1、证证 设设当当 t 取取得得增增量量 t时时，函函数数 u，v 的的增增量量分分别别为为u和和v（假假设设0u，0v），相相应应地地函函数数(,)zf u v也也有有增增量量z，因因为为(,)zf u v有有连连续续的的偏偏导导数数，根根据据第第三三节节定定理理 2 2，函函数数(,)zf x y是是可可微微的的，故故 第四节第四节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 一一、多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则 1 1中中间间变变量量均均为为一一元元函函数数的的情情形形 定定理理 1 1 如如果果函函数数()ut，()vt均均在在点点 t 处处可可导导，函函数数(,)zf u v，在
2、在对对应应点点(,)u v处处具具有有连连续续的的偏偏导导数数，则则复复合合函函数数(),()zftt在在点点处处可可导导，且且有有求求导导公公式式：ddddzz duzvtu dtvt ddzt又又称称为为全全导导数数.所以复合函数所以复合函数(),()zftt可导，具有求导公式：可导，具有求导公式：ddddddzzuzvtutvt.22d()zzuv 22()zzuvuvuv 两边同除两边同除t，并令，并令0t，求极限，注意到函数，求极限，注意到函数()ut，()vt可导，可导，22()uv是当是当0u，0v 时比时比22()uv高阶的无穷小，得高阶的无穷小，得 2200()limlim(
3、)ttzzuzvuvtutvtt 2222220dd()lim.ddtzuzvuvuvutvttuv ddddzuzvutvt 上上面求导公式的右边是偏导数与导数乘积的和式面求导公式的右边是偏导数与导数乘积的和式.它它与函数的结构有密切的联系与函数的结构有密切的联系.复合函数复合函数(),()zftt中，中，有两个中间变量有两个中间变量 u 和和 v，中间变量，中间变量 u 和和 v 中各有一个中各有一个 自变量自变量 t，用树图形象地表示它的结构，就是，用树图形象地表示它的结构，就是 该树图称为函数该树图称为函数(),()zftt的结构图的结构图.从结构图可看从结构图可看到：从到：从 z 出
4、发到达出发到达 t 有两条途径（有两条途径（z 经经 u 到到 t 和和 z 经经 v 到到 t），），途径的条数恰与式中的项数相同；每条途径上的两个偏导途径的条数恰与式中的项数相同；每条途径上的两个偏导数和导数相乘，即数和导数相乘，即ddzuut和和 ddzvvt，恰是和式中的项，恰是和式中的项.因此因此通过结构图的分析，可直接写出求导公式通过结构图的分析，可直接写出求导公式.这种方法具有这种方法具有一般性，下面再举一例一般性，下面再举一例.zu tv t解解 ddddddzzuzvtutvt cos(sin)vtut 22cossincos2ttt 设设()ut()vt.()wt均均 在在
5、 点点t处处 可可 导导，(,)zf u v w在在对对应应点点(,)u v w处处有有连连续续的的偏偏导导数数，写写出出复复合合函函数数(),(),()zfttt的的全全导导数数公公式式.函函数数的的结结构构图图是是 由由 z 经经,u v w到到 t 有有三三条条途途径径，故故和和式式中中应应有有三三项项，所所以以全全导导数数为为 ddddddddzzuzvzwtutvtwt.v tzw tu t例例 1 1 设设zuv，sinut，cosvt，求求全全导导数数ddzt.2 2中中间间变变量量均均是是二二元元函函数数的的情情形形 定定理理 2 2 设设(,)ux y，(,)vx y在在点点
6、(,)x y处处都都具具有有偏偏导导数数ux，uy和和,vvxy，函函数数(,)zf u v，在在对对应应点点(,)u v处处具具有有连连续续的的偏偏导导数数，则则复复合合函函数数(,),(,)zfx yx y在在点点(,)x y处处的的两两个个偏偏导导数数存存在在，并并有有求求导导公公式式：例例 2 2 设设ln()arctanzxyt，xt，3yt，求求全全导导数数dzdt.解解 函数函数 z 的结构图为的结构图为 所以所以 ddddddddzzxzyzttxtyttt 22111131txyxyt 223322131311(1)tttttttttt z t ty tx tzzuzvxux
