1、2.1随机变量及其分布随机变量及其分布一一.随机变量的概念随机变量的概念 我们常常把随机实验的各个结果随机事件 ，用变量来刻画。其实有许多随机实验的结果本身就表现为数量，如（1）抽查100件产品的次品数；（2）某电话交换台单位时间内接到呼唤的次数;(3)射击弹着点与目标的距离。(1)1001003310055 若用 表示件产品的次品数，则“件产品有 件次品”可表示为“”“件产品次品数不超过”可表示为“”可表示为“大于“弹着点与目标的距离离，则表示弹着点与目标的距若用3Y3Y)3(看来用变量的方式表示随机实验的结果方便简单看来用变量的方式表示随机实验的结果方便简单X1X0有些随机实验的结果不直接
2、表现为数量，也可以通过数量化用变量来描述，如掷硬币一次“正面出现”记为“”“正面不出现”记为“”，即给每一个样本点“赋值”书P35定义2.1变量）称为一个随机（），（应到一个实数值都唯一对种可能的结果理解为随机实验的每一对于随机变量，首先要了解他可能取那些值，如上三例（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，100共101种（2）交换次数Y可能的取值为0，1，2，（3）弹着点与目标的距离Z的可能取值为0，a，a表示某一实数按照随机变量可能取值的特点，我们把它分为两类离散型随机变量连续型随机变量非离散型随机变量非连续型随机变量二.离散型随机变量的概率分布书P35定义2.2 离散型随机变量的可能取值
3、是有限的或可列的仅仅知道随机变量的取值是不够的，我们还需知道它取各种可能值对应的概率 书P35定义2.3 ,2,1,)(ipxXPxpiii概率分布列XP1x2xix1pip2p概率分布表：1x2x3x4x1p2p3p4p概率分布图：.1)()2(;,2,1,0)()1(iiiiiipxpipxp性质：例1书P36例2.1例2书P36例2.2例3书P36例2.3反过来，我们把满足以上两条性质的函数反过来，我们把满足以上两条性质的函数称为某离散型随机变量称为某离散型随机变量例4.某射手命中环数这一离散型随机变量的分布如下：X 0 1 23 45678910p 0 0 00 0.010.010.0
4、6 0.090.28 0.30.25求（1）命中6环以上的概率；（2）命中4环到6环的概率；（4）命中4环以下的概率.03XP2XP1XP0XP)4()3(08.08XP7XP6XP)64()2(92.010XP9XP8XP7XP6XP6XP1）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解：（XPXP例 5.一袋中有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5现从中一次取 3 个球，以X表示取出的 3个球中的最小号码，试求X的概率分布 解：分析：X的可能取值为 3，2，1 223511310CP XC，233513210CP XC，243516110CP XC 则X的概率分布为 X 1 2
5、 3 P 0.6 0.3 0.1 例 6.设随机变量 X的概率分布为：(1)aP Xkk k，1,2,k，则a 1 分析：本题是求概率分布中所含的未知参数，这往往利用概率分布的性质：非负、累计和为 1所以有 111111lim 1(1)11nkkaaaak kkkn 例7.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的概率分布（分布律）(信号灯的工作是相互独立的).分析：以 P 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，有 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 4 P p(1)p p 2(1)pp
6、 3(1)pp 4(1)p 以 12p 代入，得 X 0 1 2 3 4 P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 小结：直接求离散型随机变量的概率分布，通常要借助于古典概型、加法公式、乘法公式、独立性等事件的概率计算公式试验的条件不同，如有放回抽取与无放回抽取方式不 同，相 应 的 随 机 变 量 的 概 率 分 布 就 不同求出的概率分布，可用 1ip 来验证其正确性，也可利用它来确定分布律中的待定系数 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 5,2,0,2，相应的概率依次为aaaa87,45,23,1。试求概率0|2|XXP 411357371
7、2488378kkPXxaaaaaa解：X 0 2 P25837123710377370|2|XXP|20|0PXXPX且292252020XPXPXPXPXP三.分布函数描述其分布呢？分钟来一趟车），如何（每隔，它的可能取值为共车站的候车时间公变量不是离散型的，如但是，某些类型的随机（率对应的概随机实验的每一种结果结果（赋值为）随机实验的每一种出（我们可以有概率分布得观直随机变量描述显得非常概率分布确实使离散型55X0X).P)2();1,iixXxd)XP(cX0,a)XPc)-(d51d)XP(c511,0)-(55)XP(0,5,0)c)-(dd)XP(c0,5,dc,15X0P在区间
8、上的概率我们关注的是（这是一个几何概型，若取是等可能的设乘客到达公共车站为一比例常数（因为假，若）（显然，dc如图（则有有可能值对应的概率的所，取区间（取值，）上，在（若设对这类型的随机变量，)()()P),)()F-XaFbFbXaxXxXPx 0 x x X 书P38定义2.4 例1.书P38例2.5分布函数的性质：（1）单调性 若 12xx，则 12()()F xF x；（2）()lim()0 xFF x ，()lim()1xFF x ；（3）右连续性 0(0)lim()()xF xF xxF x 如果一个函数()F x 满足上述三条性质，则可以证明，它一定可以作为某一随机变量 X 的分
