量子力学课件-第24讲.ppt

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1、 第第 二二 十十 四四 讲讲 .碱金属的双线结构碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子,它受到来自原碱金属原子有一个价电子,它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。所以,所以,价电子的哈密顿量为价电子的哈密顿量为 SL)r()r(V2PH2 如选力学量完全集如选力学量完全集 (运动常(运动常数的完全集)数的完全集)则则 dr)r(dVr1c21)r(22 EH)J,J,L,H(z22),()r(Rjjljmnljnljm 由于由于 jjljm222ljm)SLJ(21)LS(jljm)l(l)j(j 2431121212121222 ljll

2、jljjljmljm 可表为可表为 jjnljmnljnljmEHnljnljnljR)r(VRr)l(l)rR(drdr 21122222212121222 ljljRER)r(lR)r(lnljnljnljnlj 因因 为吸引势为吸引势(它为负值,(它为负值,)所以所以 即即 。因此,。因此,根据根据Hellmann-FeynmanHellmann-Feynman定理可证定理可证 )r(V0)r(V0)r(Vr 0)r()r(21l)r(V)r(2l)r(V22 21lnlj21lnljEE 212323211jjEE,j,l则则如如 能级能级 这即观测到纳光谱的双线结构。这即观测到纳光谱

3、的双线结构。.两个自旋为两个自旋为 的粒子的自旋波函数,的粒子的自旋波函数,纠缠态,纠缠态 (1)(1)表象中两自旋为的粒子的自表象中两自旋为的粒子的自 旋波函数旋波函数 设:两粒子的自旋分别为设:两粒子的自旋分别为 ,显然,如,显然,如 2121 l,l,nl,l,nnlEEE2121S,S)S,S(z2z1选选 表象,则可能的态为表象,则可能的态为 (2)(2)表象中两自旋为表象中两自旋为 的粒子的的粒子的自旋波函数自旋波函数 如令如令),()(21 )()(21 ),()(21 )()(21 )S,S(z221SSS)S,S(z2z121 令令 是是 的本征态的本征态 212212444

4、SS6SS24349S2214SS43224S2S 2S 22S这时有 四个态 ssm1sm1zmS 1,0,1ms0S002 0S00z 0ms 11 10 11 00 sssm12m12m122)11(1S )()(2111 )()(2111 )2()1()2()1(2110 )2()1()2()1(2100 ,被称为纠缠态。被称为纠缠态。纠缠态:体系的态矢量仅能表示为它的各部纠缠态:体系的态矢量仅能表示为它的各部分态矢量乘积的叠加态分态矢量乘积的叠加态 当两自旋为当两自旋为 的全同粒子,其相互作用对的全同粒子,其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时,则特解为空间坐标和自旋变量是变量

5、可分离时,则特解为 00 10 21)S,S()r,r(u)S,r,S,r(z2z121z22z11 但是,这并不是体系可处的状态。微观世界但是,这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律,使体系波函数不可任意选择,还有一重要规律,使体系波函数不可任意选择,这就是微观粒子的全同性问题。这就是微观粒子的全同性问题。(3)Bell(3)Bell基基 若取若取 显然显然我们得我们得zzA21 xxB21 0 B,A它们也都是纠缠态它们也都是纠缠态)()()()(jiBA212121 )()()()(jiBA212121 )()()()(jiBA212121 7.57.5 Einstein-Pod

6、olsky-Rosen佯谬和佯谬和Bell不不 等式等式 (1)Einstein-Podolsky-Rosen佯谬佯谬 爱因斯坦,帕多尔斯基和罗森认为:两个爱因斯坦,帕多尔斯基和罗森认为:两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量将直接得知另一个粒子的状态。将直接得知另一个粒子的状态。例:例:该态在动量表象中的表示为该态在动量表象中的表示为 2121xxx,x 爱因斯坦等认为,当测量第一个粒子的坐标,爱因斯坦等认为,当测量第一个粒子的坐标,测得值为测得值为 ,则第二个粒子的坐标必为,则第二个粒子的坐标必为 ;测量第二个粒子的动量,测得值为测量第二个粒子

7、的动量,测得值为 ,那第一,那第一个粒子的动量必为个粒子的动量必为 。所以,。所以,2121/)xpxp(i21dxdxxxe21p,p2211 2/x)pp(idxe21221 21pp 0 x0 x 0p0p 都是物理实在(即都有确定值),且都是物理实在(即都有确定值),且坐标和动量可同时具有确定值。坐标和动量可同时具有确定值。这与两个自旋为这与两个自旋为 的粒子处于自旋的粒子处于自旋 的态是等价的。的态是等价的。考虑两个自旋为考虑两个自旋为 的粒子处于自旋单态。的粒子处于自旋单态。在初始时,它们在一起,而后分开很大的距离,在初始时,它们在一起,而后分开很大的距离,但仍处于自旋单态。一旦测

