1、 一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tttstttftfv 00)()(而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0ttsos 0ttt 0000)()()(limtttftftttv tstttfttfttv 0)()(0)(limlim000或或)()(,000tfttfsttt ，其中其中)(tf)(0tf设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 2.2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率NNTM当当点点 N 沿曲线沿曲线 C 向向点点 M 无限接近时，无限接近时，割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T定
2、义为定义为曲线曲线 C 在点在点 M 处的处的切线。切线。，的点的点上异于点上异于点任取曲线任取曲线NMC 0 xxx 0)(0 xxf )(00 xfy y x TMN曲线切线的斜率曲线切线的斜率求曲线求曲线)(:xfyC在的在的点点 ),(00yxM处切线的斜率。处切线的斜率。的倾角为的倾角为割线割线的倾角为的倾角为设切线设切线 NMMT,。应应为为切切线线的的斜斜率率即即从从而而 tanlim,tantan0 xyxkxxxfxfxyxxxxxx 0000)(limlim,0）则有则有取变量代换取变量代换xxfxxfxy )()(tan00 则则割割线线的的斜斜率率为为。处处的的切切线线
3、斜斜率率的的意意义义是是曲曲线线在在点点 tan)(lim00Mxfxyx 。则应有则应有无限接近，无限接近，点点向向沿曲线沿曲线点点，时时 MCN0 x 两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt xyo)(xfy CNT0 xMx切线斜率切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与
4、时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义,量量，相相应应的的因因变变量量也也有有增增处处给给出出增增量量在在点点如如果果自自变变量量xxx 0。)()(00 xfxxfy xxfxxfxxyx )()(0000limlim记作记作:)(xf并称此极限为并称此极限为则称函数则称函数在点在点0 x处处可导可导,)(xfy 在点在点0 x的的导数导数.;0
5、 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0lim如果下面的极限存在如果下面的极限存在 xxfxxfxyxx )()(limlim0000由由000)()(lim)(:0 xxxfxfxfxx 可得可得导数的一般意义是对于因变量变化导数的一般意义是对于因变量变化快慢快慢的度量。的度量。区区间间上上的的平平均均变变化化率率。为为端端点点的的和和在在以以表表示示了了因因变变量量xxxyxy 00的的变变化化越越剧剧烈烈。在在点点越越大大，表表示示00)(|)(|xxfxfxyxf )(0由由所以在有些应用中直接称之为所以在有些应用中直接称之为变化率
6、。变化率。000)()(lim0 xxxfxfxxxxx 记作记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxf若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.就称函数就称函数在在 I 内可导内可导.若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x的导数为的导数为无穷大无穷大.此时切线的倾角此时切线的倾角 ,2 切线切线0 xx 先先求导后代值求导后代值 单侧导数单侧导数xxfxxfxyxx)()(limlim0000即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000在点0 x的某个
7、右右邻域内)(xfy 若极限定义定义2.设函数有定义,则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的处的右导数右导数,0 x记作记作)(0 xf存在存在,)(0 xf 同理可定义左导数，记作同理可定义左导数，记作函数在一点可导的充分必要条件是在该点的左右导数都存在且相等函数在一点可导的充分必要条件是在该点的左右导数都存在且相等）上可导上可导在在（,ba 例例1.1.求函数Cxf)(C 为常数)的导数.解解:xCCx0lim0即0)(C例例2.求函数)N()(nxxfn解解:xxfxxf)()(y0limx的导数.122(1)()().()2!nnnnnn nyxxxnxxxxx 121(1)(
8、).()2!nnnyn nnxxxxx xyx0lim0limx1211(1)().()2nnnnn nnxxxxnx 1)(nnnxx 说明：说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）hxhxhsin)sin(lim0例例3.3.求函数xxfsin)(的导数.解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh 例例4 4 求函数求函数
9、xay 的的导数导数haaxhxh 0lim解解:,xh 令令则)(xf hxfhxf)()(0lim hhaahaahhxhxh1lim)1(lim00 aaxln aaaxxln)(xxee)()1(lnxh例例5.5.求函数xxfln)(的导数.解解:)(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或)(xf,0 ,0,sinxxxx()fx 求解解:0 xxxxfcos)(sin)(当时，0 x1)()(xxf时，当0 x由于当时，0si
10、n0(0)lim1 xxfx00(0)lim1xxfx得(0)1f 于是0 ,10,cos)(xxxxf例6 三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf 切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf经过曲线的切点，垂直于切线的直线称为曲线在该点的法线。经过曲线的切点，垂直于切线的直线称为曲线在该点的法线。xyo)(xfy CT0 xMxyo0 xM 例例7.7.问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线?哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线1
11、31xy平行平行?写出其切线方程写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得得,1x对应,1y则在点则在点(1,1),(1,1)处与直线处与直线131xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为),1(131xy)1(131xy即023 yx故在原点故在原点(0,0)有垂直切线有垂直切线 处可导在点xxf)(四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证:设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在,因此必有因此必有)0(,0 xxxyy所以函数所以函数)(xfy
12、 在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即 内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.)(C)(x)(sin x)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比
13、的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 区别区别:)(xf 是是函数函数,)(0 xf 是是数值数值;联系联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?)()(00 xfxf？与导函数与导函数 2.2.设设)(0 xf 存在存在,则则._)()(lim000hxfhxfh3.已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4.若若),(x时时,恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设)0(f00)0()(xfxfx0由由夹逼准则夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导,且且0)0(f 5.5.设设0,0,sin)(xxaxxxf,问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都都存在存在,并求出并求出.)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0(f此时此时)(xf 在在),(都都存在存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x=0 连续连续.