9、布函数通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数 四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数一个离散型随机变量的分布也可由分布函数来描述，事 实上其概率分布与分布函数能够相互确定例 1设随机变量x的概率分布为：X-1 2 3 P 1/4 1/2 1/4 求 x 的分布函数.)0)(1)14)(1)(2)113424)(1)(2)(3)1xxP XxP XP XxP XP XP X 解：若x-1,F(x)=P(X若-1x2,F(x)=P(X若2x3,F(x)=P(X若x3,F(x)=P(X0,1,1,12,4()3,23,41,3.xxF xxx 111()()224355331(
10、)()()()222222(23)(3)(2)(2)3131424XFPXFFXPXFFX 从而，PPP例 2设随机变量 X 的分布函数为 0,10.4,11()0.8,131,3xxF xP Xxxx ，求 X 的概率分布 解:显然X的可能取值为-1，1，3P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.4P(X=3)=F(3)-F(3-0)=0.2例3.书P39例2.6例4.书P39例2.7小结：用用分分布布函函数数计计算算某某些些事事件件的的概概率率设 F xP Xx 是随机变量 X 的分布函数，则（1）0P XaF a；（2）0P XaP X
11、aP XaF aF a；（3）P a X bP X bP X aF bF a；（4）0P a X bP X bP XaF bF a；（5）0P aXbP XbP XaF bF a；（6）00P aXbP XbP XaF bF a（7）11P XbP XbF b ；（8）110P XbP XbF b 五五、连连续续型型随随机机变变量量及及其其概概率率密密度度 实践中有很多随机现象所出现的结果是不可列的，如：测量电源电压时出现的误差值，一台电视机的使用寿命，乘坐公共汽车出行时的等候时间等等，这些量都是随机变量，而且其取值在理论上是可以布满某个有限或无限区间的显然，这样的随机变量与可能值只有可列多个
12、的离散型随机变量是不同的 但是这样的随机变量也能用分布函数（但不能用分布列（即概率分布）来刻画其概率分布 0,01(),05()51,50,01(),0550,5xXxF xxxf x dxxxf xxx我们回头来看候车时间 的分布函数0yx515F(x)50150 xY=f(x)F(x)y书P40定义2.5x()()xF xf t dt连续型随机变量密度函数的性质：（1）()0f x，(,)x ；几何意义：分布曲线()yf x位于 x 轴 的上方；（2）()1f x dx 几何意义：分布曲线()yfx与 x轴之间的平面图形的面积等于 1；反之，一个函数满足上述两个性质，一定可以作为的密度函数
13、 1()()()(),baP aXbF bF af x dxXa b其他性质：（）几何意义：落入区间（上的概率等于区间(a,b上曲线y=f(x)与横轴夹曲边梯形的面积()P aXby0 xabY=f(x)(2)()f x在的连续点处有F(x)=f(x)(3),)aXbXbXbXb任给有P(X=a)=0所以有P(aP(aP(aP(aa)0.01()0.99P Xa即0168()0.997a 1682.337a182.34a216.,),25%80 例某年举行的高等教育大专文凭认定考试中，已知某科考试成绩XN(及格率为，分以上者为3%，试求考试成绩在70分以上的比例。0.25(60)P X解：06
14、0(60)()0.75P X 600.68(1)0800.03(80)1(80)1()P XP X 080()0.97 801.89(2)12=48.8由（），（）解得=16.607048.8(70)1()16.6P X 17.)(2例某单位用发放奖金的方式来促进生产，为此首先对有关奖金的支付做出决策，经研究决定，按过去生产状况额最高的5%的人发放奖金，已知过去每人每月的生产量X服从N(4000,60单位：公斤），试问奖金发放标准应定为多少？)(=5%xP Xx2解：每人每月生产XN(4000,60现要求出，使）()1()P XxP Xx 040001()0.0560 x 04000()0.9
15、560 x40001.6560 x4099x 例 18.某科统考成绩 X 近似服从正态分布)10,70(2N，第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分？2020(|60)100P Xx X解：设x表示第名的成绩(|60)P Xx X而(60)P X 06070110 0(1)0.8413 ()P Xx0.2 0.84130.16826()(60)(60)PXxXP X()(60)P XxP X0700.8317410 x 700.9610 x79.6x070()10.1682610 xP Xx 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、随机变量的函数一、随机变量的