8、量第一个粒子的自但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自旋,那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋,旋,那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋,它始终与第一个粒子的自旋相反。它始终与第一个粒子的自旋相反。iip,x 210 S21 量子力学否认这些假设,认为即使两个粒量子力学否认这些假设,认为即使两个粒子离开很远,对第一个粒子的测量将影响第二子离开很远,对第一个粒子的测量将影响第二个粒子的状态;另外,粒子本身并没有这种实个粒子的状态;另外,粒子本身并没有这种实在性(即粒子的所有物理量都有确定值)。在性(即粒子的所有物理量都有确定值)。(2)Bell Inqualities 两个自旋为两个自旋为 的

9、粒子系统处于自旋单态的粒子系统处于自旋单态21z),(210,0 这是一个纠缠态。显然,在这个态中,测这是一个纠缠态。显然,在这个态中,测 量第一个粒子(在量第一个粒子(在 方向)得到某一结果,则方向)得到某一结果,则 知道第二个粒子随之测量(在知道第二个粒子随之测量(在 方向)的结果。方向)的结果。现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测量。第一个粒子沿量。第一个粒子沿 方向测量,第二个粒子沿方向测量,第二个粒子沿 方向方向 测量。它们的测量结果都为测量。它们的测量结果都为 。n),(21 zz a b1 如如 ,方向相同,则平均值为方向相同,则平均值为

10、。如如 ,方向相不同,这一相关联测方向相不同,这一相关联测量的平均值为量的平均值为 证:证:不失一般性,假设不失一般性,假设 在在 方向,方向,在在 平面平面 a b1 a b0,0ba 0,0)b,a (C21 cos)ba(a zbxz 令令 与与 轴间的夹角为轴间的夹角为 ,则,则 212121bzbz()b,a (C)bzbz 2121bz cossin(21)b,a (C2z2x A.对两个处于自旋单态的粒子,在三个对两个处于自旋单态的粒子,在三个 不同方向测量它们的自旋。不同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论,它们的关联测量平根据定域隐变量理论,它们的关联测量平 均值的关系为均

11、值的关系为)cossin2z2x cos1)c ,b(C)c ,a (C)b,a (C 这称为这称为Bell不等式不等式。论证:令关联量论证:令关联量 在定域隐变量理论中,对第一个粒子的在定域隐变量理论中,对第一个粒子的测量将不影响第二个粒子的状态。每个粒子测量将不影响第二个粒子的状态。每个粒子同时同时 有确定的自旋分量。因此,在这理论中有确定的自旋分量。因此,在这理论中,沿三个方向的自旋分量都有确定值。当然,沿三个方向的自旋分量都有确定值。当然,重复的测量所得值可以是不同的。,重复的测量所得值可以是不同的。)1(g2c2b2b1a 的平均值为的平均值为于是有于是有g)c ,a (C)b,a

12、(Cg2c1a2b1a )1(gg2c2b2b1a )1(2c2b2b1a )1(2c1b2b1a 所以,所以,而对这一关联测量平均值的关系,量子而对这一关联测量平均值的关系,量子力学的预言为力学的预言为2c1b1 1)c ,b(C)c ,a (C)b,a (C )c bcos()c a cos()ba cos()c ,b(C)c ,a (C)b,a (C 若在测量时,取若在测量时,取 三个方向共面,三个方向共面,且且 c ,b,a,ba ,2c a c b 于是于是 实验结果与量子力学的预言符合。实验结果与量子力学的预言符合。cos2coscos)c ,b(C)c ,a (C)b,a (C

13、B.对两个处于自旋单态的粒子,在四个不对两个处于自旋单态的粒子,在四个不同方向测量它们的自旋。同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论,它们的关联测量平均根据定域隐变量理论,它们的关联测量平均值的关系为值的关系为这为另一个这为另一个Bell不等式。不等式。2)c ,a (C)b,a (C)c ,a (C)b,a (C 论证:根据定域隐变量理论,对任一物理量论证:根据定域隐变量理论,对任一物理量的测量都有确定值,所以的测量都有确定值,所以 由定域隐变量理论的假设,我们知由定域隐变量理论的假设,我们知 当当 时,则时,则 当当 时,则时,则 。2c1a2b1a2c1a2b1ag )()(2c2b1

