1、一、第一换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法第二节第二节 换元积分法换元积分法第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一换元积分法.dcos22xxx求不定积分引例 分析 由于被积函数为复合函数，根据复合函数的特征，不妨设 则 于是积分为ux 2uxxdd2CxCuuuxxx22sinsindcosdcos2 验证 因为 ,所以上述积分正确.即22cos2)(sinxxxCxxxx22sindcos2一般而言，对于不定积分 有xxxfd)()()()d()(CxFxx xf定理具有连续导数连续，设函数)()(xuuf则且,)()(CuFduuf证)()(,)()(u
2、fuFCuFduuf则因为由复合函数微分法则 xxxfxF)d()()(d所以 )()d()(CxFxx xf定理结论也可以写成)()()()(xuduufdxxxf此式称为第一换元积分公式.第一换元法应用的基本过程xxxfd)()()(d)(xxfuufd)(CuF)(CxF)(还 原积 分换 元凑微分)(dd)(xxxux)()()(ufuF)(xu凑微分换元成新变量求原函数 还原成原变量 解决问题的特征：凑微分法主要解决复合函数与中间变量导函数乘积 的积分.)()(xxf 在凑微分换元积分还原的解题过程中,关键是凑微分,它是换元的前提.只有在被积函数的被积表达式中凑出 ,这样才能通过换元
3、 ,以u为积分变量作积分,即所求积分化为 ux)()(dd)(xxx从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.uufxxfd )()(d )(xxxfd)()(例 求积分xdxxsincos2xxdxdxxcoscossincos22解 因为，则因此，设xu cosxxdxdxxcoscossincos22Cuduu3231Cx3cos31凑微分换元求积分还原例 求积分解 因为，则因此，设xulnxxdx2ln1xxdxxdx22ln1lnln1xxdxxdx22ln1lnln1Cxuudulnarcsinarcsin12 对于凑微分法较熟悉后，可略去中间的换元步骤直接凑微分，将看作一
4、个变量，然后求出积分.即CxFxdxfdxxxf)()()()()(例 求积分dxxxsin解 Cxxdxdxxxcos2sin2sin例 求积分.d 42xxx )4(31)4(d421 d4232222Cxxxxxx解 例 求积分xxxd)ln(2解)lnd(d)(ln)(ln22xxxxx.31)(ln3Cx.d12arctanxxex 用凑微分法求积分时，必须要熟悉一些常见的凑微分公式，下面列出一些常见的凑微分形式.d)32cos(xxCxxxxx)3sin()3d()3cos(d)3cos(练习：求积分积分表达式凑微分形式).(d1dbaxax).(d21d2baxaxx.)(d)1
5、(1d1baxaxx).(d2d1bxaaxx.d)(xbaxfxxbaxfd)(2xxbaxfd)(1xxbxafd1)().(d1d12bxaaxxxxbxafd1)(2)(lndd1bxxxxxbxfd1)ln().e(d1debaxaxaxxbfaxaxde)e().sin(d1dcosbxaaxxxxbxafdcos)sin().cos(d1dsinbxaaxxxxbxafdsin)cos()arcsind(d112xxx)(arctandd112xxxxxxfd11)arcsin(2xxxfd11)(arctan2.d1xeexx例 求积分.d1sin12xxxCexexxexxx
6、22221d21d2解Ceeexeexxxxx)1ln(1)1(dd1Cxxxxxx1cos)1d(1sind1sin12.d2xxex练习：求积分.dsin2xx.d 13322xxxx例 求积分 ；xxad 122axaaxd 1112xxaxaxad 111d 1 2222解.arctan1Caxa下面再推出一些常用的积分公式xxad 122.arctan1Caxa 公式想到公式21duuCu arctan例 求积分 解.d 122xxaxax-axxad 111d 1 222axaaxd 111 2.arcsin Cax想到公式21duuCu arcsin 公式.d 122xxa.ar
7、csin Cax例 求积分.d 122xaxxaxaxaxaxd1121d 1 22解.ln21 Caxaxa)d(1)d(121axaxaxaxaxaxxaxad1d 121Caxaxalnln21例 求积分 ；xxd tan 类似地，有.|sin|lnd cotCxxx.|cos|ln=Cx dcossin d tan xxxxx解)d(cos cos1xx例 求积分 d scexxCxxCxxxxxxxxxxxtansecln1sin1sinln21sin1dsindcoscosdcos1d sce22解类似地，有Cxxxxcotcsclnd cscxxad 122.arctan1Cax
