1、第七节第七节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法与分部积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法定理定理1 设函数设函数,)(baCxf 单调函数单调函数)(tx 满足满足:,)()11 Ct ,)(,)2bta 上上在在;)(,)(ba tttfxxfbad)()(d)(证证:所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续,故积分都存在故积分都存在,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数的一个原函数是是设设xfxF是是的原函数的原函数,因此有因此有则则
2、 baxxfd)()()(aFbF )(F)(F.d)()(tttf)(tF)()(ttf 则有则有说明说明1)当当 0)，证明：证明：.d)()(d)(0 aaaxxfxfxxf证明证明 aaxxfd)(0d)(axxf,d)(0 axxf,d)(0中中在在 axxf,tx 令令 0d)(axxf 0d)(attf,d)(0 axxf aaxxfd)(axxf0d)(axxf0d)(.d)()(0 axxfxf由此可得：由此可得：1)若若 f(x)为偶函数为偶函数,f(x)=f(x),则有则有.d)(2d)(0 aaaxxfxxf2)若若 f(x)为奇函数为奇函数,f(x)=f(x),则有则
3、有.0d)(aaxxf注意注意 计算在对称于原点的区间上的定积分计算在对称于原点的区间上的定积分时利用这两个公式常能带来很大的方便时利用这两个公式常能带来很大的方便.课本课本 Page212例例8 8 计算下列定积分计算下列定积分 112d)sin|(|)1xxxx解解原式原式 112d|xxx 112dsinxxx 103d2xx2121104 x2)计算计算解解.d11cos21122 xxxxx原式原式 1122d112xxx 112d11cosxxxx 1022d114xxx 10222d)1(1)11(4xxxx 102d)11(4xx 102d144xx.4 单位圆的面积单位圆的面
4、积课本课本 Page213证证tx 2 20d)(sin)1(xxf 022sin dttf 20d)(cos ttf.d)(cos20 xxf 0d)(sin)2(xxxftx 0d)sin()(ttft 0d)(sin)(ttft 0d)(sinttf 0d)(sintttf 0d)(sinxxf,d)(sin0 xxxf.d)(sin2d)(sin00 xxfxxxf 02dcos1sin)3(xxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 思考与练习思考与练习 .,d)(10 xFtxtfxFx 求求、设设指指
5、出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 2、定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理2,)(,)(1baCxvxu 设设则则 .d)()()()(d)()(bababaxxvxuxvxuxxvxu bababauvuvvudd证证)()()()()()(xvxuxvxuxvxu baxvxu)()(xxvxuxxvxubabad)()(d)()
6、(得得上积分上积分两端在两端在,ba .d)()()()(d)()(bababaxxvxuxvxuxxvxu例例1 1 计算计算.darctan10 xxx解解 102)21d(arctanxx原式原式 102arctan21xx 1022d121xxx421 102)d111(21xx8 10arctan21xx 8218 .214 例例2 2 计算计算解解.d2cos140 xxx 402dcos2 xxx原式原式 40)(tand2 xx 40tan21 xx 40dtan21 xx 40secln218 x.42ln8 例例3 3 计算计算解解.dsin420 xx 420dsin x
7、xxt 20dsin2 ttt 20)cos(d2 tt 2200dcos2cos 2 tttt20sin2 t 2 例例4 4 计算计算解解.d)2()1ln(102 xxx 10)21d()1ln(xx原式原式102)1ln(xx 10)1ln(d(21xx32ln xxxd112110 xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln35 例例5 5 设设 求求解解 21,dsin)(xtttxf.d)(10 xxxf 10d)(xxxf 102)(d)(21xxf 102)(21xfx)(d(21102 xfx)1(21f 102d)(21xxfx 21,dsin)
8、(xtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf ,0dsin)1(11 tttf 10d)(xxxf)1(21f 102d)(21xxfx 102dsin221xxx 1022)d(sin21xx 102cos21x).11(cos21 例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数课本课本 Page215注意注意 此公式在定积分的计算中很有用此公式在定积分的计算中很有用.证证 201)cos(dsin xxInn xxxnxxnndcossi
9、n)1(cossin2202201 x2sin1 0 xxnxxnnndsin)1(dsin)1(22002 nnInIn)1()1(2 ,12 nnInnI递推公式递推公式,2342 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2d200 xI,1dsin201 xxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是例例7 7 计算计算 111002d)1(xx解解 101002d)1(2xx原式原式txsin ttt