14、a2c2b1a 22c2b 02c2b 022 cb222 cb 因此,因此,。于是。于是 的平均值的绝对的平均值的绝对值满足不等式值满足不等式 而根据量子力学,而根据量子力学,的平均值的绝对值的平均值的绝对值应为应为2g g2g2c1a2b1a2c1a2b1a g)c a cos()ba cos()c a cos()ba cos(g 显然,当显然,当 共面,并取共面,并取这时这时,b/a a ,c ,b,a ,ba ,4ba c a 2c a 222221g 这与定域隐变量理论所推得的不等式是不相符这与定域隐变量理论所推得的不等式是不相符合的。合的。若取若取 共面,共面,则有则有a ,c ,

15、b,a ,ba ,c a ,ba 3c a 3coscos33coscoscoscosg 同样,实验的测量结果是与量子力学的预同样,实验的测量结果是与量子力学的预言符合。言符合。实验证实了实验证实了定域隐变量理论是不正确的。定域隐变量理论是不正确的。Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的的假设是不成立的7.6 全同粒子交换不变性波函数具有确定的全同粒子交换不变性波函数具有确定的 交换对称性交换对称性 各种微观粒子有一定属性,具有一定质量、各种微观粒子有一定属性,具有一定质量、电荷、自旋,人们根据它的属性的不同分别称为电荷、自旋,人们根据它的属性的不同分别称为电子,质子,

16、介子,电子,质子,介子,等等。实验证明等等。实验证明每一种粒子,都是完全相同的(如两个氢原子中每一种粒子,都是完全相同的(如两个氢原子中的质子或电子都一样)。的质子或电子都一样)。经典物理中,我们能按经典物理中,我们能按轨道来区分同一类粒子。轨道来区分同一类粒子。但从量子力学的观点来看,情况就发生变化。但从量子力学的观点来看,情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念,而只能用波函数或根它的描述不能用轨道概念,而只能用波函数或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即 个粒子处于态个粒子处于态 ;个粒子处于态个粒子处于态 或这些或这些态的叠加态上。但它不可能

17、告诉你,那一个粒子态的叠加态上。但它不可能告诉你,那一个粒子处于处于 态,那一个粒子处于态态,那一个粒子处于态 。如如 是可能的二种态,对它进行测量是分不清两者的是可能的二种态,对它进行测量是分不清两者的差别差别。它们每一个都不能用于对二个全同粒子的它们每一个都不能用于对二个全同粒子的1n1 2n2 1 2 )r()r(2121 )r()r(1221 描述。全同粒子交换是不可观测的。因此,有必描述。全同粒子交换是不可观测的。因此,有必要对全同粒子的描述进行讨论。要对全同粒子的描述进行讨论。(1 1)交换不变性)交换不变性 设:氦原子的两个质子固定不动,那么描述设:氦原子的两个质子固定不动,那么

18、描述 氦原子中的两个电子组成的体系,其哈密顿量为氦原子中的两个电子组成的体系,其哈密顿量为 若若 为粒子交换算符,将为粒子交换算符,将 ,21022212222142222rrereremPmPH 12P2112则则若若 是交换不变,即是交换不变,即则则 02112 )r,r(H,P)t,r,r()t,r,r(HP212112)t,r,r()t,r,r(H1212 )t,r,r(P)t,r,r(H211212 12122112P)t,r,r(H)t,r,r(HP H)t,r,r(H)t,r,r(H2112 所以,所以,是运动常数(若是运动常数(若 是交换不变)是交换不变)或如此看,由于体系具有

19、交换不变性,所以或如此看,由于体系具有交换不变性,所以 时经交换后演化到时经交换后演化到 ,应等于演化到,应等于演化到 再进行再进行交换,即交换,即 由于由于 的任意性,所以的任意性,所以 12P)r,r(H210ttt )t,r,r(P)t,t(U)t,r,r(P0211202112 )t,r,r()t,t(UP021012 121200P),t(U),t(UP 由于由于 任意任意 即即 是运动常数。是运动常数。若若 是是 的本征态,则的本征态,则/t)p,r,p ,r(Hie),t(U22110 t 0H,P12 )P,r,P,r(H)P,r,P,r(H1122221112P)t,r,r(

