，校核连杆的稳定性。在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l=940。在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880。z y x h=60 第9 章 压杆稳定 在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l=940。z y x h=60 解：(1)求柔度?cmhbhAbhIizz732.132123?3.54732.1941?izzl?il?第9 章 压杆稳定 在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880。z y
16、x h=60 il?cmbbhAhbIiyy722.032123?3.5461722.0885.0?zyyil杆在 xz 面内先失稳，应用?y 计算临界力。第9 章 压杆稳定 z y x h=60（2）求临界力，作稳定校核 因为?y=61 123，用经验公式计算 MPcr21000666.02352?压杆是稳定的 kNAFcrcr315?wcrnFFn?63.2120315第9 章 压杆稳定 z y x h=60（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等?c rc rAP?22Ecr?AlIzxy?1?AIlyxz15.0?llIIyz2124?ll?1IIyz4?第9 章 压杆稳定 例
17、9-6-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环，P=180KN，l=2500mm，r=60mm，稳定安全系数 nw=2.5，计算钢管壁厚t。P P l r t 第9 章 压杆稳定 P P l r t 解：按薄壁管考虑 trA?2tIr?3mmrtrtir4.42223?12359?il?用经验公式计算 第9 章 压杆稳定 P P l r t MPcr21223500666.02?5.2602212101803?tPAPcrcrP?trA?2mmt6.5?取壁厚 t=6mm，此时 1.0?rt不超过10%，可按薄环处理。第9 章 压杆稳定 例9-6-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例
18、，试选择工字型截面。已知材料的 E=206GPa，强度 许用应力?=140MPa。解：用试算法 先根据 A3 钢的强度许用应力求一截面作参考 140101803?AAPmmA12862?第9 章 压杆稳定 mmA12862?考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。选出 18号 工字截面 查表：A=30.6cm2，Imin=122cm4，截面的最小惯性 半径 imin=2cm 123125?il?用欧拉公式计算 第9 章 压杆稳定 KNEIlPcr39722?5.22.2180397?PPcr 稳定性不足，再选 20a 工字截面 查表：A=35.5cm2 ，imin=2.12cm 1231
19、18?il?用经验公式 第9 章 压杆稳定 123118?il?MPcr14223511800666.02?5.28.2?PAPc rc rP?20a 号工字钢可用。第9 章 压杆稳定 9-7 提高压杆稳定性的措施 22?Ecr?il?一、选择合理截面形状 二、尽量减小压杆长度 三、改善约束条件 四、合理选择材料 第9 章 压杆稳定 A相同，d/D=0.8,Fbcr=4.5 Facr （a）d D（b）?il?AIi 选择合理的截面形状（A相同）第9 章 压杆稳定 选择合理的截面形状（A相同）?il?AIi第9 章 压杆稳定?il?AIi 选择合理的截面形状（A相同）第9 章 压杆稳定 压杆的合理截面形状 第9 章 压杆稳定 2.合理调整约束 （1）各向柔度差不多少 发动机连杆 yyyil?zzzil?zy?第9 章 压杆稳定 （2）降低相当长度 合理调整约束合理调整约束 第9 章 压杆稳定 降低相当长度 第9 章 压杆稳定 降低相当长度 桁架的腹杆轴力为零（称为零杆）作用是降低相当长度。F F 0 0 0 0 0 上弦都是压杆轴力相等 第9 章 压杆稳定 大柔度杆 与E 有关，各种钢材 E 差不多少，互换无意义；中小柔度杆 与 s 有关，高强钢可提高临界力。3.合理选择材料 以结构钢为例 c?s?243.01cscr?22?Ecr?
