1、 第第 三三 十十 讲讲 .周期性微扰下的跃迁率周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化设：微扰随时间作周期性变化 与与t t无关无关 在一级近似下，跃迁率为在一级近似下，跃迁率为)ee(Vtcos)r(VVtiti 2000V .辐射场下原子的跃迁率辐射场下原子的跃迁率 当微扰影响较小时，一级近似很好当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中现考虑原子被置于一个纯辐射场中 )EE()2V(2w0k0nf2nk0 21t0tink12nkdte)t(V1P1nk 在原子区域中，无外电场在原子区域中，无外电场 因因 。于是有（电磁场弱，忽略。于是有（电磁场弱，忽略项）
2、项）由于由于满足满足 02V)AeP(m21H0 0A PAmeVm2PH02A 令令0tAc1A2222 de)(AA)crnt(i0)(An 在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则 可以证明可以证明 即受激辐射和退激发跃迁几率相等。即受激辐射和退激发跃迁几率相等。2)crn(it0t)(i1222nkkPen)(AdedtmeP1nknkknPP2012221*)crn(itt)(inPek)(Adedtmekn 2012221kPen)(AdedtmeP)crn(itt)(inknk 2012221*)crn(i*tt)(inPek)(Adedtme
3、kn 2012221*)crn(i*tt)(inPek)(Adedtmekn nk)crn(itt)(iPnPek)(Adedtmekn 2012221 同样可以证明在同样可以证明在 弱辐射场弱辐射场 长波近似长波近似 辐射是非极化的（极化各向同性，辐射是非极化的（极化各向同性，等几率）条件下：等几率）条件下：单位时间跃迁几率，即跃迁率单位时间跃迁几率，即跃迁率2nknk2202nkr)(u344ew 12 nknkrncrn 其中 为能量密度分布，即光强度分布为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过垂直传播方向上的为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。单位面积的能量分布。)(
4、unk)(cunk 200c1 A1H0 .磁共振磁共振 均匀磁场均匀磁场 （在（在Z 方向方向），将使电子），将使电子的简并态（自旋的简并态（自旋 ）发生分裂，其能量差）发生分裂，其能量差其中其中 当电子吸收一光子当电子吸收一光子 ，则将电子激发到，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。较高能级，即自旋向上的态。0B ,002BEEEB meB2 (1)跃迁几率和跃迁率跃迁几率和跃迁率 设：有一垂直于静场设：有一垂直于静场 的磁场。于是，总的磁场。于是，总磁场为磁场为 若振荡场比静场小若振荡场比静场小0B0BBtsinbBtcosbBzyx 电子的总哈密顿量在电子的总哈密顿量在 表象，即在
5、表象，即在 表表象，中象，中 0Bb 0HzS HHH 0 00000BB)H(BB 00tiBtiBbebeH 设设 时刻，电子自旋态的本征值为时刻，电子自旋态的本征值为 。在一级近似下，从本征值为。在一级近似下，从本征值为 的自的自旋态跃迁到本征值为旋态跃迁到本征值为 的自旋态的几率的自旋态的几率 0 t2 2 2202201000011 ttBitiBtiBtdebebePB 202201 tt)(iBtdeb 若若 为单位频率中的态密度，则总的为单位频率中的态密度，则总的跃迁几跃迁几 率为率为 20022121 t)(tsinbtB)(I 0dPIQ(若 t 足够大或 在共振区变化很缓
6、慢)dt)(tsinbtIB200202121 tIbB022 I 所以，单位时间的跃迁几率（所以，单位时间的跃迁几率（跃迁率）为跃迁率）为 022 IbWB 022 IH (2)两能级间的震荡两能级间的震荡 电子的总哈密顿量在 表象，即在 表象中为 设 时刻，电子状态或称自旋态的表示为0HzS 00BbebeBHBtiBtiBB t 21cct 若若 ，电子处于，电子处于 本征值为本征值为的本征态，其表示即为的本征态，其表示即为 则有解则有解0 t0H0BB 10 )tKcos(K)tKsin(iKKe)tKsin(eKi)t(/ti/ti244244244222222222222222 时
7、刻，处于时刻，处于 本征值为本征值为 的本征的本征态，其表示即为态，其表示即为 的几率为的几率为 仍处于仍处于 本征值为本征值为 的本征态，其表示的本征态，其表示即为即为 的几率为的几率为 t0H0BB 01)t24K(sin4K4P222222B0B 0H0BB 10 我们直接看到，电子所处的态随时间在这我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。两个态之间以一定的几率震荡。)t24K(sin4KK)t24K(cosP222222222B0B (3)一级近似公式的精确性一级近似公式的精确性 我们能直接看到，在我们能直接看到，在 时，精确解时，精确解和一级近似解才符合。和一
