1、结构力学课件第六章结构位移计算2A第六章 构造位移计算61 概述62 变形体系的虚功原理63 位移计算的一般公式64 静定构造在荷载作用下的位移计算65 图乘法66 静定构造温度变化时的位移计算67 静定构造支座挪动时的位移计算68 线弹性构造的互等定理 361 概 述1.变形和位移 在荷载作用下，构造将产生变形和位移。变形：是指构造形状的改变。位移：是指构造各处位置的挪动。2.位移的分类APA A线位移：AA角位移：A(A)AyAxAyAxA绝对位移相对位移PABCDCDC D CD=C+DC D43.计算位移的目的 1校核构造的刚度。2构造施工的需要。除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座
2、挪动、材料收缩、制造误差等，也会使构造产生位移。构造力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 根底的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定构造的位移计算。3为分析超静定构造打根底。起拱高度562 变形体系的虚功原理1.功、实功与虚功AdW=PdW=Pw=a a1功PdSS BdSdS CosCos sdWdW=sP PCosCos dSdS6常力功W=W=(b)(b)变力功由AB,W=W=c c力偶功PPABd ddP AB常力常力 W=W=变力变力 W=W=P PCosCos 2 21 1P PCosCos M M 2 21 1M M 力由0PM=PdM=Pd72实功与虚功实功：ABP
3、11虚功：W=ABP22 力在其它因素引起的位移上所作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：W12=P1211P21力在本身引起的位移上所作的功。128 2.变形体的虚功原理：变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。证明从略即 W外=W内或写成W=Wi 61式(61称为虚功方程，式中 WWi外力虚功 内力虚功9AB力状态PqMdS内力虚功的计算给定力状态RARB给定位移状态位移状态位移状态dWi=Ndu+QdS+MdWi=MdNdu 微段dS上内力的变形虚功为整个构造内力的变形虚功为
4、62)虚功方程为W=MdNdu63)dsQdsQqN NN+dNN+dNQQQ+dQQ+dQMMM+dMM+dMdSdsdSdudS dxdxd d dSAB101.位移计算的一般公式 设平面杆系构造由 于荷载、温度变化及支 座挪动等因素引起位移 如图示。P2P1KkkKK K利用虚功原理计算c1c2c3kkPK=1实际状态位移状态c1、c2、c3、Kdu、d、dsds虚拟状态力状态dsKQMN、dSddu、外力虚功332211KKCRCRCRPW=CRK内力虚功Wi=dSQdMduN可得dsQdMduNCRK 求任一指定截面K K 沿任一指定方向 kk 上的位移K。1PRQMNKi、(75)
5、t1t2cRdsQdMduNK(64)这便是平面杆系构造位移计算的一般公式，假设计算结 果为正，所求位移K与假设的 PK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。63 位移计算的一般公式 单位荷载法112.虚拟状态的设置 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如:A求求AHAH实际状态虚拟状态A1A求求 A A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B求求ABAB11B求求 ABAB111264 静定构造在荷载作用下的位移计算 当构造只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故式64为dsQduNdMPPPKP=式中：QNM、为虚拟状态中微段上的内
6、力；dP、duP、Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知 adP=EIdsMPduP=EAdsNPPds=GAdskQP将以上诸式代入式a得KP=GAdsQQkEAdsNNEIdsMMPPP65131.梁和刚架梁和刚架KP=EIdsMMP66KP=EALNNdsEANNEAdsNNPPP673.组合构造组合构造KP=EIdsMMPEALNNP68 在实际计算时，根据构造的详细情况,式65可以简化：14 例 61 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。ABCqL LLAABC1解：1.设置虚拟状态xx选取坐标如图。那么各杆弯矩方程为:AB段：Mx,BC段：LM2.实际状态中
7、各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx2qx22qL23.代入公式66得Ay=EI8qL54，()EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx1565 图 乘 法KP=EIdsMMP当构造符合下述条件时：1杆轴为直线；2EI=常数；上述 积分可以得到简化。MMP图图 和M两个弯矩图 中至少有一个是直线图形。3xy面积面积 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，M为一段直线，MP图为任意形状，ABO那么上式中的ds可用dx代替。ABMPMdx故有M=xtg,且tg=常数，那么EIdsMMPd=MPdxx图MEItgxMPdx=EItgxd 1.图乘法
8、:计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分16MP图xy形心形心C面积 ABOABMPMdxd=MPdxxxC图M有yCyC=xCtg 那么积分运算化简为一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标 yC。假如构造上所有各杆段均可图乘那么位移计算公式66可写成KP=(69)而CxxdEIdsMMPEIxdtgEIdsMMPEIxCtgEIdsMMPEIyCEIdsMMPEIyC172.图乘法的本卷须知 1必须符合上述三个前提条件；2竖标yC只能取自直线图形；3与yC假设在杆件同侧那么乘积取正号，反之取负号。3.常用的几种简单图形的面积和形心Lh2L/3L/32hLLh
9、abL+a)/3(L+b)/32hL形心形心18Lh二次抛物线顶点L/23hL2二次抛物线Lh4L/5L/53L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)顶点194.图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：图MMP图abcd dL那么dxMMEI1P)y2bLy2aL(EI1baya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d图MMP图abcd dyayb此时ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybya20MA8qL2QAMAQBMBMB 对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯
10、形与一个标准抛物线图形的叠加。叠加后的抛物线图形与原抛物线图形的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是一样的。ABL21 当yC所属图形是由假设干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1(1y1+2y2+3y3)I1I2I3=333222111EIyEIyEIy22 例 62 求以下图所示刚架C、D两点间间隔 的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图图M2.设置虚拟状态并作图M。11hhyC=h3.按式69计算CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心8qL223 例 63
11、求图示刚架A点的竖向位移Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、图MP2PL2PLPLMP图图M1L；2.图乘计算。Ay=2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL2)-2EI123L)PL24 例 64 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。EI=常数。qABCL2L8qL2M图11y2y3+解：1.作MP图2.作M图3.图乘计算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP图28qL232L25例 65 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角解解:sEIMMPBdEIycABP2/l2/lEIBAB1M4/Pl1MPMi)
