1、一、洛必达法则与一、洛必达法则与 型未定式型未定式二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 ,00 确定未定式的极限是求极限的主要类型常见的未定式主要有：在同一极限过程下 第二节 洛必达法则 由无穷小的商和无穷大的商形成的 型未定式；由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式；由无穷大与无穷大的差形成的 型未定式；由无穷小与无穷大之间的幂形成的 型未定式.,00000,1,0 如何来求解这些未定式的极限？法国数学家洛比达给出了解决这些未定式极限的最有力工具洛比达法则.型未定式，洛必达法则与一00.，0)(lim,0)(lim )1(00 xgxfxxxx定理(洛比达
2、法则)若f(x)和g(x)满足下列条件：，且存在与可以除外点的某邻域内在点0)(,)()(),()2(00 xgxgxfxx，或无穷大存在)()()(lim )3(0 xgxfxx.)()(lim)()(lim 00 xgxfxgxfxxxx那么 证 由于讨论的是函数在点 的极限，而极限与函数在点 的值无关，所以补充 与 在 的定义令 ，则 与 在点 连续在 附近任取一点x，并应用柯西中值定理，得 0 x0 x)(xf)(xg0 x0)()(00 xgxf)(xf)(xg0 x0 x)()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf之间）与介于（0 xx00,xxx时由于.)()
3、(lim)()(lim)()(lim)()(lim 0000 xgxfgfgfxgxfxxxxxxx所以,)(lim,)(lim)1(00 xgxfxxxx,0)(,)()()()2(00 xgxgxfxxxx且存在与，可以除外的某邻域内在，或无穷大存在)()()(lim)3(0 xgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx那么定理(洛比达法则)若f(x)和g(x)满足下列条件：对于 型未定式极限也有类似的求极限法则 说明:(1)对于求 未定型极限的洛比达法则,不仅适用于极限过程 ,对于极限过程 只要定理的条件作相应的修改,定理的结论仍成立.或000 xx,0 xx
4、xx,(2)在使用洛比达法则求极限时,判别是否为 未定型是使用法则求极限的前提.若法则使用后仍为 未定型,则法则可以重复使用.或00或00)()(lim)()(lim)()(lim000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx 例 求极限极限为 未定型,由洛必达法则有00解123lim2331xxxxxx123lim2331xxxxxx12333lim221xxxx23266lim1xxx)()ee(limeelimaxaxaxaxaxax.eelimaxaxax求例极限为 未定型,由洛必达法则有00解.e1elimaxax.sin2eelim0 xxxxxx求)00(cos12eelimsin
5、2eelim00型xxxxxxxxxx例解)00(sineelim0型xxxx.2coseelim0 xxxx极限为 未定型,由洛必达法则有00例xxxtancos1lim求解xxxtancos1lim0cossinlimcos1sinlim22xxxxxx.lnlim3xxx求例解3233lim/13limlnlimxxxxxxxx.lncotlnlim0 xxx求xxxxxxx1)csc(cot1limlncotlnlim200.1cos1limsinlim00 xxxxxxxxxcossinlim0例解 极限为 未定型,由洛必达法则有),0(limNnexxnx例 求极限解 极限为 未定
6、型,连续洛必达法则有221)1(limlimlimxnxxnxxnxexnnenxex0!lim1)1(limnxxnxnnxenexnn.3sin)21ln(lim0 xxx求由等价无穷小代换,得例00解所给极限为 型，由洛必达法则得，又xxxxx33sin,2)21ln(,0因为3232lim3sin)21ln(lim00 xxxxxx323cos3212lim3sin)21ln(lim00 xxxxxx也可由等价代换求此极限例 求极限)1ln(tanlim20 xxxxx解 先用无穷小等价代换化简，再用洛必达法则得xxxxxxxxxxxxxxxx6sectan2lim31seclimta
7、nlim)1ln(tanlim202203020 xxxxx200seclimtanlim31xxxx20sectanlim3131（等价代换化简）（洛必达法则）（运算法则）使用洛比达法则应注意的问题：1.使用前必须判别是否为 未定式.2.使用中要注意化简，以及将极限存在的因式进行必要的分离.3.使用中要注意与重要极限、无穷小等价代换等其他求极限方法结合使用.4.使用后对极限不存在情形（除外），以及难于确定极限，应另寻其他解决方法.或00 说明：若 型或 型极限中含有非零因子,应单独求极限而不要参与洛必达法则运算,可以简化极限运算.sincoslim30 xxxxx求.6sinlimcosli
8、m300 xxxxxx例为 型,由洛必达法则有00解,sin6limcos13limsinlim02030 xxxxxxxxxx00 xxxxxsincoslim30所以例 证明 存在但不能用洛必达法则求解xxxxsinlim解 因为 101sin1limsinlimxxxxxxxxxxxxxxxcos1lim1cos1lim)()sin(lim所以，所给极限存在但由洛必达法则 该极限不存在，于是所给极限不能用洛必达法则求出对于 型可将其化为 型或 型未定型.二、其它未定式的极限 型未定式0 )1(为型 未定型.0 若 ,则称)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx)()(lim0 xg
9、xfxx000)(1)(lim)()(lim00 xfxgxgxfxxxx)(1)(lim0 xgxfxx.00型型，后者为前者为.lnlim0 xxx求ttx1lnlim20.011lim220ttx因此时，如果先令,00，txtx例.1lnlimlnlim00 xxxxxx解ttxxxx1lnlimlnlim200),()(lim,)(lim或同为xgxfaxax若.)()(lim未定型型为则称xgxfax对于 型可将其化为 型或 型未定型.00)(1)(1)(1)(1)(11)(11)()(xgxfxfxgxgxfxgxf型未定式 )2().ln11(lim1xxxx求xxxxxxln)
10、1()1(lnlim1 1)1(ln1lnlim1xxxxxxx.21ln2ln1lim1xxx例 .型，先将所给函数变形为解)00(1lnlnlim1型xxxxxx11ln1lnlim1xxxxxxx)ln11(lim1xxxx （3）对于由 产生的 未定型,可以通过取对数将其化为 未定型.)()(xgxfy 00,1,00例xxx0lim求极限解 所求极限为 型未定式，00 xxyxyxlnln,则令0)(lim11lim1lnlimlnlimlnlim020000 xxxxxxxyxxxxx1limlim0ln00eexxxxxx所以例解 所求极限为 型未定式，00所以xexxln11)(lnlim求极限xxyln11)(ln令xxyln1lnlnln 则1ln1lim1ln1limln1lnlnlimlnlimxxxxxxyexexexex1lnln11lim)(lnlimeexyexxex