8、axxad 122.arcsin Caxxaxd 122.ln21 Caxaxa.|sin|lnd cotCxxxCxxxxtanseclnd sceCxxxxcotcsclnd csc.|cos|ln=Cx xxd tan 补充积分公式 用凑微分法计算积分时，由于选择不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.例 求积分.d 2sinxx)d(2)2sin(21d sin2 xxxx解 下面给出不同的求解方法.2cos21Cx xxxxxd cossin2d sin2 .sin)sind(sin22Cxxxxxxxxd c
9、ossin2d sin2.cos)d(cos cos22Cxxx例 求积分.d cos sin4xxx )sind(sin dcossin44xxxxx解.sin515Cx 例 求.d cos sin23xxxxxxxxxxxxxxxxxxxdcos)cos(cosdcoscos)cos1(dcoscossindsincossindcos sin4222222223解.cos51cos3153Cxx下面介绍一些三角函数的积分.d2cos5sinxxxxxxd)3sin7(sin21xxxx3d3sin31217d7sin7121.3cos617cos141Cxxxxxd2cos5sin例 求积
10、分解 .dsin3xxxxxdsinsin2xx cosdsin2xxcosd)cos1(2.coscos313Cxxxxdsin3例 求积分解二、第二换元积分法 分析 由于被积函数为无理函数,不便于求积分,因此应消去根式,也即使被开方式为平方式.)0(d22axxa引例 求不定积分 考虑到三角函数中的平方公式 ,也即 或 又 不妨作变换 则被开方式可以化为平方式,进而消去根式.taxsinax 1cossin22tttt22cossin1tataa22222cossin(1)作变换 令,sintax ttaxdcosd ).2,2(x sin 22222taaxattattataxxadco
11、s dcoscosd 2222）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta,arcsinaxt 则 cos ta且(2)求积分求积分步骤：Cxaxaxaxxa2arcsin2d 22222因为,arcsinaxt,sinaxt,1sin1cos2222axaaxtt(3)还原变量验证222222arcsin2xaxaxaxa)(tx 定理 设函数 f(x)连续,为单调可导函数其反函数为 且 ,若 是函数 的一个原函数,则)(1xt )()d()(d)(1CxFtttfxxf 0)(t)(tF )()(ttf)(1)()()()()(11
12、tttfxtFxF这就说明了 是的f(x)原函数.)(1xF).()(xftf证 由复合函数的求导法则及反函数求导公式,有第二换元法应用的基本过程tttfd)()(xxfd)(积分CtF)(CxF)(1换元)(tx)()()(ttftF)(1xt换元成新变量求原函数 还原成原变量 解决问题的特征：第二换元积分法主要解决被积函数为 等无理函数的积分问题.还原),(22xaR),(22axR)(nbaxR解(1)令 即 则 d12d11tttxx；xxd11例 求积分(1)(2)tx ttd122.1ln22CxxCtt1ln222tx ttxd2d.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，即令t
13、txtxtxd2d112(2)ttttxxd21d11 2 .1)1(3212CxxxCtt3322例 求积分.d13xxx.1ln632663Cxxxxtttd163，于是有，得，即令txxtxttd6d566解txxxtttd6d1 2353ttttd)1116(2Ctttt1ln663223tttd11)16(30).(d22axax，例 求积分ttataxaxdseccos1d1222解taxtan令，ttaxdsecd2 dsectt.tanseclnCtt).ln(lnln 122122aCCCxaxCaxaax其中ax22ax t0).(d122axax，例 求积分，令 sec tax 解，tttaxd tansecd d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Cttax22ax t).ln(lnln 122122aCCCxaxCaaxax其中.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令.),(2222去掉被积函数中的根号函数，换元法的目的是构成的有理和表示由其中xaxxaxR第二换元法常用的变换形式；可令tbaxxbaxxRnn,d ),(
