1、线性代数第6讲如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换可交换.例例7.求与矩阵0100001000010000A可交换的一切矩阵.解解:显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为111122223333abcdabcdabcdabcdB则11112222333311112222333301000010000100000000abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdAB11112222333311122233301000010000100000000abcdabcdabcdabcdabcabcabcabcBA由AB=BA,即111111122222223333
2、33300000000abcabcdabcabcdabcabcdabca1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=aa1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a111122223333000000abcdabcdabcdabcabcdababcdaB其中a,b,c,d为任意数.既然矩阵乘法不满足交换律,因之矩阵相乘时必须注意顺序,AX称为用X右乘A,XA称为用X左乘A.一般矩阵用大写黑体
3、字母A,B,X,Y,表示,但一行n列或n行一列的矩阵,为了与后面章节的符号一致,有时也用小写黑体字母a,b,x,y,表示.例如,112212(),iiiinmnbxbxaaabxabx等.例例9.在线性方程组11 11221121 1222221 122(2.7)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb令1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxbAxb方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.即111221222112,1214xxxx11211222112112222212,2214xxxxxxxx11211121122212
4、2221(1)21(2)22(3)24(4)xxxxxxxx 分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得x11=1,x211,x12=0,x22=2所以112111211222122221(1)21(2)22(3)24(4)xxxxxxxx 10.12X矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以进行有关运算):(1)(AB)C=A(BC)(2)(A+B)C=AC+BC(3)C(A+B)=CA+CB(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)证证:现在证明(2),(A+B)C=AC+BC设A=(aik)ml,B=(bik)ml,C=(ckj)ln则(A+B)C=(aik)ml+(bik)ml)(ck
5、j)ln=(aik+bik)ml(ckj)ln111()likikkjkm nllikkjikkjkkm nm nabca cb cACBC同理可证(1),(3),(4)成立.例例11.证明:如果CA=AC,CB=BC,则有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB).证证:因为CA=AC,CB=BC故有(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)关于矩阵乘法还有下面一个重要性质:同阶方阵A与B的乘积的行列式,等于矩阵A的行列式与矩阵B的行列式的乘积.即|AB|=|A|B|我们略去证明,只用二阶矩阵为例加以验证.
6、设111211122122212211 1112 2111 1212 2221 1122 2121 1222 22,aabbaabba ba ba ba ba ba ba ba bABAB11 1112 2111 1212 2221 1122 2121 1222 2211 1112 2121 1222 2211 1212 2221 1122 2111 1121 1211 1122 2212 2121 1212 2122 2211 1221 1111 1222 211|()()()()a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b a ba
7、 b a ba b a ba b a ba b a ba b a baAB2 2221 1112 2222 21112211 2212 21122111 2212 211122122111 2212 21()()()()|b a ba b a ba ab bb ba ab bb ba aa ab bb b AB(三三)矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 将mn矩阵A的行与列互换,得到的nm矩阵,称为矩阵A的转置矩阵转置矩阵,记为AT或A.即如果111212122212112111222212nnmmmnmmTnnmnaaaaaaaaaaaaaaaAaaaA例如,设1212(),(),nnxxx
8、yyyxy则1111212212221212()nnTnnnnnnxx yx yx yxx yx yx yyyyxx yx yx yx y转置矩阵有下列性质:(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT证证:性质(1),(2),(3)显然成立,现证(4).设A=(aik)ml,B=(bkj)lnAB是mn矩阵,因此(AB)T是nm矩阵,而BT是nl矩阵,AT是lm矩阵,因此BTAT也是nm矩阵,所以矩阵(AB)T与矩阵BTAT有相同的行数与相同的列数.矩阵(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素1 12 21likkjiji
9、jilljka ba ba ba b而矩阵BTAT第j行第i列的元素,应为矩阵BT的第j行元素与矩阵AT的第i列元素对应相乘的和,即矩阵B的第j列元素与矩阵A的第i行元素对应相乘的和11221lkjikjijiljilkb ab ab ab a于是得到矩阵(AB)T与矩阵BTAT的对应元素相等.所以矩阵(AB)T等于矩阵BTAT.(四四)方阵的幂方阵的幂对于方阵A及自然数k个kkAAAA称为方阵A的k次幂次幂.方阵的幂有下列性质:设A是方阵,k1,k2是自然数,1212121 2(1)(2)()kkkkkkk kA AAAA2.3 几种特殊的矩阵(一一)对角矩阵对角矩阵如果n阶矩阵A=(aij
10、)中的元素满足条件aij=0ij (i,j=1,2,n)则称A为n阶对角矩阵,即1112(2.8)nnaaaA(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零.)由1122nnakaakakaka11112222nnnnabababababab111 1222 2nnnnabababa baba b可见,如果A,B为同阶对角矩阵,则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵.显然,如果A是对角矩阵,则AT=A.(二二)数量矩阵数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素a11=a22=ann=a时,则称A为n阶数量矩数量矩阵阵,即(2.9)aaAa以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B,其乘积等于以数a乘矩
11、阵B.如111212122212,llnnnln nn lbbbabbbaABbbba111212122212111211112121222212221212llnnnlllllnnnlnnnlbbbabbbabbbaabababbbbabababbbbaabababbbbaABB(三)单位矩阵如果n阶数量矩阵A中的元素a=1时,则称A为n阶单位矩阵单位矩阵,记作In,有时简记为I.即11(2.10)1nI单位矩阵有ImAmn=AmnAmnIn=Amn对于n阶矩阵A,规定A0=I单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质.有的教科书和论文中用字母E表示单位矩阵.(四四)三角形矩阵三角形矩阵如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件aij=0ij(i,j=1,2,n)则称A为n阶上三角形矩阵上三角形矩阵.即11121222nnnnaaaaaaA如果n阶矩阵B=(bij)中的元素满足条件bij=0ij(i,j=1,2,n)则称B为n阶下三角矩阵下三角矩阵,即11212211(2.12)nnnnbbbBbbb若A,B为同阶同结构三角形矩阵,容易验证kA,A+B,AB仍为同阶同结构三角形矩阵.作业:习题二(A)第99页开始第19,20,21,26,28题