16、函数 我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（如滚珠体积的测量值等），但是与它们有关系的另一些随机变量，其分布却是容易知道的（如滚珠直径的测量值）因此，要研究随机变量之间的关系，从而通过它们之间的关系，由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量的分布这就是本节的主要任务。一般地，如果存在一个函数()g x，使得随机变量 X，Y 满足 ()Yg X，则称随机变量 Y 是随机变量 X 的函数 二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 例 1设离散型随机变量 X 的分布律为 X-3-1 0 2 6 9 P 1/252 5/252 15/252 35/252 70
17、/252 126/252 随机变量 23YX，试求 Y 的分布 93193252YXP YP X 解：126,(15252P Y 5同理PY=-5=252Y-9-5-3 1 9 15 P 1/252 5/252 15/252 35/252 70/252 126/252 则有离散型随机变量 23YX 的分布律为:例 2设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 2(1)YX 的分布X-1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 41041,10 2,01,YYXYXXYX 解：的可能取值为，且40.2P Y1020.30.40.7P YP XP X00.1P Y 3.21,(1)YXY 例
18、设离散型随机变量X的分布函数为0,x-10.1,-1x1 F(x)=0.3,1x20.6,2x0的情况,此时y=g(x)为单增函数X在有效区间a,b上取值时，Y=g(X)的有效取值区间为g(a),g(b)(),()0,(),()1,YYyg a Fyyg b Fy即，当当()()()()Yg ayg bFyP YyP g Xy当时，()()XP Xh yFh y()()h yXaft dt()()()()YYXfyFyfh y h y对变上限定积分求导，得()|()|,()0,XYfh yh yyfy其它特别特别:对随机变量对随机变量X的线性函数有以下定理的线性函数有以下定理,设随机变量XFX
19、(x),Y=kX+b(k0),则Y的概率密度为)kby(f|k|1)y(fXY例如例如 设X为连续型随机变量,XFX(x),Y=-4X+3,则Y的密度函数为)43y(f41)y(fXY23.(,),0XNXYaXb a 例 设随机变量试证明 的线性函数也服从正态分布.22()21(),2xXXfxex 证明：的密度函数为1()(),YXybfyfyaa 证明：22()2112y baea22()2()1,2yb aaeya )2即YN(a+b,(a)1,(0,1)XabYN 若取得例4.书P66例2.301,(),h xxy解：由x=e,有y=h(x)=lnx0y 且-x0()()()XYfx
20、fh x h x当x时,22(ln)2112xex22(ln)21,0()20,0 xXexfxxx5cos,YXY例、随机变量服从0，上的均匀分布，2求 的密度函数。2,01()20,Xxfx解：方法 用公式）其它cos(,()arccosxxh yy由y单减）得反函数为21()1h yy 12(且0 x0y原函数的值域是反函数的定义域）()()()Yfyf h y h y221(011yy时）22,01()10,Yyfyy其它2()()(cos)YFyP YyPXy方法(arccos)(1P Xyy当0时）1(arccos)P Xy 22,01()()10,YYyfyFyy其它arccos
21、021(1ydxy 当0时）601,ln,()()XYZYeZXY Zfyfz例、随机变量服从，上的均匀分布，分别求的密度函数及1,011()0,Xxfx解：方法 用公式）其它(,()lnxexh yy由y单增）得反函数为1()h yy1e 且0 x1y()()()Yfyf h y h y1(1)yey1,1()0,Yyeyfy其它ln(,()zxxh ze由z单减）得反函数为()zh ze 1 且0 xz0()()()Zfzf h zh z(0)zez,0()0,0zZezfzz2()()()XYFyP YyP ey方法(ln)(P Xyye当1时）1,1()0,Yyeyfy其它ln0(1)
22、ydxye()()(ln)ZFzP ZzPXz(ln)(0PXz z 时）()(0zP Xez 时）01(0zedx z 时）1()(0zP Xez 时）,0()0,0zZezfzz,0),0,1,()().XYZxfYarctgXZY ZfyfzX22(1+x例7、随机变量X(x)=，分别求的密度函数及解：(1）用公式：由y=arctgx(单增），得反函数为x=h(y)=tgy2()sech yy002y且x()()()Yfyf h y h y222sec(0)(1)2yytg y2(0)2y2,0()20,Yyfy其它11(,()xh zxz由z单减）得反函数为21()h zz 0且xz0()()()Zfzf h zh z2221(011()zzz时）22(0(1)zz时）22,0(1)()0,0Zzzfzz2()()()YFyP YyP arctgXy方法()(2P Xtgyy当1时）202(0)(1)2tgydxyx222sec,0(1)2()0,Yyytg yfy其它2,0()20,Yyfy其它1()()()ZFzP ZzPzX1()(0P Xzz 时）11()(0P Xzz 时）12021(0(1)zdx zx 时）2221(),011()()0,0Zzzfzzz22,0(1)()0,0Zzzfzz
