1、一、定积分的几何应用一、定积分的几何应用二、定积分在经济学中的应用二、定积分在经济学中的应用第五节第五节 定积分的应用定积分的应用第五节第五节 定积分的应用定积分的应用回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法xyo 定积分概念源于几何问题，利用定积分可以求解常见的几何量：面积、体积和弧长.(1)分割 化整为零niiSS1(2)近似 以常代变iiixfS)(3)求和 积零为整(4)极限 无限累加.)(11niiiniixfSSbainiixxfxfSd)()(lim 10(1)分割 分割S为n个部分量的和niiSS1(2)近似)(1iiixxiiixfS)(3)求和.)(11niiiniixfSS
2、(4)取极限bainiixxfxfSd)()(lim 10求积过程的简化 微元法(1)求微元 取任意子区间 ,部分量的近似值为 称其为微元.记为 xxfSd)(d,xxxxxfSd)(d(2)求积分 将微分元素在区间a,b上积分得整体量值为baxxfSd)(求积分过程微元法这两步是关键这两步是关键1.定积分应用的微元法(1)求微元 取区间a,b的任意子区间 ,落在该小区间上的部分量 的近似值为 称其为微分元素(简称微元).记为 xxfSd)(d,xxxSxxfSd)(d(2)求积分 将微分元素在区间a,b上积分得整体量值为 问题：求分布在区间a,b上具有可加性（可以表示成部分量的和）非均匀整体
3、量S的值.baxxfSd)(上述方法称为定积分应用的微元法.可用定积分来表示的非均匀整体量S的特征：).(,)1(xfbaxS上的函数和定义在该区间的变化区间取决于某量iSSbaSbaS ,)2(个子区间上部分量之和后，对应于各分割为若干部分子区间等于量的总，即对应于区间对区间具有可加性.,d)(,)3(高阶的无穷小量它与真值之差是比为，后者记成正比，即的近似值与上对应的部分量的子区间落在xSxxfSxSxxxba2.平面图形的面积.)(,)(),()()(,)(),(所围成的图形的面积及直线求由曲线上连续，在区间设函数babxaxxgyxfyxfxgbaxgxf，可得面积微元为积落在设此子区
4、间上的面任取子区间Axxx ,d,.d)()(dxxgxfA利用定积分的微元法aoyx+dxxby=f(x)y=g(x)x的面积作定积分，得所求图形在区间,ba.d)()(xxgxfAba.)()()(),(的下方在曲线位置都成立，只要求在坐标系的任何该公式无论曲线xfyxgyxgyxfy所围成的图形的面积为及直线则由曲线，上连续在区间设函数)(,)(),()()(,)(),(dcdycyyxyxyydcyy.d)()(yyyAdccoyy+dyydx)(yx)(yx.:2Axyxy所围成的图形的面积，求由曲线.3133210323xx102dxxxA例)1,1()0,0(，先求出两曲线的交点
5、解，则所求图形的面积为，面积微元为间为作为积分变量，积分区选择xxxxd 1,02形的面积为图作为积分变量，则所求若选择x.3133210323yy102dyyyAxOy（1，1）（-2，-2）例 求抛物线 与直线 所围成图形的面积.22xyxy 解 解方程组得交点(1,1)及(-2,-2)；22xyxy取x为积分变量，变化范围为-2，1，于是所求图形面积为1 2 2)2(dxxxA292321223xxx 例 求抛物线 与 所围成图形的面积.2xy 2)2(xy解 解方程组得交点(1,1)；22)2(xyxy（1）取x为积分变量dxxdxxA2 1 21 0 2)2(32)2(3121310
6、3xx32342)1(2)2(101 0 1 0 23yydyydyyyA（2）取y为积分变量xOy123.用定积分求几何体的体积（1）旋转体的体积.,),(求其体积体轴旋转一周而成的旋转的曲边梯形绕轴所围成及直线由连续曲线xxbxaxxfyoxyoxy则有微元，落在该区间的体积为任取区间Vxxxd,(1)，xxfVd)(d2体积为的求定积分得所求旋转体对微元在区间,(2)ba.d)(2xxfVba利用定积分的微元法oxy转体的体积为轴旋转一周而成的旋轴所围成的曲边梯形绕及直线类似可得，由曲线 )(,),(yydcdycyyx.d)(2dcyyV 例 计算由椭圆 绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋
7、转椭球体)的体积.12222byax体积为区间为积分变量，它的变化取,aax解xxaabxxaabVaaaad)(d 2222222xxaabad)(2 02222.3432203222abxxaabaayxbox（2）平行截面面积已知的几何体体积.,)(立体的体积求此的截面面积表示过点，设有立体如图xxAaxx x+dxA(x)b利用定积分的微元法，则体积微元为为积落在该区间几何体的体，任取区间Vxxxd,(1)，xxAVd)(d就是所求几何体的体积作定积分，为被积表达式，在区间以,d)(2)baxxA.d)(xxAVba例 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截
8、圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底圆方程为222Ryx 垂直于x轴的截面为直角三角形 截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR x 二、积分在经济学中的应用二、积分在经济学中的应用1.由边际函数求总函数由边际函数求总函数，已知总成本函数)(qCC;ddqCMC 边际成本函数.ddqRMR 边际收益函数，总收益函数)(qRR 由微分学可得因此，总成本函数可以表示为00d)()(CqMCqCq;d)()(0qqMRqR总收益函数00d)()(CqMCMRqLq总利润函数.0为固定成本为固定成本其中其中C 例 已知某产品的边
9、际成本函数为固定成本为55，求总成本函数.293025)(qqqC55)d93025(d)()(0 200 qqqqqCqqCqC553152555)31525(32032qqqqqqqcqqqdqqqdqqCqC32231525)93025()()(5531525)(32qqqqC解1 由不定积分求解由 代入上式解得 ，所以，55)0(C55c解2 由不定积分求解 例 已知生产某种产品q单位时,边际收益为 (元/单位).求(1)总收益函数；(2)生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.200/200)(qqRqqqqqqRqR0 0 d200200d)()()1(解400200
10、040020022qqqqq19925400200d200200)2(2001002200 100 qqqqR 2.由边际函数求总函数的极值 设生产单位产品的边际收益为 ,边际成本为 ，固定成本为 ,由极值的必要条件知，要使产品的利润 最大应满足 ,如果 时利润最大，则最大利润可由积分表示为)(qR)(qC0C)()()(qCqRqL)()(qCqR0qq 0 0 0d)()()(0CqqCqRqLq 例 某种产品每天生产q单位时的固定成本为 时，边际成本为 （元/单位）边际收益 （元/单位），求：（1）每天生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？（2）从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润为多少？元1000C206.0)(qqC38)(qR解（1）由利润最大原则知，要使利润最大，则)()(qCqR206.038q,300q0300 d)()()30(CqqCqRL170100d206.038300 qq4003 4030 d186.0d)()()2(qqqqCqRL30)183.0(40302qq即从最大利润的生产量单位,再生产10个单位产品利润减少30元.
