1、一、函数的单调性判别一、函数的单调性判别二、函数的极值二、函数的极值第三节第三节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值第三节 函数的单调性与极值 问题导言：函数的单调性是函数的最基本特性.在作函数的图形时,必须要掌握函数的单调性.如何判别函数的单调性？导数给出了判别函数单调性的简单方法.函数的极值是函数的一个重要特征，它与函数的最大值与最小值密切相关，也是引发导数概念产生的一类重要问题利用导数可以方便的确定函数的极大值与极小值.单调增加曲线上各点处的切线斜率非负,即 .如果函数 f(x)在某区间上单调增加,则它的图形是随 x 的增大而上升的曲线.0)(xfxyoy=f(x)一、函数的单调性xy
2、oy=f(x)观察导数符号 如果函数 f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是随x的增大而下降的曲线.单调减少曲线上各点处的切线斜率非正，即 .0)(xfxyoy=f(x)xyoy=f(x)观察导数符号由此可以归纳出函数单调性判定定理定理 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.则(1)若在(a,b)内 ,则f(x)在a,b上单调增加.0)(xf(2)若在(a,b)内 ,则f(x)在a,b上单调减少.0)(xf 证明 在a,b上任取两点 ,因 f(x)在 上连续,在 内可导.由拉格朗日中值定理可知,21xx),(21xx21xx),(21xx).)()()(1212xxfxfxf)()
3、(,0)()(0)(2112xfxfxfxfxf即得由(1)上单调增加.在所以a,bxf)()()(,0)()(0)(2112xfxfxfxfxf即得由(2).减少上单调在所以a,bxf)(说明：（1）将定理中闭区间a,b 改为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然有相仿的结论.单调区间：具有单调性的区间称为单调区间.（2）定理中的导数符号条件 （或 ）改成 （或 ）但等号只在有限个 点成立，定理的结论依然成立.0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf 确定单调区间的关键是找出单调区间的分界点.)(xfy xoyab1x2x 问题：函数单调区间的分界点具有哪些特征？函数单调区间分界点及其特征分析
4、函数单调区间分界点可能在导数为零的点与不可导点处取得.导数为零的点称为驻点.)(xfy xoy观察分界点导数导数为零点导数为零点 思考：导数为零的点和导数不存在的点是否一定为单调区间的分界点？未必.y图形观察y导数为零点导数为零点xo3xy 结论：若连续函数在导数为零的点和导数不存在点的两侧导数符号异号则该点为单调区间的分界点.xo2xy 确定函数单调性与单调区间的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求出使 f(x)=0 和 f(x)不存在的点,并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定 f(x)在各个子区间内的符号,从而判定出 f(x)的单调性.(4)根据函数 f(x)的单调
5、性写出单调区间.200)(21xxxf，解得令.0)()0,(xf，内在.0)()2,0(xf内，在.0)(),2(xf，内在所以，函数在(1,2)内单调增加.函数在 及 内单调减少.)0,(),2(.3)(32的单调性讨论函数xxxf例).,(所给函数的定义域为 解)2(336)(2xxxxxf2xyO 332xxy.ln1)(2xxxf.e0ln1 ,0)(xxxf解得，有令.0ln1)(1ln02xxxfxex，因此时，有当 .ln)(为单调增加函数此时xxxf.ln)(的单调性讨论函数xxxf例).,0(ln)(域为的定义xxxf解.0ln1)(1lne2xxxfxx因此，有时,当.l
6、n)(为单调减少函数此时xxxf.23833238的单调性讨论xxy.1,10 xxy得令.0不存在，时当yx32313135)1)(1()1(xxxxxxxy例).,(所给函数的定义域为 解y+0不存在+010 xy)1,()0,1()1,0(),1(在 单调减少.函数在 单增；),1(),0,1()1,0(),1,(观察函数 在导数为零点周围函数值大小变化情况.二、函数的极值 30050)(24xxxf导数为零点附近函数值或比该点值小或比该点值大.xy5 5-5-5 定义 设函数 f(x)在x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于x0的 x 都有(1)成立,则称 为f(x)的极大值，
7、称 为f(x)的极大值点；)()(0 xfxf)(0 xf0 x(2)成立,则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.)()(0 xfxf)(0 xf0 x极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.问题：函数的极值点在哪些点处取得？如何判别函数的极值？函数极值点及其特征分析 结论1：对于可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点处的导数为零.由此可得如下极值的必要条件.图形观察)(xfy xoy导数为零导数为零导数为零导数为零导数为零导数为零 定理(极值的必要条件)设函数 f(x)在点x0处可导且x0为f(x)的极值点，则.0)(0 xf证 只证 是极大值的情形，由
