1、第三章第三章 导数与微分导数与微分第一节 导数的概念 第二节 求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数与参数方程导数 第五节 微分 第六节 导数在经济上应用一、速度与切线一、速度与切线二、导数的概念二、导数的概念三、函数可导性与连续性的关系三、函数可导性与连续性的关系四、函数变化率与边际模型四、函数变化率与边际模型第一节第一节 导数概念导数概念第一节 导数的概念问题导言微分学产生的历史背景 十七世纪人类创建了微积分.微积分的创建是人类精神的最高胜利.它对自然科学的发展产生了深远影响.在此期间,在自然科学领域发生了几件重大事件：1608年望远镜的发明,引起了天文学研究的高潮,推动了光学研究的发
2、展.1619年开普勒经过观测研究,提出了行星运动三大定律,引起了全世界的关注.在此阶段,人们提出了一系列与物体运动速度、加速度,曲线的切线相关联的问题.这些问题将其概括为两类：(1)变速直线运动物体的瞬时速度问题.(2)平面曲线的切线问题.1638年伽利略建立了自由落体定律与动量守恒定律的数学表达式,激起人们用数学求解问题的热情.这两类问题尽管内容和提法不同,但从思想方法上看都有一个共同的特征就是研究变量的变化程度及其相互关系.研究的代表人物是科学大师牛顿与莱布尼茨.一、速度与切线 例 设物体作自由落体运动,其运动方程为 .其中s 表示位移,t 表示时间.求 时刻的瞬时速度221gts)(0t
3、v0t 分析 对瞬时速度的理解 速度:用来描述物体运动快慢的物理量称为速度.时间路程速度 这里的速度是与时间间隔相关联的,它是距离与时间 之比,它反映的是该段时间间隔内的平均速度.tsv 即?)(0tv 瞬时速度:物体运动中某一时刻的速度.在此无时间间隔、无法运动、无法体现速度,构成矛盾体.为了确定瞬时速度就要给出数学上瞬时速度的定义.问题解决的思想方法：欲求瞬时速度ttt00)()(00tsttss平均速度tsv（当 很小时）vv tttsttstsvvttt)()(limlimlim00000其平均速度为问题的求解过程：20200021)(21)()(gtttgtsttsstggttsv2
4、1020)(21tgtgt当时间 很小时,tvv 在此 越小,越接近v,当 小得不能再小时tvtvv 当时间 在 取得增量 时,位移有增量t0tts)(0tts)(0tsss0000)21(limlimgttggtvvtt数据观察：时 随 的变化情况10ttggtv210t9.319.7519.795 19.799 519.799 9510.9,10.99,10.999,10.999 9,10.999 99,1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.000 0110.299.8499.80499.800499.8000491,1.11,1.011,1.0011,1.00011,1.0
5、00010.10.010.0010.00010.000 01tv时间区间t时间区间v由极限概念知,瞬时速度为平均速度的极限 设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t).其中s 表示位移,t 表示时间.求 时刻的瞬时速度0t)(0tv则在t0到 这段时间内的平均速度为tt0 当时间 在 取得增量 时,则在 到 的时间段内,位移有增量).()(00tsttsstt0t0tt0tttsttsts)()(00)(0ts)(0ttss1.变速直线运动的瞬时速度ttsttststvtt)()(limlim)(00000当 越小时,平均速度将越接近瞬时速度,当 无限趋近于零时,平均速度也将无限趋近瞬时速
6、度.为此,瞬时速度为平均速度当 时的极限,即|tt0t 在此,平均速度 称为位移 s 在 t0 到 时间段内的平均变化率,而瞬时速度 则称为位移 s 在时间t=t0的(瞬时)变化率.tstt0tst0lim变速直线运动的速度概括以匀代变 ，运用极限实现匀与变的转化.思想方法变速直线运动自由落体运动 瞬时速度 平均速度 方程221gts tggttsv21 ttsttstsv tss gtvvt0limttsttsvt)()(lim0vv ttsttsvvtt)()(limlim002.平面曲线的切线斜率 圆的切线:与圆只有一个接触点的直线称为圆的切线.对于一般曲线而言与曲线只有一个接触点的直线
7、未必为曲线的切线.莱布尼茨曾把曲线的切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线.附近另取C 上一点 N,作割线 N.割线的极限位置 T是指:当点 N 沿曲线C 趋于 时,弦长 ,且夹角0NMT0MNMCTN切线的定义：设有平面曲线C及C上一点,当点 N 沿曲线C 趋于 时,如果割线 N直线 T 就称为曲绕点 旋转而趋于极限位在点置 T.线 C 在点 处的切线.平面曲线的切线斜率M 为曲线上一点,N 为M 附近当 时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.0 xxxfxxfxyxxx)()(limlimtanlimtan00000T MNx0 0 x0 0+xyOx L x yy=f(x)xytan割线
8、斜率为设平面曲线 y=f(x),一点,作割线 M N.瞬时速度与曲线的切线斜率对比概括运用极限实现匀与变、直与曲的转化.瞬时速度ttsttstsv)()(00)(tss ttsttsvt)()(lim000 xxfxxfxyxx)()(limlim0000)(xfy 切线斜率xxfxxfxykMN)()(00 xxfxxfkxMT)()(lim000平均变化率与变化率结构特征二、导数的概念 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域,记 若极限 xx0),()(00 xfxxfyxyx0limxxfxxfx)()(lim000.)()(limlim)(00000 xxfxxfxy
9、xfxx即存在,则称其极限值为y=f(x)在点x0 处导数,记为)(0 xf 0ddxxxy或记为 即.limdd 00 xyxyxxx即函数在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.定义 设 y=f(x)在(a,b)内每个点都可导,则称xxfxxfxfx)()(lim)(0为y=f(x)在(a,b)内的导函数,简称导数.或记为xydd0|)()(0 xxxfxf给定点的导数与导函数之间关系说明：导数也可表示为.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxxy=f(x)在(a,b)内可导.若 ,则称 ),(bax 若在点 M 处函数可导则其切线方程为导数的几何意义xyxfxx000limta
10、nlimtan)(导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线斜率.).)()(000 xxxfxfy).()(1)(000 xxxfxfy的法线方程为曲线在MT MNx0 0 x0 0+xyOx L x yy=f(x)单侧导数左导数.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx右导数.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx或 定理 函数y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在 x=x0 的左、右导数存在且相等.例 讨论函数 在 x=0 处的可导性.