8、级近似解才符合。1 t 8.4 8.4 散射散射 （1 1）一般描述：一般描述：在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。心远处的波函数。A A散
9、射截面定义散射截面定义：用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力学中的逆问题。学中的逆问题。一束不宽的（与散射区域比），具有一定能一束不宽的（与散射区域比），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射度比较起来，是宽的）。
10、为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述中心时，可用一平面波描述。tirkie 相对通量相对通量，定义为：，定义为：单位时间通过与单位时间通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数射粒子数（对于单粒子，显然即为几率流密度）（对于单粒子，显然即为几率流密度）这时，单位时间，经散射而到达这时，单位时间，经散射而到达 方方向向 中中的粒子数的粒子数为为即即 比例常数一般是比例常数一般是 的函数；如入射方向的函数；如入射方向为轴为轴 （且束和靶都不极化），仅为（且束和靶都不极化），仅为 的函数，的函数，它的量纲为它的量纲为 ，即面积量纲，即面
11、积量纲),(z 2Ld),(dn ddn),(d 散射微分截面定义散射微分截面定义：在单位时间内，单个散在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到射中心将入射粒子散射到 方向上的单位立方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量体角中的粒子数与入射粒子的相对通量 （几（几率流密度）之比。率流密度）之比。ddn),(),(ddn),(而散射总截面而散射总截面 对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样理论上处理问题一般在质心坐标系（较理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），
12、简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。将这两个坐标系进行换算。d),(总 B散射振幅：散射振幅：我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况 考虑一个质量为考虑一个质量为 的粒子被一位势的粒子被一位势散射（散射（当当 ，趋向趋向0比比快快）。感）。感兴趣的是满足这一条件的物理问题。至于库仑散兴趣的是满足这一条件的物理问题。至于库仑散射这射这里不讨论。里不讨论。实验室系：实验室系：)r(Vr)r(Vr12
13、110vm21E 质心系：质心系：所以，如是两粒子散射，则约化质量为所以，如是两粒子散射，则约化质量为 ，而 221112221121)mmvm(m21)mmvm(m21E0121Emv21 2121mmmm 01EmE 薛定谔方程薛定谔方程 其定态解为其定态解为 当粒子以一定动量当粒子以一定动量 入射，经位势散射后，入射，经位势散射后，在在 很大处，解的渐近形式（弹性散射）为很大处，解的渐近形式（弹性散射）为)t,r(ti)t,r()r(V222 tiEe)r()t,r(krre),(fe)r(ikrrkik 这时，这时，被称为定态散射波函数被称为定态散射波函数。事实上，将其代入事实上，将其
14、代入 的本征方程，在的本征方程，在 很大时，保留很大时，保留 次幂次幂 tiEkke)r()t,r(Hrr1re),(frLe),(fdrdrekHikrikrrkir 22222222122大时 保留到保留到所以，当所以，当 很大时很大时 /tiEikrrkike re),(f)r(Ve)r(V r1e),(fre kikrrki 1222 kkkEH r 大时rkHe),(fr1e Eikrrkik 我们称我们称 为散射振幅为散射振幅,为散射波为散射波.当入射粒子沿当入射粒子沿 方向入射，则散射与方向入射，则散射与 无无 关（束、靶都是非极化），即关（束、靶都是非极化），即 下面我们给出下
15、面我们给出 的物理意义：的物理意义：对于渐近对于渐近解的通量（对单粒子，即为几率流密度）解的通量（对单粒子，即为几率流密度）),(f re),(fikr z)(f),(f )(f re)(fe re)(fe2ijikrrkiikr*rki re)(fe re)(fe ikr*rkiikrrki r22n r)(fkk )cos1(ikr*e)(f r1k e)(f)cos1(ikr )cos1(ikrre)(f rn k 应注意，我们是在很远地方测量（应注意，我们是在很远地方测量（），），而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角中进行。因此，上式
