1、1第三章函数逼近与FFT计算方法 有理逼近、三角函数逼近与有理逼近、三角函数逼近与FFT2本节内容本节内容n 有理函数逼近有理函数逼近l 有理逼近与连分式有理逼近与连分式l Pade 逼近逼近n 三角函数逼近三角函数逼近l 最佳平方逼近最佳平方逼近l 最小二乘最小二乘l FFT（快速（快速 Fourier 变换）变换）3有理逼近有理逼近用有理函数来做函数逼近用有理函数来做函数逼近 有理逼近有理逼近0101()()()nnnnmmmmP xaa xa xRxQxbb xb x若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可能会取得较好的逼近效果可能会取得较好的逼
2、近效果4举例举例例：例：2341ln(1)(1)234kkkxxxxxxk Taylor 展开展开22ln(1)1223245xxxxxx 连分式连分式222263()66xxRxxx 2344423442063026025()4208405401206xxxxRxxxxx ex35.m5Pade 逼近逼近设设 f(x)的的Taylor 展开为展开为()(1)11(0)()()!(1)!kNNkNkfff xxxkN 部分和记为部分和记为()11(0)()!kNNkkNkkkfPxxc xkPade 逼近逼近设设 f(x)CN+1(-a,a),N=m+n,若有理函数若有理函数011()()()
3、1nnnnmmmmP xaa xa xRxQxb xb x其中其中 Pn(x)与与 Qm(x)无公因式，且满足无公因式，且满足()()(0)(0)kknmRf 则称则称 Rnm(x)为为 f(x)在在 x=0 处的处的(n,m)阶阶 Pade 逼近逼近k=0,1,N6三角多项式逼近三角多项式逼近l 在在 0,2 上带权上带权 (x)=1 的正交三角函数族：的正交三角函数族：1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近三角多项式逼近三角多项式逼近l 设设 f(x)是以是以 2 为周期的平方可积函数，则可利为周
4、期的平方可积函数，则可利用上面的三角函数族对其进行数值逼近。用上面的三角函数族对其进行数值逼近。7最佳平方三角逼近最佳平方三角逼近l f(x)以以 2 为周期且平方可积，则其在为周期且平方可积，则其在 0,2 上上的最佳平方三角逼近为的最佳平方三角逼近为q 最佳平方三角逼近最佳平方三角逼近011()cos()sin()cos()sin()2nnnaS xaxbxanxbnx 20201()cos()d1()sin()dkkaf xkxxbf xkxx (k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)其中其中当当 n 趋于无穷大时，趋于无穷大时，Sn(x)即为即为 f(x)的的 Fourier 展开
5、展开8三角多项式逼近三角多项式逼近结论结论若若 f(x)在在 0,2 上分段连续，则上分段连续，则()lim()()nnS xS xf x 9最小二乘最小二乘若只给出离散数据若只给出离散数据(xj,yj)，其中其中2,0,1,.,1jjxjNN则可类似地得到则可类似地得到 f(x)离散离散 Fourier 逼近逼近(假定假定 N=2m+1)011()cos()sin()cos()sin()2nnnaS xaxbxanxbnx 202022cos212122sin2121mkjjmkjjjkaymmjkbymm (k=0,1,n)(k=1,2,n)其中其中n m10三角插值三角插值()njjS
6、xy 三角插值三角插值当当 n=m 时可以证明时可以证明故故 Sn(x)为为 f(x)在在点集点集 x0,x1,x2m 上上的三角插值的三角插值(j=0,1,2m)11DFTl 考虑在考虑在 0,2 上带权上带权 (x)=1 的正交三角函数族：的正交三角函数族：23(1)1,ixixixNixeeee 这里的这里的 i 是虚部单位是虚部单位则则 在在 处的函数值为处的函数值为22(1)1ikNkikNNee ikxe2,0,1,.,1jjxjNN 21()00,Ni j k lNjkljkeNjk 离散正交离散正交12DFT2,0,1,.,1jjxjNN则则 f(x)的最小二乘的最小二乘 Fo
7、urier 逼近为逼近为(n m)10()niknkkS xc e 2101NikjNkjjcy eN (k=0,1,n-1)其中其中l 设设 f(x)以以 2 为周期的为周期的复函数复函数，给定函数值，给定函数值 (xj,yj)，其中，其中离散离散 Fourier 变换变换l 当当 n=N 时，时，Sn(x)即为即为 f(x)在在 x0,x1,xn-1 上的插值函数上的插值函数210NikjNjkkyc e (j=0,1,N-1)离散离散 Fourier 逆变换逆变换13DFT令令222cossiniNNeiNN 构造矩阵构造矩阵2000001210242(1)012(1)(1)NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNF 性质性质(1)性质性质(2)11NNFFN 2NFN 14DFT/FFTDFT 与与 IDFTDFT()cy 2101NikjNkjjcy eN 210NikjNjkkyc e IDFT()yc c=fft(y)/Ny=ifft(c)*Nex36.m