20、21 12P 因此,因此,有两种态,一种是交换下不变,称有两种态,一种是交换下不变,称 为对称态;另一种是交换下改号,称为反对称态为对称态;另一种是交换下改号,称为反对称态)t,r,r()t,r,r(P212112 1)t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21s12s21s12 )t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21A12A21A12 显然显然 由于它是运动常数。因此,一开始,体系由于它是运动常数。因此,一开始,体系 处于置换对称态时,那以后任何时候都处于这处于置换对称态时,那以后任何时候都处于这态下。态下。与其他运动常数有极大不同之点是:与其他运动常数有极大不同之点是:体系体

21、系要么处于对称态,要么处于反对称态要么处于对称态,要么处于反对称态。这是粒。这是粒子本身所固有的子本身所固有的特性。特性。而不是人们能够人为地而不是人们能够人为地 )t,r,r()P1(21)t,r,r(211221s )t,r,r()P1(21)t,r,r(211221A 给一个初条件,让体系处于一个没有确定的置给一个初条件,让体系处于一个没有确定的置换对称性的状态下。换对称性的状态下。所以,下面一些结论是重要的:所以,下面一些结论是重要的:A.由于是一运动常数由于是一运动常数,因此一开始体系处于,因此一开始体系处于 某种交换对称态下,则以后任何时刻都处某种交换对称态下,则以后任何时刻都处

22、于这态下;于这态下;B.B.与其他运动常数根本不同之处在于与其他运动常数根本不同之处在于,体系,体系 要么处对称态,要么处于反对称态。这是要么处对称态,要么处于反对称态。这是 粒子固有的属性,而不是人为地给初条粒子固有的属性,而不是人为地给初条 件所能改变的;件所能改变的;C.实验表明:具有自旋为半整数的粒子体实验表明:具有自旋为半整数的粒子体 系。当两粒子交换,波函数反号,即处于反对系。当两粒子交换,波函数反号,即处于反对称态;而自旋为整数的粒子,两者交换,波函数称态;而自旋为整数的粒子,两者交换,波函数不变,即处于对称态。不变,即处于对称态。在统计物理学中,具有自旋为在统计物理学中,具有自

23、旋为 的半整数的半整数的粒子作为单元构成的体系,遵守的粒子作为单元构成的体系,遵守Fermi-DiracFermi-Dirac统计(称为统计(称为FermionFermion)。具有自旋为)。具有自旋为 的整数倍的整数倍的粒子作为单元构成的体系,遵守的粒子作为单元构成的体系,遵守 Bose-EinstainBose-Einstain统计(称为统计(称为BosonBoson)。)。2 (2)全同粒子的波函数结构,泡利原理:全同粒子的波函数结构,泡利原理:忽略粒子间的相互作用,则全同粒子的哈氏忽略粒子间的相互作用,则全同粒子的哈氏量为单粒子哈氏量之和量为单粒子哈氏量之和 显然,对任何一粒子,其哈氏

24、量的形式完全显然,对任何一粒子,其哈氏量的形式完全相同相同)p ,r ()p ,r ()p ,p ,r ,r (H22112121)r(V2)p ,r (hi2i2ii 单粒子的能量本征方程为单粒子的能量本征方程为 它的一个特解为它的一个特解为)r()r()p ,r (hkkk )r,r(Eu)r,r(u)p ,p ,r ,r (HN1N1E2121)p ,r (h),2,1(Hiii)r()r()r()N,2,1(uN21EN21 N21E 但它不能作为体系的态函数,因体系真正但它不能作为体系的态函数,因体系真正的态函数必须满足一定的交换对称性。的态函数必须满足一定的交换对称性。A AN N

25、个费米子的波函数,泡利原理个费米子的波函数,泡利原理 由于费米子的波函数交换一对费米子是反由于费米子的波函数交换一对费米子是反对称的,因此,它可以如此来构成:对称的,因此,它可以如此来构成:取取 作为标准排列。作为标准排列。是经过某一置换是经过某一置换 来实现来实现)r()r()r(N21N21 )r()r()r(NN2211 N21N21P 由于对换(由于对换(transposition)一对粒子,)一对粒子,波函数改号。而对某一置换(波函数改号。而对某一置换(Permutation)它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此,置它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此,置换后的这一项的符号与标准排列

26、项的符号差别换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别取决于该置换的对换数的奇偶性。取决于该置换的对换数的奇偶性。如如 67123452345176812345678 6712131415 所以有所以有5个对换,其符号为负号。个对换,其符号为负号。对对3个粒子:某一置换个粒子:某一置换 即仅有一个对换,所以为负号。即仅有一个对换,所以为负号。设一个置换设一个置换 对应的对换数为对应的对换数为 ,则真,则真 正的波函数应为正的波函数应为 12213123 P 这即行列式定义这即行列式定义)r()r(P1AN1N1 置换求和对所有)()r()r()r()r()r()r()r()r()r(AN21N2