16、的一些项的贡献的立体角中进行。因此，上式的一些项的贡献可表为可表为e)(f)cos1(ikr*)r1(03项微商对微商对r1 0 当当 很大时，很大时，振荡很快，而振荡很快，而 是一光滑函数，这一积分是一光滑函数，这一积分 比比 快。快。所以包含这一因子的项所以包含这一因子的项 比比 快。快。ddsin)(ge)cos1(ikr)cos1(ikre)(g 0r102r1r 例：例：22)cos(cose)(g ddsinee)cos(cos)cos(ikr221 ddsineee)cos(cos)cos(cosikr)cos(ikr221 ddsinee)cos(cosikr)cos(cos)
17、cos(ikr2221 于是，在远处，对于渐近解的几率流密度矢于是，在远处，对于渐近解的几率流密度矢 ddsineeeikrcoscosrk)cos(ikr2222222412224 rkAer22n r)(fkkj 而当无位势时，而当无位势时，无散射仅有沿，无散射仅有沿 方方向的平面波。向的平面波。大处，在渐近区域大处，在渐近区域 对径向通对径向通量无贡献，所以，量无贡献，所以，对散射没贡献。对散射没贡献。在远处，单位时间散射到在远处，单位时间散射到 方向上立体方向上立体角角 中的几率为中的几率为（为所张立体角对应的面积）为所张立体角对应的面积）0)(f kr k),(d ddsinrr1)
18、(fkdn222dr2 k于是于是 所以，所以，散射振幅的模的平方，即为散射微分截面散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。而而散射总截面散射总截面为为 22i),(fdkd),(fkdjdn),(d),(fd),()k(2T 现在问题是要从现在问题是要从 出发，求出发，求 具有很远处的渐近形式为具有很远处的渐近形式为的解，从而获得的解，从而获得 E)r(V222re),(feikrrki ),(),(f 理（2）玻恩近似；）玻恩近似；Rutherford散射散射 现在讨论如何近似求现在讨论如何近似求 解，以至解，以至 .假设假设 产生一个散射（对自由粒子）产生一个散射（对自由粒子）.根据根据F
19、ermis Golden Rule，从开始为动量本征态，从开始为动量本征态 跃迁到末态动量本征态跃迁到末态动量本征态 跃迁率为跃迁率为 由于平面波是取为由于平面波是取为 （）)(f )()r(VP P)E()r(V2w2P P PP rPiePr因此因此,即密度为即密度为 （在在 空间）空间）于是于是 3)2()PP(PP 1P)2(PdP3 3)2(1 PdEd)2(mE2m)2(PddE)E(333 对于跃迁到对于跃迁到 中的跃迁率为中的跃迁率为而入射粒子通量为而入射粒子通量为 （入射波函数为入射波函数为 ）d d)2(mE2mrde)r(Ve2dw323rPirPi PP mpj/rpi
20、ejdwddn),(dpp 所以，散射微分截面所以，散射微分截面称为称为散射振幅的一级玻恩近似散射振幅的一级玻恩近似。2/r)pp(i22rde)r(V2m)(rde)r(V2m)(f/r)pp(i2)1(当位势为有心势当位势为有心势令令 （转移波矢）（转移波矢）则则)r(V)r(V )PP(q kk drdr)r(Ve2m)(f2cosiqr2)1(p （计算时，取（计算时，取 方向为方向为 轴）轴）现为有心势现为有心势 于是有于是有 qz)ee(rdr)r(Viq122m)(fiqriqr21p 02)1(prdr)qrsin()r(Vqm2)(f或或这即为有心势下的这即为有心势下的一级玻
21、恩近似的散射振幅一级玻恩近似的散射振幅。为为 方向方向 0)1(prdr)qrsin()r(Uq1)(f 2sink2q kz rVm2rU2 由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子 哈密顿量的一个微扰，所以要求粒子动能比位哈密顿量的一个微扰，所以要求粒子动能比位能大，即要求能大，即要求高能高能。例：例：注意到，不能利用上述注意到，不能利用上述 Born 近似公式近似公式处理库仑势，处理库仑势，但能用于但能用于 Screened Coulomb potentialre4ze)r(Vbr02 这近似描述电子入射到多电子的原子中，这这近似描述电子入射到多电子的
22、原子中，这些电子的电荷分布屏蔽了原子核对入射电子的作些电子的电荷分布屏蔽了原子核对入射电子的作用。用。0br022dr)qrsin(e4zeqm2)(f 011022242drieezeqmr)iqb(r)iqb(22022b1q14zem2i 21)iqb11iqb11(4zeqm2022所以，散射微分截面所以，散射微分截面 高能时，高能时，则则 22220222)b1q(1)4zem2()(fdd 22b1q 42022q1)4zem2(dd 由由 这时意味着这时意味着 ，即，即 很大，也就很大，也就是相当于大多数的散射是在原子核附近发生。是相当于大多数的散射是在原子核附近发生。这时位势最
23、强，几乎无屏蔽。这时位势最强，几乎无屏蔽。2sinmE222sink2q 2sin1)E16ze(dd4202 1ebrb 只要上述公式只要上述公式 z 中改成中改成 ，就是，就是Rutherford用经典力学推出的用经典力学推出的Rutherford散射散射微分截面公式。微分截面公式。21zz（3）有心势中的分波法和相移）有心势中的分波法和相移 当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。互不相干。
