1、1 第第 8 讲、讲、类比结构构造类比结构构造类比探究（讲义）类比探究（讲义） 1. 我们定义：如图 1，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0180 ） 得到 AB， 把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC， 连接 BC 当 +=180 时， 我们称ABC是ABC 的“旋补三角形”，ABC边 BC上的中线 AD 叫 做ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心” 特例感知： （1）在图 2、图 3 中，ABC是ABC 的“旋补三角形”，AD 是ABC 的“旋补中线” 如图 2， 当ABC 为等边三角形时， AD与BC 的数量关系为AD=_BC； 如图 3，当BAC=90
2、，BC=8 时，则 AD 的长为_ 猜想论证： （2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并 给予证明 拓展应用 （3） 如图 4， 四边形 ABCD， C=90 ， D=150 ， BC=12， CD=2 3， DA=6 在 四边形内部是否存在点 P，使PDC 是PAB 的“旋补三角形”？若 存在，请给予证明，并求PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说 明理由 C B D CB A 图 1 图 2 A BC D B C D C BA 图 4 图 3 2 2. 【探索发现】 如图 1，是一张直角三角形纸片，B=90 ，小明想从中剪出一个以B 为内 角且面
3、积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE，EF 剪下时， 所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形 的最大面积与原三角形面积的比值为_ 【拓展应用】 如图 2，在ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P，N 分别在边 AB，AC 上，顶点 Q，M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值 为_（用含 a，h 的代数式表示） 【灵活应用】 如图 3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小 明从中剪出了一个面积最大的矩形（B 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形 的面积 【实际应用】
4、如图 4， 现有一块四边形的木板余料 ABCD， 经测量 AB=50cm， BC=108 cm， CD=60 cm，且 4 tantan 3 BC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M，N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 3 F E D C B A A B C D EF A BCD E M N P Q A BC D E 图（1） 图（2） 图（3） 图 1 图 2 图 3 3. 折纸的思考 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形 第一步，对折矩形纸片 ABCD（ABBC） （如图 1） ，使 AB 与 DC 重合，得 到折痕 EF，把纸片展平（如图 2） 第二步，如
5、图 3，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经 过点 B，得到折痕 BG，折出 PB，PC，得到 E D C B A A BC D D CB A 图（4）备用图 A BC D D CB A 图（4）备用图 图 4 备用图 4 PBC D CB A F E D CB A E F G P D CB A 图 1 图 2 图 3 （1）说明PBC 是等边三角形 【数学思考】 （2）如图 4，小明画出了图 3 的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC他发现， 在矩形 ABCD 中把PBC 经过图形变化， 可以得到图 5 中的更大的等边三角 形请描述图形变化的过程 P D CB AD
6、 CB A 图 4 图 5 （3） 已知矩形一边长为 3 cm， 另一边长为 a cm 对于每一个确定的 a 的值， 在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的示意图，并写出对 应的 a 的取值范围 【问题解决】 （4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为 4 cm 和 1 cm的直角三角形铁片， 所需正方形铁片的边长的最小值为_cm 4. 已知四边形 ABCD 的一组对边 AD，BC 的延长线交于点 E （1）如图 1，若ABC=ADC=90 ，求证：ED EA=EC EB 5 （2）如图 2，若ABC=120 ，cosADC= 3 5 ，CD=5，AB=12，CDE 的面 积为
7、6，求四边形 ABCD 的面积 （3）如图 3，另一组对边 AB，DC 的延长线相交于点 F若 cosABC=cos ADC= 3 5 ，CD=5，CF=ED=n，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示） ED C B A 图 1 ED C B A 图 2 F ED C B A 图 3 6 【参考答案】【参考答案】 1. （1） 1 2 ；4； （2）AD= 1 2 BC，证明略； （3）存在， “旋补中线”长为39 2. 【探索发现】 1 2 ； 【拓展应用】 1 4 ah； 【灵活应用】该矩形的面积为 720； 【实际应用】该矩形的面积为 1 944 cm2 3. （1）证明略； （2）先将BPC 按点 B 逆时针旋转某个适当角度得BP1C1，再将BP1C1 以 B 为位似中心放大，使点 C1的对应点 C2落在边 CD 上，得到BP2C2； （3）略； （4） 16 5 7 4. （1）证明略； （2）四边形 ABCD 的面积为75 18 3； （3）AD 的长为 525 6 n n