10、 201002dcos)(cos2 tt 20201dcos2.!)!201(!)!200(2 例例8 8 计算计算.dsin06 xx解解原式原式tx 2 tt 22dcos6 tt 206dcos2.481526425312 一般地有一般地有：.dsin2dsin200 xxxxnn设设)(xf 在在 1,0上上 连连续续，且且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求求 10d)2(xxfx.例例9 9 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 1010d)2(21)2(21xxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 解解1、定积分的换元法、定积分的换元
11、法 baxxfd)(tttfd)()(三、小结三、小结1)用凑微分法时，若没有引入新变量，则不用凑微分法时，若没有引入新变量，则不必换限必换限.2)作变换作变换 x=(t)时时,(t)在积分区间上应单在积分区间上应单调且有连续导数调且有连续导数,同时还应注意同时还应注意换元必换限换元必换限.3、一些特殊积分及公式等式、一些特殊积分及公式等式.2、定积分分部积分法、定积分分部积分法 .dd bababauvuvvu应该边积分边代积分限应该边积分边代积分限.思考题思考题指出求指出求 2221dxxx的解法中的错误，并写出正确的解法中的错误，并写出正确的解法的解法.解解 令令,sectx ,4332
12、:t,dsectandtttx 2221dxxxtttttdtansectansec14332 td4332 .12 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221dxxxtxsec tttttdtansectansec14332 td4332 .12 一、一、填空题：填空题：1 1、3)3sin(dxx_；2 2、03)sin1(d_；3 3、2022dxx_ _；4 4、2121221)(arcsindxxx_；5、55242312sindxxxxx_.练练 习习 题题二、二、计
13、算下列定积分：计算下列定积分：1 1、203cossin d；2 2、31221xxdx；3 3、14311xdx；4 4、223coscosdxxx；5 5、02cos1dxx；6 6、224cos4 dx；7 7、112322)11(dxxxxx；8 8、203,maxdxxx；9 9、20dxxx （为参数为参数）.三、三、设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf.四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续，证明证明 babadxxbafdxxf)()(.五、五、证明：证明：1010)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：六、证
14、明：aaadxxfxfdxxf0)()()(,并求并求 44sin1xdx.七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续，证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0；2 2、34 ；3 3、2；4 4、323；5 5、0 0.二、二、1 1、41；2 2、3322 ；3 3、2ln21；4 4、34；5 5、22；6 6、23；7 7、4；8 8、8；9 9、417；10 10、时时当当0 ,238；当当20 时时,32383 ；当当2 时时,238 .三、三、)1ln(11 e.六、六、2 2.一、一、填空题：填空题：1 1、设、
15、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn=_；3 3、dxxex10_；4 4、exdxx1ln_；5、10arctan xdxx_.二、二、计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、edxx1)sin(ln；2 2、eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）为自然数）4 4、01)1cos(sinxdxnxn.三三、已已知知xxf2tan)(,求求 40)()(dxxfxf.四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0(ff证证明明：3sin)()(
16、0 xdxxfxf.一、一、1 1、!)!1(nn；2 2、2!)!1(nn；3 3、e21；4 4、)1(412 e；5 5、23ln21)9341(.二、二、1 1、211cos1sin ee；2 2、)11(2e；练习题答案练习题答案 3 3、为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；4 4、为正偶数时为正偶数时当当为正奇数时为正奇数时当当nnnn,!)!1(2,0；5 5、0.0.三、三、8.8.例例5 5 计算计算.1)2(d1022 xxxx解解原式原式 10222)1(d)1(11xx1021arctanx .4 例例5 5 计算
17、计算 ndxxx0|sin|解解 nnxxxxxxxxx)1(02d|sin|d|sin|d|sin|原原式式 kkxxx)1(d|sin|tttk 0dsin)1(tkx )1(xxxk 0dsin)1(2xxk 0dsin2)1(2,2 k nn )21(2原式原式.2 n 例例6 6 求函数求函数 在在1,e上上 的最大值与最小值的最大值与最小值.xtttxf1d)ln21()(解解,1,0)ln21()(exxxxf 故故 f(x)在在 1,e 上单调增加上单调增加,故最小值为故最小值为 0d)ln21()1(11 tttf最大值为最大值为 etttef1d)ln21()(ettte1dln21ettte1222ln1 .2122 ee
