1、 动点产生的相似三角形问题动点产生的相似三角形问题 例题：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结 OM，求AOM 的大小； （3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 图 1 图 2 （1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H在 RtAOH 中，AO2，AOH30， 所以 AH1，OH3所以 A( 1, 3)因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点， 设 yax(x2)，代入点 A( 1, 3)，可
2、得 3 3 a 所以抛物线的表达式为 2 332 3 (2) 333 yx xxx （2）由 22 32 333 (1) 3333 yxxx，得抛物线的顶点 M 的坐标为 3 (1,) 3 所以 3 tan 3 BOM所以BOM30所以AOM150 （3）由 A( 1, 3)、B(2,0)、M 3 (1,) 3 ，得 3 tan 3 ABO，2 3AB ， 2 3 3 OM 所以ABO30，3 OA OM 因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150 ABC 与AOM 相似，存在两种情况： 如图 3，当3 BAOA BCOM 时， 2 3 2 33 BA BC 此时 C(4,0) 如图
3、4，当3 BCOA BAOM 时，33 2 36BCBA此时 C(8,0) 图 3 图 4 强化训练： 1. （2013遵义）如图，在 Rt ABC 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点 M，N 从点 C 同时出 发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与 ABC 相似？ 2 （2013苏州）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm
4、，点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动 速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停 止运动在运动过程中， EBF 关于直线 EF 的对称图形是 EBF设点 E、F、G 运动的时间为 t（单 位：s） （1）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值； 3 （2012齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且
5、OA、OB 的长分别是方程 x27x+12=0 的两根（OAOB） ，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）求当 t 为何值时， APQ 与 AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标 4 （2013来宾）在 AOB 中，AOB=90，AO=6 厘米，BO=8 厘米，分别以 OB 和 OA 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，动点 M 从点 A 开始沿 AO 方向以 2 厘米/秒的速度向点 O 移
6、动，同时动点 N 从点 O 开始沿 OB 方向以 4 厘米/秒的速度向点 B 移动（其中一点到达终点时，另 一点随即停止移动） （1）在点 M 和点 N 移动的过程中，是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 AOB 相似？若存在， 请求出点 M 和点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 5 （2015牡丹江）如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 C 在 x 轴正 半轴上，顶点 B 在第一象限，过点 B 作 BDy 轴于点 D，线段 OA，OC 的长是一元二次方程 x2 12x+36=0 的两根，BC=4，BAC=45 （1）在 y 轴上是否存在点 P，使以 P，B，D 为顶点的三角形与以 P，O，A 为顶点的三角形相似？若 存在，请写出满足条件的点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2. 3. 4. 5.
