1、题型集训题型集训(21)几何综合题几何综合题 杭州 温州 宁波 绍兴 综合 嘉兴、 舟山 湖州 台州 金华 衢州 2018 年 第 23 题 第 24 题 第 24 题 第 24 题 第 24 题 12 分 12 分 12 分 14 分 12 分 2019 年 第 23 题 第 25 题 第 24 题 第 23 题 第 24 题 第 24 题 第 24 题 12 分 12 分 14 分 10 分 14 分 12 分 12 分 1.(2019 绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置， BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三 角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可
2、绕点 D 旋转，AD30，DM10. (1)在旋转过程中， 当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的 长 当 A， D， M 三点为同一直角三角形的顶点时， 求 AM 的长 (2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90 ，点 D 的位置由 ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处，连结 D1D2，如 图 2，此时AD2C135 ，CD260，求 BD2的长 解：解：(1)AMADDM40，或，或 AMAD DM20. 显然显然MAD 不能为直角 当不能为直角 当AMD 为直角时，为直角时， AM2AD2DM2302102800，AM20 2 (20 2 舍去舍去)； 当； 当ADM90 时，
3、时， AM2AD2DM2 3021021000，AM10 10 (10 10 舍去舍去). 综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的 AM 的值为的值为 20 2 或或 10 10 . (2)如图，连接如图，连接 CD1.由题意：由题意：D1AD290 ， AD1AD230，AD2D145 ，D1D230 2 ， AD2C135 ，CD2D190 ， CD1 CD2 2 D1D2 2 30 6 ， BACD1AD290 ，BAD2CAD1， ABAC， AD2AD1， BAD2CAD1(SAS)， BD2CD130 6 . 2(2019 台州)如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 A
4、B 的中点，P 是 BA 延长线上的一点，连接 PC 交 AD 于点 F，APFD. (1)求AF AP 的值； (2)如图 1，连接 EC，在线段 EC 上取一点 M，使 EMEB，连接 MF，求证：MFPF； (3)如图 2，过点 E 作 ENCD 于点 N，在线段 EN 上取一点 Q，使 AQAP，连接 BQ，BN.将AQB 绕点 A 旋转，使点 Q 旋转后的对应点 Q落在边 AD 上请判断点 B 旋转后的对应点 B是否落在线段 BN 上，并说明理由 解：解：(1)设设 APFDa，AF2a，四边形四边形 ABCD 是正方形，是正方形，ABCD，AFPDFC， AP CD AF FD ，
5、即 ，即a 2 2 a a ，a 5 1，AP FD 5 1，AF3 5 ，AF AP 51 2 ； (2)在在 CD 上截取上截取 DHAF，可证，可证 PAF HDF(SAS)，PFFH，ADCD，AFDH， FDCHAP 5 1，点点 E 是是 AB 中点，中点， BEAE1EM，PEPAAE 5 ， EC BE2BC2 5 ， ECPE， CM 5 1， PECP，APCD，PPCD， ECPPCD， 且， 且 CMCH 5 1， CFCF， FCMFCH(SAS)， FMFH， FMPF； (3)若点若点 B在在 BN 上，如图，以上，如图，以 A 原点，原点，AB 为为 y 轴，轴
6、，AD 为为 x 轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，ENAB， AEBE，AQBQAP 5 1，由旋转的性质，由旋转的性质 可得可得 AQAQ 5 1，ABAB2， QBQB 5 1， 点点 B(0， ， 2)， 点， 点 N(2， ， 1)， 直线直线 BN 解析式为：解析式为：y1 2 x 2， 设点设点 B(x， 1 2 x 2)， ABx2（1 2x 2）2 2， x8 5 ， ，点点 B(8 5 ， ，6 5 )， ，点点 Q( 5 1，0)， BQ（ 518 5） ）236 25 5 1， 点点 B 旋转后的对应点旋转后的对应点 B不落在线段不落在线段 BN 上上 3 (
7、2018 嘉兴)我们定义： 如果一个三角形一条边 上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三 角形，这条边叫做这个三角形的“等底” (1)概念理解： 如图 1，在ABC 中，AC6，BC3，ACB 30 ，试判断ABC 是否是”等高底”三角形，请说明 理由 (2)问题探究： 如图 2， ABC 是“等高底”三角形， BC 是”等底”， 作ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到ABC， 连结 AA交直线 BC 于点 D.若点 B 是AAC 的重心， 求AC BC 的值 (3)应用拓展： 如图 3，已知 l1l2，l1与 l2之间的距离为 2.“等高 底”ABC的“等底”BC在直线l1上
8、， 点A在直线l2上， 有一边的长是 BC 的 2 倍将ABC 绕点 C 按顺时 针方向旋转 45 得到ABC，AC 所在直线交 l2于点 D.求 CD 的值 解：解： (1) ABC 是是“等高底等高底”三角形； 理由： 如图三角形； 理由： 如图 1， 过过 A 作作 ADBC 于于 D，则，则 ADC 是直角三角形，是直角三角形， ADC90 ， ACB30 ， AC6， AD1 2 AC 3，ADBC3，即，即 ABC 是是“等高底等高底”三角形；三角形； (2)如图如图 2，ABC 是是“等高底等高底”三角形，三角形，BC 是是 “等底等底”，ADBC，ABC 关于关于 BC 所在直
9、线的所在直线的 对称图形是对称图形是 ABC， ADC90 ， 点点 B 是是 AAC 的重心，的重心，BC2BD，设，设 BDx，则，则 ADBC2x， CD3x，由勾股定理得，由勾股定理得 AC 13 x， AC BC 13x 2x 13 2 ； (3)当当 AB 2 BC 时，时，.如图如图 3，作，作 AEBC 于于 E，DFAC 于于 F，“等高底等高底” ABC 的的“等底等底”为为 BC，l1l2，l1与与 l2之间的距离为之间的距离为 2，AB 2 BC， BCAE2，AB2 2 ，BE2，即，即 EC4， AC2 5 ， ABC绕点绕点C按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转45
10、得到得到 ABC，DCF45 ，设，设 DFCFx， l1l2，ACEDAF，DF AF AE CE 1 2 ， ， 即即 AF2x，AC3x2 5 ，x2 3 5 ， CD 2 x2 3 10 . .如图如图 4，此时，此时 ABC 等腰直角三角形，等腰直角三角形， ABC 绕点绕点 C 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转 45 得到得到 ABC， ACD 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， CD 2 AC2 2 . 当当 AC 2 BC 时，时，.如图如图 5，此时，此时 ABC 是等腰是等腰 直角三角形，直角三角形， ABC 绕点绕点 C 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转 45 得到得到 ABC，ACl1，CDABBC2； .如图如图 6，作，作 AEBC 于于 E，则，则 AEBC， AC 2 BC 2 AE，ACE45 ， ABC 绕点绕点 C 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转 45 ， 得到， 得到 ABC 时，点时，点 A在直线在直线 l1上，上，ACl2，即直线，即直线 AC 与与 l2 无交点，综上所述，无交点，综上所述，CD 的值为的值为2 3 10 ，2 2 ，2.