7、vxzzuzvyuyvy 上上面面的的求求导导公公式式，也也可可借借助助函函数数结结构构图图 利利用用前前面面的的分分析析方方法法与与结结论论得得出出.xyuvzxy解解 根根据据定定理理 2 公公式式，有有 zzuzvxuxv x ee 1vvyu2e()xyyxy zzuzvyuyv y ee(2)vvxu 2e(2)xyxxy 例例 3 3 设设evzu，uxy，2vxy，求求,zzxy.例例 4 4 设设2242(3)xyzxy，求求,zzxy.解解 设设223uxy，42vxy，则则vzu，所所以以 16ln4vvzzuzvvuxuuxuxv x 224222226(42)(3)4l
8、n(3)3xyxxyxyxyxy，12ln2vvzzuzvvuyuuyuyv y 224222222(42)(3)2ln(3)3xyyxyxyxyxy 例例 5 5 设设22arcsin,zu uxy，求求,zzxy.解解 函数的结构如下：函数的结构如下：所以所以 222212211()zzuxxxuxuxy 2222d122d11()zzuyyyuyuxy uzxy例例 6 6 设设(e,sin(2)xyzfxy，其中，其中(,)f u v具有连续的具有连续的偏导数，求偏导数，求,zzxy.解解 设设e,sin(2)xyuvxy，则则(,)zf u v，所所以以zzuzvxuxv x e2c
9、os(2)xyuvyfxy f zzuzvyuyv y ecos(2)xyuvxfxy f 3 3中中间间变变量量既既有有一一元元函函数数又又有有多多元元函函数数的的情情形形 这这种种情情形形比比较较复复杂杂，仅仅举举一一例例.设设函函数数()ux在在点点x处处可可导导，(,)vx y处处的的两两个个偏偏导导数数都都存存在在，函函数数(,)zf u v处处具具有有连连续续的的偏偏导导数数，求求复复合合函函数数(),(,)zfxx y的的两两个个偏偏导导数数.此此函函数数的的结结构构图图为为 所所以以 xyvuzxddzzuzvxuxv x zzvyv y 例例 7 7 设设222ln(),zu
10、vuxvxy，求求,zzxy.解解 2222d222dzzuzvuvxyxuxv xuvuv 322242()xxyxxy22242(1)xyxy zzuyv y 222uxuv222222()1x yyxxyy 例例 8 8 设设22(sin,)zfy xy，其其中中(,)f u v具具有有连连续续的的偏偏导导数数，求求,zzxy.解解 设设22sin,uy vxy则则(,)zf u v，函函数数的的结结构构图图为为 所以2vzzvxfxv x ddzzuzvyuyv y cos2uvyfyf xyvuzyxFxyx二二、隐函数求导公式隐函数求导公式 1由由二元方程二元方程(,)0F x y
11、 所确定的一元隐函数所确定的一元隐函数()yf x的求导公式的求导公式 公式不予证明，仅作简单的推导公式不予证明，仅作简单的推导.将函数将函数()yf x代入方程代入方程(,)0F x y 中，并两边对中，并两边对 x 求导，得求导，得 d,()0dF x y xx，1(,()F xf x的结构图为的结构图为 故故 ddddddFFuFvxxxyx ddFFyxyx 于是有于是有d0dFFyxyx 若若0Fy，解出，解出ddyx，则有以下求导公式，则有以下求导公式 ddFyxFxy 即即ddxyFyxF 二、隐函数的求导法二、隐函数的求导法例例 9 9 方方程程2eyyx确确定定隐隐函函数数(
12、)yf x，求求ddyx.解解 求求导导公公式式中中的的二二元元函函数数为为2(,)eyF x yxy，故故2,e1yxyFx F 所所以以 d2de1xyyFyxxF 2 2.方方程程(,)F x y z所所确确定定的的二二元元隐隐函函数数(,)zf x y的的求求导导公公式式.用用类类似似的的方方法法，可可推推得得求求导导公公式式为为：FzxFxz，zFyFyz，即即xzFzxF，yzFzyF *例例 1 10 0 方方程程lnzyxz确确定定隐隐函函数数(,)zf x y，求求zx，zy.*内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则2.隐函数的求导方法隐函数的求导方法作业作业P62 2,3,4,6,8,10,11,*14(2)中间变量均为二元函数情形中间变量均为二元函数情形(1)中间变量均为一元函数情形中间变量均为一元函数情形(3)中间变量既有一元又有多元函数情形中间变量既有一元又有多元函数情形