27、1N21NNN222111 例如:对例如:对N N2 2 可以看出,任意两个粒子变换(即两列交可以看出,任意两个粒子变换(即两列交换)换)改号。若改号。若 与与 态是完全相同的态是完全相同的态,那态,那 。这表明,对两个全同的费米子。这表明,对两个全同的费米子不能处于这种态中,于是我们有下面的原理:不能处于这种态中,于是我们有下面的原理:)r()r()r()r(A)r()r()r()r(A1221212121212211 1 2 0 泡利原理(泡利原理(paulipauli exclusion principle exclusion principle):):在客观实际的体系中,没有两个或多个

28、全同费在客观实际的体系中,没有两个或多个全同费米子可处于一个完全相同的单态中米子可处于一个完全相同的单态中(或:全同(或:全同费米子体系的态中,具有同样量子数的单态不费米子体系的态中,具有同样量子数的单态不大于大于1 1)。)。对于对于 个粒子,有个粒子,有 项(有项(有 个置换),个置换),而每一项,费米子处于这而每一项,费米子处于这 个单态上的分布都个单态上的分布都是不同的,因此各项之间是正交的。是不同的,因此各项之间是正交的。N!N!NN!NArdrd2N12 所以,对于所以,对于 个无相互作用的全同费米子个无相互作用的全同费米子体系的归一化反对称波函数为体系的归一化反对称波函数为 B

29、B 个全同玻色子的波函数个全同玻色子的波函数 由于玻色子波函数相对两全同玻色子对换是由于玻色子波函数相对两全同玻色子对换是对称的,即不变号:对称的,即不变号:N)r()r()r()r()r()r()r()r()r(!N1)rrr(N21N21N21N21ANNN222111N21 N 由于玻色子不受泡利原理限制,因此处于同由于玻色子不受泡利原理限制,因此处于同一单态上的玻色子可以是任意多个。一单态上的玻色子可以是任意多个。所以,如果态所以,如果态 中具有相同的中具有相同的 有有 个;具有相同单态个;具有相同单态 有有 个个 具有具有相同单态相同单态 中的玻色子有中的玻色子有 个。个。)r()r

30、()r(PA)rrr(N21N21N21N21 所有置换N21,1 1n2 N NnNnnnN212n 于是上述置换虽具有于是上述置换虽具有 项,但有些项是相项,但有些项是相同的。同的。如如 个态的个态的 粒子进行置换,所得项是粒子进行置换,所得项是相同的,而这相同项有相同的,而这相同项有 ,同理,同理 个态的个态的粒子进行置换,所得项是相同的,而这相同项有粒子进行置换,所得项是相同的,而这相同项有 。所以,。所以,个玻色子的某一种排列有个玻色子的某一种排列有 个相同项。个相同项。EnnnNN2211 !N1n1 !n12n2 !n2N!n!n!nN21 所以,不同单态交换的排列的数应为所以,

31、不同单态交换的排列的数应为!n!n!n!NN21!n!n!n!N)!n!n!n(ArdrdN212N212N12!n!n!n!N1)rrr(N21N21SN21 )r()r()r(PN21sN21 所有置换 例如:例如:有二个在态有二个在态 ,一个在态,一个在态 。)r()r(P)!n!n!n(!n!n!n!N1N1N21N21N1 粒子置换不同单态间仅对处于)r()r(P!N!n!n!nN1N21N1 粒子置换不同单态间3N 1 2 3!0!1!2!3!n!n!n!NN21所以,所以,有三个不同分布有三个不同分布。另一种写法:另一种写法:有有 6 6 项项)r()r()r(P!3!1!232

32、1SE211 间置换不同态)r()r()r()r()r()r(31123321211211 )r()r()r(231211 !3!N)r()r()r()r()r()r(!1!2!31312321sE211211 )r()r()r()r()r()r(132123211211 )r()r()r()r()r()r(213231211211 123123 213123 321123 231123 132123 312123)r()r()r()r()r()r(31123321211211 )r()r()r(231211 (3)全同粒子的交换不变性的后果)全同粒子的交换不变性的后果 A两全同粒子的波函数两全同粒子的波函数 若两全同粒子,它们的相互作用是变量可若两全同粒子,它们的相互作用是变量可 分离型的,即分离型的,即)r()r()r()r()r()r(31123321211211 )r()r()r(231211 SSm21z22z11)r,r(u)s,r,s,r(

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