1、第五节第五节 极限存在准则与极限存在准则与 两个重要极限两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限第五节第五节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则axazynzxyzyxnnnnnnnnnnnn lim ,lim lim),3,2,1(,则且满足条件：及设数列定理AxfAxhxgxhxfxxxxxxxxx)(lim ,)(lim)(lim)()()(g ,|0 0000则且有时若当定理.,:0的情形这些结论也适用于说明xxxAxxx0)(xfy xynxnznya例 证明极限 11lim0 xxx证 xxxx1111,0有时当
2、111,0 xxxx有时当1)1(lim0 xx因为11lim0 xxx所以111,0 xxxx有时当1)1(lim0 xx因为11lim0 xxx所以11lim 0 xxx因此 在作圆的内接正多边形求圆面积时,当边数无限增多时弦与弧将无限接近,因此弦与弧比的极限.二、两个重要极限问题的提出:圆的弦与弧之比的极限ABO.1sinlim2sin2limlim 000 xxRxxRABABxxx所以 .1sinlim 0 xxxxOyxxysin 1 如图.设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作重要极限一 .1sinlim 0 xxx证,OABD,xAOB 则sin x=BC，ta
3、n x=AD，,OACOABOABSSS扇形,tan2121sin21 20 xxxx时，当DABCO.tansin xxx即1sincos sinxxxx有除以又因为 和 都是偶函数，xxsinxcos ,02时所以当x也成立 1sincos xxx所以，由函数极限夹迫准则得1coslim0 xx又因为.1sinlim 0 xxx 该极限是微积分中的重要极限之一，后续内容中有关三角函数的一些重要公式可由该公式推得，应该熟练掌握该公式，重要极限 的应用说明 .1sinlim 0 xxx1.重要极限的一般形式 .11sinlim xxx.1)()(sinlim 0)(xxx2.重要极限解决问题的
4、特征：重要极限解决含有三角函数的 型极限.003.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特征,又要注意极限过程.1sinlim 0 xxx（极限变形）.1tanlim0 xxx求例)cos1sin(limtanlim 00 xxxxxxx解.1cos1limsinlim00 xxxxx.3sin5sinlim0 xxx求353sin3lim55sinlim3500 xxxxxx例353sin355sinlim3sin5sinlim 00 xxxxxxxx解.cos1lim20 xxx求22022sin21limxxx.2112122022sinlim21xxx例220202sin2limco
5、s1limxxxxxx解xxxarctanlim0求例解1coslimsinlimcossinlimtanlimarctanlim00000ttttttttxxttttx）（令txtan.e11limxxx重要极限二观察如下数据表1 2 3 10 100 1000 100002 2.25 2.37 2.594 2.705 2.717 2.718 xx)11(x从表中可以看出当x无限增大时,函数 无限逼近确定的数值,此值为无理数xx)11(e=2.718 281 828 .自然界中植物、人口的增长，物体的冷却放射元素衰变等现象都与指数函数及无理数e密切相关.重要极限 的应用说明 1.重要极限的变
6、形 .e)(11lim)()(xxx2.重要极限解决问题的 特征 重要极限主要解决幂指函数的 型极限.13.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特 征,又要注意极限过程.exxx)11(lime)1(lim10 xxx.)1(limxxxx求.e1)11(lim1xxx例xxxxxxx)11(1lim)1(lim解ttxxtx63)11(lim)21(lim.)21(lim3xxx求.e)11(lim66ttt例，因此时，则当令txxt2解 例 设有本金1 000元,若用连续复利计算,年利率为8%,问5年末可得本利和为多少？解 设复利一年计算一次，则一年未本利和为),08.01(000 1.)08.01(000 1 xx年末本利和为所以若复利三个月为一期计算，则 x年末本利和为.)408.01(000 1 4x同理，若复利一年计算n次，则x年末本利和为.)08.01(000 1 nxn现设想n无限增大，以致复利接连不断地计算，则 当时，称之为连续复利，其极限为n.e08.011000 lim08.0 xnxnn).(492 1e000 1e000 1 55.e000 1 4.0508.008.0元年末本利和为，得令年末本利和为因此连续复利计算xxx