8、 存在知)(0 xf)(0 xf)()()(000 xfxfxf)()()(00 xfxfxf为极大值，所以有因为0)()(000 xxxfxfxx当0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx0)()(000 xxxfxfxx当0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx0)(0 xf所以 注意：(1)可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意,函数的驻点并不一定是函数的极值点.(2)有些函数的不可导的点也可能是其极值点.3xy xoyxy xyo 问题：如何判别函数的驻点与不可导点是否为函数的极值点？函数极值点特征分析 结论：若在导数为零的点的两侧导数符号异号，则该点为极值点
9、.即有如下极值判别法1.图形观察)(xfy xoy导数为零导数为零导数为零导数为零导数为零导数为零0 f0 f0 f0 f0 f0 f 定理(判定极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在点x0连续,且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内的极大值点.为，则，时当，时当)(0)(0)()1(000 xfxxfxxxfxx的极小值点.为则，时当，时当)(0)(0)()2(000 xfxxfxxxfxx 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号,则x0不是f(x)的极值点.当 时,f(x)单调增加，当 时,f(x)单调减少，因此可知x0为f(x)的极大值点.证明(1)由函数单调性的判别定理
10、可知，0 xx 0 xx，0)(xf，0)(xf)()(0 xfxf)()(0 xfxf(2)可以类似（1）进行证明.xoy0 xxoy0 xxoy0 xxf(x)+极极大大_极极小小+非非极极值值图形特征)(xf 0 xx 0 xx 0 x0 xx 0 xx 0 x0 xx 0 xx 0 xxy0 xxoy0 xxoy0 x极值第一判别法图表当 时,在(0,0)处取得极小值.定理(判定极值的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则，的极大值点为，时当)(0)()1(00 xfxxf,0)(,0)(00 xfxf的极小值点.为时，当)(0)()2(00 xfxxf 定理结论可
11、由函数 进行验证.2axy ay2 0a当 时,在(0,0)处取得极大值.0axoy(3)极值的判别 判别法1：判定每个驻点和导数不存在的点两侧的导数符号,依判定定理1判定是否为f(x)的极值点.判别法2：判别驻点处 的符号.求函数极值的步骤：)(),()1(xfxf 求出.)(0)()()2(不存在的点和的所有驻点求出xfxfxf.)()4(极值的求出xf)(xf .),(3,1021内存在在，得驻点令yxxy所以，函数的极大值为,极小值为.9623与极值点值的极求xxxy例所给的函数定义域为 .),(解法极小值极大值y+00+(1,3)1x),3(y)1,()3)(1(391232xxxx
12、y4)1(f0)3(f.9623与极值点值的极求xxxy例所给的函数定义域为 .),(解法)3)(1(391232xxxxy126 xy.),(3,1021内存在在，得驻点令yxxy06)1(f因为为函数极大值所以4)1(f06)3(f因为为函数极小值所以0)3(f.),(1,0021内存在在，得驻点令yxxy可知x=0为y的极小值点,极小值为0.xxxy12241223.683234与极值点值的极求xxxy例所给的函数定义域为 .),(解.)1(122xx非极值极小0y+0+01(0,1)0 x),1(y)0,(-1-0.50.511.520.511.522.5.的极值点 函数234683x
13、xxy .,0.1,1021不存在处在，得驻点令yxxxy.)1)(1(3xxx)1(2313135xxxxy.23833238的极值与极值点求xxy例所给的函数定义域为 .),(解(0,1)极小值01极大值极小值y+不存在+00(1,0)1x),1(y)1,(8989三、利用单调性与极值证明不等式),(),()(baxxgxf若证明)(),()()(1xFxgxfxF求）构造函数（(2)利用导数符号判别函数F(x)单调性或极值；(3)利用单调性或极值的概念说明不等式的成立.0)(.0)(,00 xFxFxx且有时若当.0)()(xgxf所以.)()(xgxf即，有时当0)()(,00 xFx
14、Fxx，知加可为单调增由)(xF用单调性证明.)(,0取得极大值且为唯一驻点若xFxx.0)()(xgxf所以.)()(xgxf即，0)()(0 xFxF，知极大值定义可由用极值证明0)(0 xF又1)1(2ln,1xxxx时证明：当.0)1()(0)1(),1()(FxFFxF由单调性定义可知，又函数增加单调上为所以，例证，则设1)1(2ln)(xxxxF0)1(41)121(21)(2xxxxxF，则即有01)1(2ln)(xxxxF1)1(2ln,1xxxx时所以，当.1e0 xxx，时试证当1,01)(.0)0()(),0)(,0)(0 xexexFFxFxFxFxxx故即所以函数.加单调增上的为知时，当例1)(,1e)(xxexFxxF则令证 方法一1,01)(.0)0()()0,()(,0)(0 xexexFFxFxFxFxxx故即所以函数.减少单调上的为知时，当.1e0 xxx，时当因此，方法二1)(,1e)(xxexFxxF则令0,0)(xxF得唯一驻点令01)0(,)(FexFx又0)0()(0FxFx为极小值点，所以.1e xx即
