1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质三、小结三、小结 习题习题“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术播放播放刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS（2 2）截丈问题）截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第
2、一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1定定义义 按按自自然然数数,3,2,1 编编号号依依次次排排列列的的一一列列数数,21nxxx (1)称称为为无无穷穷数数列列,简简称称数数列列.其其中中的的每每个个数数称称为为数数列列的的项项,nx称称为为通通项项(一一般般项项).数数列列(1)记记为为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n2 2 数列的定义数列的定义注意注意 1 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可
3、看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2 数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放3 数列的极限数列的极限问题问题 当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题 “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?
4、如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定义定义 设设nx 为一数列为一数列，对，对于任意给定的正数于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N,使得当使得当Nn 时时,不等式不等式 axn都成立都成立,那
5、末就称常数那末就称常数a是是数列数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意注意;1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn 定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一
6、个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn ,1)1(1 nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即注意注意例2.已知已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,01
7、11nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.设设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0.1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明 常
8、数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 1 唯一性唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证法一证法一:,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得.,021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极
9、限唯一.二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质23baab22abnabax证法二证法二:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有2banx使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 有界性有界性定定义义 对对数数列列nx,若若存存在在正正数数M,使使得得一一切切
10、自自 然然数数n,恒恒有有Mxn 成成立立,则则称称数数列列nx有有界界,否否则则,称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn)(,1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意
11、有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.3.收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(.)0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 子数列子数列 的子数列（或子列）的子数列（或子列）列称为原数列列称为原数列到的一个数到的一个数中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得项在原数列项在原数列保持这些保持这些中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并
12、在数列在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列项，而项，而是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意注意例如，例如，定义定义三、小结三、小结 习题习题数列数列 研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限 数列极限的数列极限的“N”定义定义；收敛数列的性质收敛数列的性质 有界性、唯一性、保号性有界性、唯一性、保号性;子数列的定义子数列的定义.,001.0.,?lim,2cos1NxNnNxnnxxnnnnn求出整数求出整数时时当当小于正数小于正数与其极限之差的绝对值与其极限之差的
13、绝对值时时使当使当求出求出问问的一般项的一般项设数列设数列 解解.02coslim nnn 要使要使事实上事实上,|2cos|0|nnxn习题解答 P31 2题,1 n只只要要,1 n即即要要,1 N取取,1,1,0 nNnN恒有恒有时时使得使得则对则对.|0|nx从而从而.022coslimlim nxnnn故故001.01,001.0 N整数整数时时当当.1000 习题解答返回习题返回习题习题解答 P 31 3题(3).1lim222 nann用数列极限的定义证明用数列极限的定义证明证证nnannan 22221|因为因为nanna 222,22na,|1|,022 nan所以所以,22
14、na只要只要.|an 即要即要,|aN 取取.|,anNn 恒有恒有时时则当则当,|1|22 nan从而从而.1lim22 nann所以所以习题解答返回习题返回习题作业 P30-31 1(2),(4),(6),(8)第三节 目录 上页 下页 返回 结束（1 1）割圆术）割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入（1 1）割圆术）割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆
15、周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥
16、细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割
17、圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术）割圆术刘徽刘徽一、一、数列极限的定义数列极限的定义1 1 概念的引入概念的引入.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n
18、nn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn3 数列的极限数列的极限
