1、第八章第八章 无穷级数无穷级数 第一节 数项级数概念及性质 第二节 数项级数敛散性判别法 第三节 幂级数 第四节 函数的幂级数展开 第五节 幂级数应用 第一节第一节 数项级数概念及性质数项级数概念及性质一、数项级数概念一、数项级数概念二、数项级数及其性质二、数项级数及其性质第八章第八章 无穷级数无穷级数 导言：无穷级数是研究无限个离散量之和的数学模型.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具.本章主要介绍数项级数的概念、性质与敛散性判别法；幂级数的收敛性及将函数展开为幂级数.第一节第一节 数项级数概念及性质数项级数概念及性质 求和运算是数学的最基本运算，从初等数学到高等数学随时都
2、可以遇到，这些求和主要是有限项之和.如：数值相加、函数相加、数列求和等.如：等比数列求和.1)1(12rraarararaSnnn 实际问题中,除了要遇到有限项求和外,经常还要遇到从有限个数量相加到无穷个数量相加的问题.圆的面积问题:半径为 的圆的面积为 .在圆内作圆的内接正六边形其面积为 ；以正六边形边为底顶点在圆周上作三角形其面积和为 ；以此类推有则有这里就出现了无穷个数量相加问题.RS1a2a1aS 21aaSininaS1limnaaaS21321aaaS设数列,21,321,161,81,41,21n将数列的所有项按照给定的次序相加，得到表达式)1(21321161814121n用
3、表示上式的前n 项和，即nS,211S,41212S,21814121,nnS这样就得到一个数列,321nSSSS 由数列极限概念，可知数列 在 时的极限，可以看成（1）式的和.nSn由等比数列求和公式得nnnS21121121121于是1211limlimnnnnS121161814121n所以 此例说明为了解决无穷项相加问题，按照有限与无限之间的辨证转化关系，可以通过数列极限给出其和的概念，即数项级数概念.21221321一、数项级数的概念 定义1 若数列u1,u2,un,，按其给定次序用加号将其连接起来所得和式简记为 .称其为数项级数,称其第n 项un为通项或一般项.级数的前n项和1nn
4、unuuu21nniinuuuuS211称为级数的前n项部分和.nS数列 称为部分和数列.,32121211nnuuuuSuuSuS若 存在,则称级数 收敛,并称此极限值 S 为级数的和,记为 .若 不存在,则称级数 发散.定义2 设级数 的前 n 项部分和数列为，,:21nnSSSSSSnnlim1nnuSunn1nnSlim1nnu1nnu若 收敛，则称1nnu21nnnnuuSSr为级数 的余项.1nnu例 判定级数 的收敛性.1)12)(12(2nnn)12)(12(2532312nnSn解 所给级数的前n项和,11211limlimnSnnn可知故所给级数收敛，且和为1.121121
5、51313111nn,1211n例 判定级数 的收敛性.解 由 得11lnnnnnnnnunln)1ln(1ln)1ln(ln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln 21nnnuuuSnn可知)1ln(limlimnSnnn由级数的敛散定义知，级数 发散.11lnnnn 例 判定等比级数 的敛散性.1211nnnarararaar 解 若 时,1r.1)1(12rraarararaSnnn当|r|1时,因 ,所以 即级数发散.nnrlimnnSlim当 时,因 所以 即级数发散.1r.nSnnnSlim当 时,因 不存在,级数发散.1r,1,0122nnSSnnSlim11nnarra1综
6、上,当|r|1时,当|r|1时 发散.11nnar 例(芝诺悖论)乌龟与阿基里斯赛跑问题:芝诺(古希腊哲学家)认为如果先让乌龟爬行一段路程后,再让阿基里斯(古希腊神话中的赛跑英雄)去追它,那么阿基里斯将永远追不上乌龟.芝诺的理论根据是：阿基里斯在追上乌龟前,必须先到达乌龟的出发点,这时乌龟已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必须赶上这段路程,可是乌龟此时又向前爬行了一段路程如此下去,虽然阿基里斯离乌龟越来越接近,但却永远追不上乌龟.该结论显然是错误的,但从逻辑上讲这种推论却没有任何矛盾这就是著名的芝诺悖论.在此,我们用数学的方法进行分析反驳.设乌龟与阿基里斯起跑时的间距为 ,乌龟的速度为 ,阿
7、基里斯的速度是乌龟的100倍,则由乌龟爬行到 的时间与阿基里斯到达 的时间相等有1sv2A1A0A1A2A3A4A1s2s3s4s以此类推所以,阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为vsvs1001210012ss 即1111001100sssnnn11211112112199100)1001()1001(10011 )1001()1001(1001 ssssssssssnnn由计算可知当阿基里斯追到离起点处 时已经追赶上了乌龟.199100s二、数项级数的基本性质 性质1 若级数 收敛,其和为S,则对任意常数 ，则级数 也收敛,且其和为k S.1nnu1nnku0k证 设级数 与 的部分和分别为
8、与1nnu1nnkunSnTnnnkSkukukuT21由于 ，于是极限 与 同时收敛或同时发散，从而级数 与 的敛散性相同.且)0(kkSTnnnnTlimnnSlimnunkukSSkkSTnnnnnnlimlimlim 性质2 若 收敛,其和为S；收敛,其和为T 则 必收敛,其和为 .1nnu1nnv1)(nnnvuTS 证 设 ，的部分和为 ，与1nnu1nnvnSnT1)(nnnvunRnnnnnTSvuvuvuR)()()(2211因为 ，所以 Sunn1Tvnn1SSnnlimTTnnlimTSTSTSRnnnnnnnnnlimlim)(limlim于是所以，级数 收敛于1)(n
9、nnvuTS 性质3 在级数 中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.1nnu 性质4 收敛级数添括号后所得级数仍收敛且和不变例 判定 的收敛性.13521nnn解 因为等比级数 与 均收敛121nn所以由级数收敛性质知 收敛.13521nnn135nn(1)若 收敛，发散,则 必定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(2)若 发散，也发散,则 不一定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(4)若 发散,则添括号的新级数不一定发散.1nnu思考与练习：以下命题请给出证明或反例.(3)若级数 发散,则级数 (k0)必定发散.1nnu1nnku 定理 (收敛必要条件)若 收敛,则必
10、有1nnu.0limnnu又 由极限的运算法则可知1nnnSSu证 由于 收敛，因此 .1nnuSSSSnnnn1limlim，注意：这个定理的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.1nnu.0limlim)(limlim11SSSSSSunnnnnnnnnnnnnuulim 0lim1nnu推论 若 或 不存在,则 必定发散.例 证明调和级数 发散.nnn13121111nknknS11131211 证明一 构造几何图形，由图可知级数的部分和等于图形中矩形面积之和此部分和大于曲边梯形的面积即)1ln(11111ndxxkSnnkn)1ln(limnn因所以nnSlim故调和级数发散.1 2 3 4 n n+1xy1 证明二 假设级数收敛其和为S,即 则SSnnlimSSnn2lim于是0)(lim2SSSSnnn而212121212121112nnnnnnSSnn故0)(lim2nnnSS由此矛盾，所以级数发散.对于调和级数 有 但级数发散.11nn.01limlimnunnn例 判定级数 的敛散性.214332nn解 所给级数的通项 ，21nnun,0121limlimnnunnn所以级数为发散级数.
