1、一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线二、函数作图的一般步骤二、函数作图的一般步骤第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘第五节 函数图形的描绘 问题导言：函数图形可以直观地反映出函数的基本性态和变化特征.它在数学研究和求解实际问题中无论是对于定性的分析还是定量的计算都大有益处.问题是如何准确地描绘出函数的图形？初等数学中所使用的描点法虽然可以描绘一些简单的函数图形，但计算量大、精度低.为此给出函数图形描绘的基本作图方法微分作图法.一、渐近线 定义 点 M 沿曲线 y=f(x)无限远离坐标原点时，若点 M 与某定直线 L 之间的距离趋于零,则称直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.xyoy=f(x
2、)1.水平渐近线则称直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线.)(lim(cxfx或cxfx)(lim若.arctan2/的水平渐近线为曲线如直线xyy2.铅直渐近线则称直线 为曲线y=f(x)的铅直渐近线.0 xx）或（)(lim)(lim00 xfxfxxxx.)(lim0 xfxx若.tan2/的铅直渐近线为曲线如直线xyx.02的铅直渐近线为曲线直线xyxxoxytany2 xyyx.3212近线的渐求曲线xxy,)3)(1(1lim)(lim11xxxfxx又例),3)(1(32 2xxxx由于解.31时所给函数没有定义及可知当xx,0321lim2xxx知y=0为曲线的水平渐近线.
3、由可知x=1,x=3为所给曲线的铅直渐近线.,)3)(1(1lim)(lim33xxxfxx.ln的渐近线求曲线xxy,011limlnlimxxxxx.ln0的水平渐近线为所给曲线可知xxyy,lnlim0 xxx.ln0的铅直渐近线为所给曲线可知xxyx例所给的函数的定义域为).,0(解 定义 若函数 满足条件(1)；(2)，则称 为曲线 的斜渐近线.)(xfkxxfx)(limbkxxfx)(limbkxy)(xfy 当 时，曲线的斜渐近线变为水平渐近线.0k2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx.3223的渐近线求曲线xxxy例132lim)(lim22xxxxxfkxx
4、解故得曲线的渐近线方程为 2 xy (1)确定函数 的定义域及函数所具有的某些 特性(连续性、奇偶性、周期性等)；(2)求出函数的 和 ；及其定义域内的全部零点与不可导点,用这些点分割定义域为部分区间；)(xfy)(xf)(xf二、函数图形的描绘（微分法作图步骤）(3)确定部分区间内 和 的符号,并由此确定函数图形的升降、凹凸、极值点和拐点；)(xf)(xf(4)确定函数图形渐近线及变化趋势；(5)补充适当的点,然后结合图形上述特征描点作图.29623的图形作出函数xxxy).3)(1(391232xxxxy.3,121xx驻点为).2(6126 xxy.20 xy得令例函数的定义域为 ，),
5、(解+0 0+极小3+(2,3)+拐点 极大y0 2(1,2)1x),3(y)1,(y 函数的极大值点为(1,2)；极小值点为(3,-2)曲线的拐点为（2，0）.曲线无渐近线.补充点 函数图形如下：)0,32(oxy29623xxxy.12的图形作出函数xxy函数为奇函数.10 xy得驻点令.3,00 xxy得令,)1(1222xxy,)1()3(2322xxxy 例函数定义域为 .),(解知y=0为水平渐近线.,01limlim2xxyxx由函数极大值为点(1,1/2)，曲线拐点为 0+凹减+拐点 凸减极大凸增y0 1(0,1)x),3(yy )3,1(3)43,3(由函数为奇函数知点(0,
6、0)也为曲线拐点.oxy21xxy.e2的图形作出函数xy.001xy得驻点令.2222032 xxy，得令可知y=0为该曲线的水平渐近线.例且为偶函数.函数定义域为 .),(解,0limyx由于,e22xxy,e)12(222xxy 函数极大值点（1，1）)e,22(21)e,22(21拐点为拐点+0 凹减+凸减极大y0 x)22,0(22),22(yy oxy.)0,0,1,0(1的图形作函数bkaxaekybx例 函数定义域为 .),0 解0)1(2bxbxaekabey32)1()1(bxbxbxaeaeekaby baxyln0，得令凸增拐点凹增-0+xyy yba/ln)/ln,0(ba),/(lnbakykyx线为，所以曲线的水平渐近因为limbxaeky1