12、(1612142112EIPlPllEI26例 66 试求图示构造B点竖向位移解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll27M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（）PM图图281qlBAq1例 67 求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:B28例 69 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。C解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l/11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD
13、4/2ql4/2ql29例 610 EI 为常数，求A点竖向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/l30例 611 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(161243231132EIqllqllEIEIycc3132/2ql
14、例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql32例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2
15、ql8/2ql33AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 图示构造图示构造 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对程度位移相对程度位移,(3)相对转角相对转角。iMMP 练习练习11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称构造的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.1111iM34 作变形草图作变形草图PPPl1111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利
16、用。如：35求求B点程度位移。点程度位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl36 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB37)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷载弯
17、矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点程度位移点程度位移,EI=常数。常数。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl38练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iMll39 已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。Cy ABCP2l2laD40解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图)(4482211432)422
18、1(23EAPaEIPlaPEAlPllEICyABCP2laD4PlPM2/PNP2lABC12laD4lM2/1iN2l假设把二力杆换成弹簧假设把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?41B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？4PlPM2/PPS 4lM21iSABC2lk2l=1PABC2lk2lkSSsEIMMiPPd42练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB求求A点竖向位移点竖向位移
19、,EI=常数常数。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k4366 静定构造温度变化时的位移计算 当静定构造温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，构造将产生 变形和位移。设构造(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2,求K点的竖向位移Kt。t t1 1t t2 2KKKt 现研究实际状态中任一微段ds,由于温度变化产生的变形。dsdsKt=dsQdMduNttt此时由式64可得ht1t2t2dst1dsdtdut=(t1ds+t2ds)/2=tds(a)(b)2ttt21KdsPK=1ds实虚MMNN式中dt=(t2ds-t1ds)/h=t=t2t1 (c)htds 式中将式b)、(
20、c)代入式a)，得Kt=htdsMtdsNhdsMtdsNt610温度变化不会引起剪切变形，即t=044KthdsMtdsNt610假设各杆均为等截面时，那么有KtMNhtt611 在应用上面二式计算时，应注意正负号确实定。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。梁和刚架可略去轴力的影响。桁架在温度变化时的位移计算公式为Kt=tLN612桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长度的制造误差为L,其位移计算公式为K=LN61345 例：65 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=
21、0.4m。LLt1t2实实解：外侧温度变化绘MN、图，AA1虚虚1代入式611，并注意正负号(判断)，L图M图NAyMNhtt)L2L(h10L)1()25(22)(mm5m005.0hL15L252可得 t1=1020=30,内侧温度变 化 t2=020=20。t=(t1+t2)/2=25,t=t2t1=104667 静定构造支座挪动时的位移计算 对于静定构造，支座挪动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为Kc=cR614 例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m程度位移Bx=0.04m,L=12m，h=8m。求A。hL/2L/2BxBxByBy实ABC解：虚拟状态如图。ABC1A
22、HAVBVh21HBBHL1VB 由614式得Ah2LBxByh204.01206.0虚4768 线弹性构造的互等定理1功的互等定理：第一状态M1、N1、Q1、P1、2112P12112P212 第二状态M2、N2、Q2、P2、12据虚功原理有 W21=Wi21GAdsQQkEAdsNNEIdsMM212121W12=W21=或W12=W21故P112=P221615，616 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。GAdsQQkEAdsNNEIdsMM121212P112P221W12=Wi12，证明如下：48 2位移互等定理:12P1=1 2112P2=1 12据功的互等定理112=121影响系数即12=21617P1=1AABBCCAM=1fCA=fc又如：第二个单位力所引起的第一 个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力 所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。有49 3反力互等定理：1=12=1据功的互等定理r121=r212即r12=r21 618 4反力位移互等定理：支座1发生单位位移所引起 的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支 座1的反力。12r2112r12 单位力所引起的某支 座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力 作用点沿其方向的位移。略 Thank You!