11、xxxxxf00cos1)(2xxx2sin2lim20 xfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(0解xxxcos1lim0,0sinlim2sinlim2200 xxxxx,0lim20 xxx),0()0(ff因所以y=f(x)在x=0可导,且.0)0(f三、可导性与连续性的关系设 f(x)在x=x0 可导,即).(lim00 xfxyx此时xxxfy)(0即有.0)(limlim000 xxxfyxx.0lim)(00 xxfxy，其中则由极限定理知所以,若f(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0 处连续.反之,若f(x)在x=x0处连续，则f(x)
12、在x=x0处不一定可导.例 讨论 f(x)=|x|在点x=0处的连续性与可导性.因此 f(x)=|x|在x=0连续.因此 f(x)=|x|在点x=0 处不可导.解，)0(0|lim)(lim00fxxfxxxfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(0,1lim|lim00 xxxxxx1lim|lim00 xxxxxx),0()0(ff所以),0(0lim)(lim300fxxfxx解因此 在点x=0处连续，但3)(xxf因此 在点x=0处不可导.3)(xxf(极限不存在).xxxfxfxx300lim)0()(lim综上所述,若y=f(x)在点x0处可导,则y=
13、f(x)在点x0 处连续,反之不然.例 讨论f(x)=在点x=0处的连续性与可导性.3x连 续关系概念导 数xyxfx00lim)(0lim0yx)()(lim00 xfxfxx000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx可导一定连续；连续未必可导连续但不可导函数图形特征xyoxyoxyo四、函数变化率与边际模型 设函数 y=f(x)在点x 处可导,则比值 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00 xxfxxfxy)()(表示区间长度为的区间上y 对x 的平均变化率.而平均变化率的极限称为函数 y=f(x)在点 x 处的变化率.它反映函数 y=f(x)在点 x 处的变化快慢程度
14、.经济学中的边际问题 在经济学中的边际问题就是变化率模型.设经济变量 是可导的，则称其变化率 为边际经济变量，亦称边际函数.在点 处的变化率称为 在点 处的边际函数值.)(xfy)(xf)(xfy 0 x0 x)(xf 设某产品产量为 单位时 成本函数为 ，收益函数为 ，利润函数为 ，则有下述边际函数.q)(qCC)(qRR)(qLL 产量增加一个单位产量增加一个单位时所增加的利润时所增加的利润 边际利润边际利润销量增加一个单位销量增加一个单位时所增加的收益时所增加的收益 边际收益边际收益产量增加一个单位产量增加一个单位时所增加的总成本时所增加的总成本 边际成本边际成本经济含义经济含义边际函数
15、边际函数qqCqqCqCq)()(lim)(0qqRqqRqRq)()(lim)(0qqLqqLqLq)()(lim)(0边际成本、边际收益与边际利润函数五、求导数举例 利用定义求函数导数步骤：)()(xfxxfy（1）求增量xxfxxfxy)()(（2）算比值xxfxxfxyxx)()(limlim00（3）求极限xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00（4）得导数00limlim00 xxxy0 xCCxy例 求 (C为常数）的导数Cxf)(0CCy解(1)求增量(2)算比值(3)求极限0)(C所以xxxxyxx2)2(limlim00 xxxxxxxy2)(22例 求 的导数
16、.2)(xxf222)(2)(xxxxxxy解(1)求增量(2)算比值(3)求极限xx2)(2所以例 求 的导数.xxf)(xxxxxyxx00limlim解xx21)(所以xxxxxxxxxxx211lim)(lim00一般地1)(xx为实数）(21)1(xxxxxx)2cos(2sin2,cos)2cos(lim22sinlimlim000 xxxxxxyxxxxxxxxysin)sin(例 求 的导数 sin)(xxf)(xf xxxysin)sin(解(1)求增量(2)算比值(3)求极限,cos)(sinxx所以)1(log1lim0 xxxax.ln11elog1axxaxxaxxx
17、x)1(log1lim0.ln11)(logaxxa所以.1)(lnxxxxxxxxfxxfxfaaxxlog)(loglim)()(lim)(00解 由导数概念得例 求 的导数xxfalog)(几个常用的基本初等函数导数公式对数函数三角函数幂函数常函数基本初等函数导数基本初等函数Cy 0)(C1)(xxxy xxcos)(sinxxsin)(cosxysin xycos axxaln1)(logxyalog xyln.1)(lnxx解 因为 ，从而M0点的切线斜率233)(xx 例 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程.)1,1(0M3xy,3|)(131xxky1=3(x1),即 y=3x2.3431 ),1(311xyxy即的法线方程为过0M所以过点M0的切线方程为，31112kk法线斜率1.导数的定义：3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;左右导数是否存在且相等.内容概括2.可导的充要条件AxfxfAxf)()()(000 xxfxxfxfx)()(lim)(0
